二次方程èrcì fāngchéng

Konsep Pokok

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial di mana pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Persamaan ini merupakan salah satu jenis persamaan yang paling mendasar dalam aljabar.

Formulir Standar

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

di mana:

• $a$ adalah koefisien dari $x^2$ (tidak boleh bernilai 0)
• $b$ adalah koefisien dari $x$
• $c$ adalah suku konstan
• $x$ adalah variabelnya

Metode Penyelesaian

Metode 1: Pemfaktoran

Jika persamaan tersebut dapat difaktorkan, inilah cara yang paling langsung.

Contoh: $x^2 - 5x + 6 = 0$

Langkah 1: Faktorisasi $(x - 2)(x - 3) = 0$

Langkah 2: Tetapkan setiap faktor menjadi nol $x - 2 = 0 \text{ or } x - 3 = 0$

Jawaban: $x = 2$ atau $x = 3$

Metode 2: Melengkapi Kuadrat

Ubah persamaan tersebut menjadi kuadrat sempurna.

Contoh: $x^2 + 6x + 5 = 0$

Langkah 1: Atur ulang $x^2 + 6x = -5$

Langkah 2: Selesaikan persegi tersebut $x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$ $(x + 3)^2 = 4$

Langkah 3: Hitung akar kuadrat $x + 3 = \pm 2$

Jawaban: $x = -1$ atau $x = -5$

Metode 3: Rumus Kuadrat

Metode universal ini berlaku untuk semua persamaan kuadrat:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

di mana $\Delta = b^2 - 4ac$ disebut sebagai diskriminan.

Analisis Diskriminan

• $\Delta > 0$: Dua akar nyata yang berbeda
• $\Delta = 0$: Dua akar riil yang sama (akar berulang)
• $\Delta < 0$: Tidak ada akar riil (dua akar konjugat kompleks)

Rumus-rumus Vieta

Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar dari $ax^2 + bx + c = 0$, maka:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (sum of roots)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (product of roots)

Aplikasi di Dunia Nyata

Soal 1: Soal Luas

Soal: Sebuah bidang tanah berbentuk persegi panjang memiliki panjang 4 m lebih panjang daripada lebarnya. Luasnya 60 m². Tentukan ukurannya.

Solusi: Misalkan lebar = $x$, maka panjang = $x + 4$

$x(x + 4) = 60$ $x^2 + 4x - 60 = 0$ $(x + 10)(x - 6) = 0$

Jawaban: Lebar = 6 m, Panjang = 10 m (abaikan nilai negatif)

Aplikasi 2: Gerak Proyektil

Soal: Sebuah benda dilemparkan ke atas hingga ketinggian $h = 20t - 5t^2$ (meter). Kapan benda tersebut menyentuh tanah?

Solusi: Atur $h = 0$ $20t - 5t^2 = 0$ $5t(4 - t) = 0$

Jawaban: $t = 4$ detik ($t = 0$ adalah waktu peluncuran)

Aplikasi 3: Maksimisasi Laba

Soal: Produk dengan harga $x$ terjual sebanyak $(100-x)$ unit setiap hari. Biaya produksinya adalah $40 per unit. Tentukan harga optimalnya.

Fungsi keuntungan: $P = (x - 40)(100 - x) = -x^2 + 140x - 4000$

Maksimum: Di titik sudut $x = -\frac{140}{2(-1)} = 70$

Jawaban: Harga sebesar $70 akan memaksimalkan laba

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini disusun berdasarkan silabus ujian CSCA dan format ujian standar Tiongkok untuk membantu siswa mengenal berbagai jenis soal dan pendekatan dalam memecahkan masalah.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Selesaikan dengan cara memfaktorkan: $x^2 - 7x + 12 = 0$

Pilihan:

• A. $x = 2$ atau $x = 5$
• B. $x = 3$ atau $x = 4$
• C. $x = 1$ atau $x = 12$
• D. $x = -3$ atau $x = -4$

Solusi: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0$ $x = 3 \text{ or } x = 4$

Jawaban: B

---

Contoh 2: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Jika $x^2 - 6x + k = 0$ memiliki dua akar bilangan real yang sama, tentukan $k$.

Solusi:

Akarku yang sama berarti $\Delta = 0$: $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 0$ $36 - 4k = 0$ $k = 9$

Jawaban: $k = 9$

---

Contoh 3: Tingkat Lanjut (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Jika $x_1$ dan $x_2$ merupakan akar-akar dari $x^2 - 3x - 1 = 0$, tentukan nilai $x_1^2 + x_2^2$ tanpa menghitungnya.

Solusi:

Berdasarkan rumus-rumus Vieta: $x_1 + x_2 = 3, \quad x_1 x_2 = -1$

Menggunakan identitas: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 2(-1) = 11$

Jawaban: $11$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Melupakan $a \neq 0$

Salah: $0x^2 + 3x + 2 = 0$ adalah persamaan kuadrat ✗

Benar: Jika $a = 0$, maka hal itu menjadi persamaan linier ✓

❌ Kesalahan 2: Tanda yang salah dalam rumus kuadrat

Salah: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$ ✗

Benar: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ✓

❌ Kesalahan 3: Kesalahan tanda pada rumus Vieta

Salah: $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

Benar: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ✓

❌ Kesalahan ke-4: Tidak memeriksa solusi-solusi yang tidak relevan

Koreksi: Dalam soal-soal dunia nyata, pastikan solusi yang diperoleh masuk akal secara fisik (misalnya, panjang tidak boleh bernilai negatif).

Tips Belajar

1. ✅ Kuasai ketiga metode ini: Pemfaktoran adalah yang tercepat, penyelesaian kuadrat memperjelas konsep, sedangkan rumus bersifat universal
2. ✅ Diskriminan adalah kunci: Selalu hitung $\Delta$ untuk menentukan jenis akar
3. ✅ Rumus-rumus Vieta telah diuji: Berlatihlah mencari ekspresi tanpa menyelesaikannya
4. ✅ Periksa jawaban yang sesuai dengan kenyataan: Singkirkan solusi yang tidak masuk akal

---

💡 Tips Ujian: Persamaan kuadrat merupakan materi inti aljabar dalam ujian CSCA, yang mencakup sekitar 60% dari soal-soal persamaan. Hafalkan rumusnya dan rumus-rumus Vieta!