二次方程èrcì fāngchéng

Konsep Inti

Persamaan kuadrat adalah persamaan polinomial dengan pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Persamaan ini merupakan salah satu jenis persamaan yang paling mendasar dalam aljabar.

Bentuk Standar

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

di mana:

• $a$ adalah koefisien dari $x^2$ (tidak boleh 0)
• $b$ adalah koefisien dari $x$
• $c$ adalah suku konstanta
• $x$ adalah variabel

Metode Penyelesaian

Metode 1: Pemfaktoran

Ketika persamaan dapat difaktorkan, ini adalah pendekatan yang paling langsung.

Contoh: $x^2 - 5x + 6 = 0$

Langkah 1: Faktor $(x - 2)(x - 3) = 0$

Langkah 2: Tetapkan setiap faktor menjadi nol $x - 2 = 0 \text{ or } x - 3 = 0$

Jawaban: $x = 2$ atau $x = 3$

Metode 2: Melengkapi Kuadrat

Ubah persamaan menjadi kuadrat sempurna.

Contoh: $x^2 + 6x + 5 = 0$

Langkah 1: Atur ulang $x^2 + 6x = -5$

Langkah 2: Selesaikan kotaknya $x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$ $(x + 3)^2 = 4$

Langkah 3: Ambil akar kuadrat $x + 3 = \pm 2$

Jawaban: $x = -1$ atau $x = -5$

Metode 3: Rumus Kuadrat

Metode universal ini bekerja untuk semua persamaan kuadrat:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

di mana $\Delta = b^2 - 4ac$ disebut sebagai diskriminan.

Analisis Diskriminan

• $\Delta > 0$: Dua akar real yang berbeda
• $\Delta = 0$: Dua akar real yang sama (akar berulang)
• $\Delta < 0$: Tidak ada akar nyata (dua akar konjugasi kompleks)

Rumus Vieta

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar-akar dari $ax^2 + bx + c = 0$, maka:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (jumlah akar)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (hasil kali akar)

Aplikasi Dunia Nyata

Aplikasi 1: Masalah Luas

Masalah: Sebuah petak persegi panjang memiliki panjang 4m lebih dari lebarnya. Luasnya adalah 60m². Tentukan dimensinya.

Solusi: Biarkan lebar = $x$, lalu panjang = $x + 4$

$x(x + 4) = 60$ $x^2 + 4x - 60 = 0$ $(x + 10)(x - 6) = 0$

Jawaban: Lebar = 6m, Panjang = 10m (buang nilai negatif)

Aplikasi 2: Gerakan Proyektil

Persoalan: Benda dilempar ke atas dengan ketinggian $h = 20t - 5t^2$ (meter). Kapan benda itu menyentuh tanah?

Solusi: Tetapkan $h = 0$ $20t - 5t^2 = 0$ $5t(4 - t) = 0$

Jawaban: $t = 4$ detik ($t = 0$ adalah waktu peluncuran)

Aplikasi 3: Maksimalisasi Keuntungan

Masalah: Produk dengan harga $x$ menjual $(100-x)$ unit setiap hari. Biayanya adalah $40/unit. Temukan harga yang optimal.

Fungsi keuntungan: $P = (x - 40)(100 - x) = -x^2 + 140x - 4000$

Maksimum: Pada titik $x = -\frac{140}{2(-1)} = 70$

Jawaban: Harga pada $70 memaksimalkan keuntungan

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini dirancang berdasarkan silabus ujian CSCA dan format ujian standar bahasa Mandarin untuk membantu siswa membiasakan diri dengan jenis-jenis pertanyaan dan pendekatan pemecahan masalah.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Selesaikan dengan pemfaktoran: $x^2 - 7x + 12 = 0$

Opsi:

• A. $x = 2$ atau $x = 5$
• B. $x = 3$ atau $x = 4$
• C. $x = 1$ atau $x = 12$
• D. $x = -3$ atau $x = -4$

Solusi: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0$ $x = 3 \text{ or } x = 4$

Jawab: B

---

Contoh 2: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Jika $x^2 - 6x + k = 0$ memiliki dua akar real yang sama, cari $k$.

Solusi:

Akar-akar yang sama berarti $\Delta = 0$: $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 0$ $36 - 4k = 0$ $k = 9$

Jawaban: $k = 9$

---

Contoh 3: Tingkat Lanjut (Kesulitan ★★★★☆)

Jika $x_1$, $x_2$ adalah akar-akar dari $x^2 - 3x - 1 = 0$, cari $x_1^2 + x_2^2$ tanpa penyelesaian.

Penyelesaian:

Dengan rumus Vieta: $x_1 + x_2 = 3, \quad x_1 x_2 = -1$

Menggunakan identitas: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 2(-1) = 11$

Jawaban: $11$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Melupakan $a \neq 0$

Salah: $0x^2 + 3x + 2 = 0$ adalah persamaan kuadrat ✗

Benar: Ketika $a = 0$, maka ia menjadi sebuah persamaan linear ✓

❌ Kesalahan 2: Tanda yang salah dalam rumus kuadrat

Salah: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$ ✗

Benar: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ✓

❌ Kesalahan 3: Kesalahan tanda rumus Vieta

Salah: $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

Benar: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ✓

❌ Kesalahan 4: Tidak memeriksa solusi-solusi yang tidak sesuai

Koreksi: Dalam masalah dunia nyata, verifikasi solusi yang masuk akal secara fisik (misalnya, panjangnya tidak mungkin negatif).

Kiat-kiat Belajar

1. kuasai ketiga metode tersebut**: Memfaktorkan adalah yang tercepat, menyelesaikan kuadrat menunjukkan konsep, rumus bersifat universal
2. ✅ Diskriminatif adalah kuncinya: Selalu hitung $\Delta$ untuk menentukan jenis akar
3. ✅ Rumus Vieta sudah teruji: Berlatihlah menemukan ekspresi tanpa penyelesaian
4. ✅ Periksa jawaban dunia nyata: Buang solusi yang tidak masuk akal

---

💡 Tip Ujian: Persamaan kuadrat adalah inti dari konten aljabar CSCA, mencakup sekitar 60% dari soal-soal persamaan. Hafalkan rumus dan rumus Vieta!