复数fùshù

Konsep Inti

Bilangan Kompleks adalah perluasan dari bilangan riil, dengan bentuk $z = a + bi$ di mana $a, b$ adalah bilangan riil dan $i$ adalah satuan imajiner.

Satuan Imajiner

Satuan imajiner $i$ memenuhi $i^2 = -1$.

$i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$

**Pangkat dari $i$:

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = -i$
• $i^4 = 1$
• $i^{4k+r} = i^r$ ($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$)

Bentuk Bilangan Kompleks

$z = a + bi$

Dimana:

• $a$ adalah bagian nyata, dilambangkan dengan $\text{Re}(z)$
• $b$ adalah bagian imajiner, dilambangkan dengan $\text{Im}(z)$
• Jika $b = 0$, $z$ adalah bilangan riil
• Ketika $a = 0, b \neq 0$, $z$ adalah bilangan imajiner murni
• Jika $b \neq 0$, $z$ adalah bilangan imajiner

Kesetaraan Kompleks

$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$

Pesawat Kompleks

Representasi Geometris

Bilangan kompleks $z = a + bi$ dapat direpresentasikan sebagai titik $(a, b)$ pada bidang kompleks:

• Sumbu horizontal (sumbu riil): Mewakili bagian nyata
• Sumbu vertikal (sumbu imajiner): Mewakili bagian imajiner

Representasi Vektor

Bilangan kompleks $z = a + bi$ juga dapat dilihat sebagai vektor $\overrightarrow{OZ}$ dari titik asal $O$ ke titik $(a, b)$.

Modulus Bilangan Kompleks

Definisi

Modulus **bilangan kompleks $z = a + bi$, dilambangkan dengan $|z|$:

$|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Makna Geometris

$|z|$ merepresentasikan jarak dari titik $z$ ke titik asal di bidang kompleks.

Properti

1. $|z| \geq 0$, dengan kesetaraan jika $z = 0$
2. $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
3. $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ ($z_2 \neq 0$)
4. $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (pertidaksamaan segitiga)

Konjugasi

Definisi

Konjugasi ** dari bilangan kompleks $z = a + bi$, dilambangkan dengan $\bar{z}$:

$\bar{z} = a - bi$

Arti Geometris

$\bar{z}$ adalah refleksi dari $z$ pada sumbu nyata.

Properti

1. $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$
2. $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$
3. $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$
4. $z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$
5. $z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$

Operasi

Penambahan dan Pengurangan

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

Perkalian

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Pembagian

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

Metode: Mengalikan pembilang dan penyebut dengan konjugasi penyebut

Soal-soal Latihan CSCA

[Contoh 1] Dasar (Tingkat kesulitan ★★☆☆☆)

Diberikan bilangan kompleks $z = 3 + 4i$, cari $|z|$ dan $\bar{z}$.

Solusi:

Modulus: $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Konjugasi: $$$\bar{z} = 3 - 4i$$

Jawaban: $|z| = 5$, $\bar{z} = 3 - 4i$

---

[Contoh 2] Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Hitung $(2 + 3i)(1 - 2i)$.

Penyelesaian:

$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ $= 2 - i + 6 = 8 - i$

Jawaban: $8 - i$

Kesalahpahaman Umum

❌ Miskonsepsi 1: Memperlakukan $i$ sebagai sebuah variabel

Salah: Menganggap $i$ dapat disederhanakan lebih lanjut seperti variabel aljabar

Benar: $i$ adalah unit imajiner dengan $i^2 = -1$, bukan variabel

❌ Kesalahpahaman 2: Perhitungan modulus yang salah

Salah: $|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

Benar: __ RUMUS_MATEMATIKA_71__

❌ Miskonsepsi 3: Tanda konjugasi yang salah

Salah: __ RUMUS_MATEMATIKA_72__

Benar: $\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$ (hanya bagian imajiner yang berubah tanda)

Tips Belajar

1. pahami unit imajiner**: $i^2 = -1$ adalah hal yang mendasar
2. ✅ Menguasai operasi: Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian
3. ✅ Ingat modulus dan konjugat: Arti dan sifat geometrisnya
4. ✅ ** Berlatih pembagian**: Merasionalkan penyebut adalah kuncinya
5. ✅ Memahami geometri: Titik dan vektor dalam bidang kompleks

---

💡 Tip Ujian: Bilangan kompleks penting dalam matematika sekolah menengah. Relatif mudah dalam ujian CSCA, tetapi operasi dan konsep dasar harus dikuasai! Menyumbang sekitar 10-15% dari masalah aljabar.