二次方程èrcì fāngchéng

Konsep Dasar

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial di mana pangkat tertinggi dari variabel adalah 2. Ini merupakan salah satu jenis persamaan paling dasar dalam aljabar.

Bentuk

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$ Standar

di mana: -$a$ adalah koefisien dari$x^2$ (tidak boleh 0) -$b$ adalah koefisien dari $x$ -$c$ adalah suku tetap -$x$ adalah variabel

Metode Penyelesaian

Metode 1: Faktorisasi

Jika persamaan dapat difaktorkan, ini adalah pendekatan paling langsung.

Contoh:$x^2 - 5x + 6 = 0$ Langkah 1: $(x - 2)(x - 3) = 0$ FaktorkanLangkah 2: Atur setiap faktor menjadi $x - 2 = 0 \text{ or } x - 3 = 0$ nol

Jawaban:$x = 2$ atau $x = 3$

Metode 2: Melengkapi Kuadrat

Ubah persamaan menjadi kuadrat sempurna.

Contoh:$x^2 + 6x + 5 = 0$ Langkah 1: Atur $x^2 + 6x = -5$ ulangLangkah 2: Lengkapi $x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$ $(x + 3)^2 = 4$ kuadratLangkah 3: Ambil akar kuadrat $x + 3 = \pm 2$

Jawaban:$x = -1$ atau$x = -5$

Metode 3: Rumus Kuadrat

Metode universal ini berlaku untuk semua persamaan kuadrat:

di$\Delta = b^2 - 4ac$

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ mana disebut diskriminan.

Analisis Diskriminan

-$\Delta > 0$ : Dua akar riil yang berbeda -$\Delta = 0$ : Dua akar riil yang sama (akar berulang) -$\Delta < 0$ : Tidak ada akar riil (dua akar kompleks konjugat)

Rumus Vieta

Jika$x_1$ dan$x_2$ adalah akar-akar dari$ax^2 + bx + c = 0$ , maka:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (jumlah akar)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (hasil kali akar)

Aplikasi Dunia Nyata

Aplikasi 1: Masalah Luas

Masalah: Sebidang tanah persegi panjang memiliki panjang 4m lebih panjang dari lebarnya. Luarannya 60m². Tentukan dimensinya.

Penyelesaian: Misalkan lebar =$x$ , maka panjang = $x + 4$

$x(x + 4) = 60$ $x^2 + 4x - 60 = 0$ $(x + 10)(x - 6) = 0$

Jawaban: Lebar = 6m, Panjang = 10m (buang nilai negatif)

Aplikasi 2: Gerak Proyektil

Masalah: Sebuah objek dilempar ke atas dengan ketinggian$h = 20t - 5t^2$ (meter). Kapan objek tersebut menyentuh tanah?

Penyelesaian: Tetapkan $h = 0$ $20t - 5t^2 = 0$ $5t(4 - t) = 0$

Jawaban:$t = 4$ detik ($t = 0$ adalah waktu peluncuran)

Aplikasi 3: Maksimisasi Laba

Masalah: Produk yang dijual seharga$x$ menjual$(100-x)$ unit per hari. Biaya per unit adalah $40. Tentukan harga optimal.

Fungsi keuntungan: $P = (x - 40)(100 - x) = -x^2 + 140x - 4000$ Maksimum: Di titik puncak $x = -\frac{140}{2(-1)} = 70$

Jawaban: Harga $70 memaksimalkan keuntungan

Soal Latihan CSCA

> 💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut dirancang berdasarkan kurikulum ujian CSCA dan format ujian standar Tiongkok untuk membantu siswa familiar dengan jenis soal dan pendekatan pemecahan masalah.

Contoh 1: Dasar (Kesulitan ★★☆☆☆)

Selesaikan dengan faktorisasi: $x^2 - 7x + 12 = 0$

Pilihan:

• A.$x = 2$ atau $x = 5$
• B.$x = 3$ atau $x = 4$
• C.$x = 1$ atau $x = 12$
• D.$x = -3$ atau$x = -4$ Solusi:

$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0$ $x = 3 \text{ or } x = 4$ Jawaban: B

---

Contoh 2: Menengah (Kesulitan ★★★☆☆)

Jika$x^2 - 6x + k = 0$ memiliki dua akar nyata yang sama, temukan$k$ .

Penyelesaian:

Akar yang sama berarti$\Delta = 0$ :

$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 0$ $36 - 4k = 0$ $k = 9$ Jawaban:

---$k = 9$

Contoh 3: Lanjutan (Kesulitan ★★★★☆)

Jika$x_1$ ,$x_2$ adalah akar dari$x^2 - 3x - 1 = 0$ , temukan$x_1^2 + x_2^2$ tanpa menyelesaikan.

Solusi:

Dengan rumus Vieta: $x_1 + x_2 = 3, \quad x_1 x_2 = -1$ Menggunakan identitas:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 2(-1) = 11$ Jawaban:

##$11$ Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Lupa

$a \neq 0$

Salah:$0x^2 + 3x + 2 = 0$ adalah persamaan kuadrat ✗

Benar: Ketika$a = 0$ , menjadi persamaan linear ✓

❌ Kesalahan 2: Tanda salah dalam rumus kuadrat

Salah: ✗$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$

Benar: ✓$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

❌ Kesalahan 3: Kesalahan tanda dalam rumus Vieta

Salah:$x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

Benar: ✓$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

❌ Kesalahan 4: Tidak memeriksa solusi yang tidak valid

Koreksi: Dalam masalah dunia nyata, verifikasi solusi memiliki makna fisik (misalnya, panjang tidak boleh negatif).

Tips Belajar

1. ✅ Kuasai ketiga metode: Faktorisasi paling cepat, melengkapi kuadrat menunjukkan konsep, rumus bersifat universal
2. ✅ Diskriminan adalah kunci: Selalu hitung$\Delta$ untuk menentukan jenis akar
3. ✅ Rumus Vieta diuji: Latih menemukan ekspresi tanpa menyelesaikan
4. ✅ Periksa jawaban dunia nyata: Buang solusi yang tidak masuk akal

---

💡 Tips Ujian: Persamaan kuadrat merupakan materi inti aljabar CSCA, mencakup sekitar 60% soal persamaan. Hafalkan rumus dan rumus Vieta!