二次函数èrcì hánshù

Konsep Inti

Fungsi kuadrat adalah fungsi polinomial berderajat 2:

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$

di mana $a$, $b$, $c$ adalah konstanta dan $a \neq 0$.

Tiga Bentuk

Bentuk	Ekspresi	Ciri Utama
Bentuk umum	$y = ax^2 + bx + c$	Menunjukkan intersep-y $c$
Bentuk puncak	$y = a(x-h)^2 + k$	Menunjukkan titik puncak $(h, k)$
Bentuk faktorisasi	$y = a(x-x_1)(x-x_2)$	Menunjukkan akar-akar $x_1, x_2$

Titik Puncak

Titik puncak adalah titik tertinggi atau terendah dari parabola.

Koordinat Titik Puncak

$h = -\frac{b}{2a}, \quad k = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Atau secara setara: $k = f(h) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Bentuk Puncak

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

di mana $(h, k)$ adalah titik puncak.

Sifat-sifat Grafik

Arah Pembukaan

• $a > 0$: Parabola terbuka ke atas (bentuk U), titik puncak adalah minimum
• $a < 0$: Parabola terbuka ke bawah (bentuk ∩), titik puncak adalah maksimum

Sumbu Simetri

$x = -\frac{b}{2a} = h$

Parabola simetris terhadap garis vertikal ini.

Intersep-Y

Intersep-y terletak di $(0, c)$, diperoleh dengan mensubstitusi $x = 0$.

Akar-akar (Intersep-X)

Diperoleh dengan menyelesaikan $ax^2 + bx + c = 0$. Diskriminan $\Delta = b^2 - 4ac$ menentukan:

• $\Delta > 0$: Dua akar berbeda
• $\Delta = 0$: Satu akar (titik puncak menyentuh sumbu x)
• $\Delta < 0$: Tidak ada akar real

Monotonitas

Ketika $a > 0$:

• Menurun pada $(-\infty, h]$
• Meningkat pada $[h, +\infty)$

Ketika $a < 0$:

• Meningkat pada $(-\infty, h]$
• Menurun pada $[h, +\infty)$

Jangkauan (Range)

Ketika $a > 0$:

$\text{Jangkauan} = [k, +\infty)$

Ketika $a < 0$:

$\text{Jangkauan} = (-\infty, k]$

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut dirancang berdasarkan silabus ujian CSCA.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Tentukan titik puncak dari $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Penyelesaian:

Metode 1 (Rumus): $h = -\frac{-6}{2(1)} = 3$ $k = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$

Metode 2 (Melengkapkan kuadrat sempurna): $f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$

Jawaban: Titik puncak adalah $(3, -4)$

---

Contoh 2: Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Tentukan jangkauan dari $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ pada $[0, 3]$.

Penyelesaian:

Melengkapkan kuadrat sempurna: $f(x) = -(x^2 - 4x) - 1 = -(x-2)^2 + 4 - 1 = -(x-2)^2 + 3$

Titik puncak di $(2, 3)$, parabola terbuka ke bawah.

Karena $2 \in [0, 3]$, nilai maksimum ada di titik puncak: $f(2) = 3$

Periksa titik ujung:

• $f(0) = -1$
• $f(3) = -9 + 12 - 1 = 2$

Nilai minimum adalah $f(0) = -1$.

Jawaban: Jangkauan adalah $[-1, 3]$

---

Contoh 3: Lanjutan (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Jika $f(x) = x^2 - 2ax + a$ memiliki nilai minimum $-2$ pada $[0, 2]$, tentukan $a$.

Penyelesaian:

$f(x) = (x-a)^2 + a - a^2$, titik puncak di $(a, a-a^2)$.

Kasus 1: $a < 0$ (titik puncak di kiri interval) Minimum di $x = 0$: $f(0) = a = -2$ Verifikasi: titik puncak di $(-2, -2-4) = (-2, -6)$, tetapi $f(0) = -2 \neq -6$. ✓ Jadi $a = -2$ valid.

Kasus 2: $0 \leq a \leq 2$ (titik puncak di dalam interval) Minimum di titik puncak: $a - a^2 = -2$ $a^2 - a - 2 = 0$ $(a-2)(a+1) = 0$ $a = 2$ atau $a = -1$ Hanya $a = 2$ yang dalam $[0, 2]$. Verifikasi: $f(x) = (x-2)^2$, minimum di $x=2$ adalah $0 \neq -2$. ✗

Kasus 3: $a > 2$ (titik puncak di kanan interval) Minimum di $x = 2$: $f(2) = 4 - 4a + a = 4 - 3a = -2$ $a = 2$, bertentangan dengan $a > 2$. ✗

Jawaban: $a = -2$

---

Contoh 4: Lanjutan (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Tentukan semua nilai $m$ agar $f(x) = x^2 - mx + 1 > 0$ untuk semua $x \in \mathbb{R}$.

Penyelesaian:

Agar $f(x) > 0$ untuk semua $x$, parabola harus terbuka ke atas (✓, $a = 1 > 0$) dan tidak memiliki akar real.

Ini memerlukan $\Delta < 0$: $\Delta = m^2 - 4(1)(1) = m^2 - 4 < 0$ $m^2 < 4$ $-2 < m < 2$

Jawaban: $m \in (-2, 2)$

Konversi Antar Bentuk

Bentuk Umum ke Bentuk Puncak

Diketahui $f(x) = ax^2 + bx + c$:

1. Faktorkan $a$ dari dua suku pertama: $f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$
2. Lengkapkan kuadrat sempurna: $f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$
3. Sederhanakan: $f(x) = a(x - h)^2 + k$ dengan $h = -\frac{b}{2a}$, $k = c - \frac{b^2}{4a}$

Bentuk Puncak ke Bentuk Umum

Diketahui $f(x) = a(x-h)^2 + k$:

Uraikan: $f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k$

Jadi $b = -2ah$ dan $c = ah^2 + k$.

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Tanda salah pada rumus titik puncak

Salah: $h = \frac{b}{2a}$ ✗

Benar: $h = -\frac{b}{2a}$ ✓

❌ Kesalahan 2: Mengabaikan domain saat mencari jangkauan

Salah: Jangkauan $f(x) = x^2$ pada $[1, 3]$ adalah $[0, +\infty)$ ✗

Benar: Pada $[1, 3]$, minimum adalah $f(1) = 1$, jadi jangkauan $[1, 9]$ ✓

❌ Kesalahan 3: Salah menentukan posisi titik puncak

Ketika domain dibatasi, titik puncak mungkin berada di luar domain. Periksa apakah titik puncak berada di dalam, di kiri, atau di kanan interval.

Tips Belajar

1. ✅ Kuasai melengkapkan kuadrat sempurna: Penting untuk menemukan titik puncak
2. ✅ Ketahui tiga kasus: Titik puncak di dalam, di kiri, atau di kanan interval
3. ✅ Gunakan diskriminan: Untuk soal tentang perpotongan dengan sumbu x
4. ✅ Buat sketsa: Visualisasi parabola untuk menghindari kesalahan

---

💡 Tips Ujian: Untuk soal dengan domain terbatas, pertama tentukan posisi titik puncak relatif terhadap domain, lalu periksa titik ujung. Nilai ekstrem terjadi di titik puncak (jika dalam domain) atau di titik ujung!