复数fùshù

Konsep Pokok

Bilangan kompleks adalah perluasan dari bilangan real, yang berbentuk $z = a + bi$, di mana $a, b$ adalah bilangan real dan $i$ adalah satuan imajiner.

Bagian Imajiner

Unit imajiner $i$ memenuhi persamaan $i^2 = -1$.

$i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$

Fitur-fitur $i$:

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = -i$
• $i^4 = 1$
• $i^{4k+r} = i^r$ ($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$)

Bentuk Bilangan Kompleks

$z = a + bi$

Di mana:

• $a$ adalah komponen asli, yang disebut $\text{Re}(z)$
• $b$ adalah bagian imajiner, yang dilambangkan dengan $\text{Im}(z)$
• Jika $b = 0$, maka $z$ adalah bilangan real
• Apabila $a = 0, b \neq 0$, maka $z$ adalah bilangan imajiner murni
• Jika $b \neq 0$, maka $z$ adalah bilangan imajiner

Kesetaraan Kompleks

$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$

Bidang Kompleks

Representasi Geometris

Bilangan kompleks $z = a + bi$ dapat direpresentasikan sebagai titik $(a, b)$ pada bidang kompleks:

• Sumbu horizontal (sumbu nyata): Menunjukkan bagian nyata
• Sumbu vertikal (sumbu imajiner): Melambangkan bagian imajiner

Representasi Vektor

Bilangan kompleks $z = a + bi$ juga dapat dipandang sebagai vektor $\overrightarrow{OZ}$ dari titik asal $O$ ke titik $(a, b)$.

Modulus Bilangan Kompleks

Definisi

Modulus dari bilangan kompleks $z = a + bi$, yang dilambangkan dengan $|z|$:

$|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Makna Geometris

$|z|$ menunjukkan jarak dari titik $z$ ke titik asal pada bidang kompleks.

Sifat-sifat

1. $|z| \geq 0$, sama dengan $z = 0$ jika dan hanya jika
2. $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
3. $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ ($z_2 \neq 0$)
4. $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (ketidaksetaraan segitiga)

Konjugat

Definisi

Konjugat dari bilangan kompleks $z = a + bi$, yang dilambangkan dengan $\bar{z}$:

$\bar{z} = a - bi$

Makna Geometris

$\bar{z}$ merupakan bayangan cermin $z$ terhadap sumbu nyata.

Sifat-sifat

1. $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$
2. $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$
3. $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$
4. $z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$
5. $z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$

Operasional

Penjumlahan dan Pengurangan

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

Perkalian

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Divisi

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

Cara: Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat dari penyebut

Soal Latihan CSCA

[Contoh 1] Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Berdasarkan bilangan kompleks $z = 3 + 4i$, tentukan $|z|$ dan $\bar{z}$.

Solusi:

Modulus: $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Konjugasi: $\bar{z} = 3 - 4i$

Jawaban: $|z| = 5$, $\bar{z} = 3 - 4i$

---

[Contoh 2] Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Hitung $(2 + 3i)(1 - 2i)$.

Solusi:

$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ $= 2 - i + 6 = 8 - i$

Jawaban: $8 - i$

Kesalahpahaman Umum

❌ Kesalahpahaman 1: Menganggap $i$ sebagai variabel

Salah: Beranggapan bahwa $i$ dapat disederhanakan lebih lanjut seperti variabel aljabar

Benar: $i$ adalah satuan imajiner bersama dengan $i^2 = -1$, bukan sebuah variabel

❌ Kesalahpahaman ke-2: Perhitungan modulus yang salah

Salah: $|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

Benar: $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

❌ Kesalahpahaman ke-3: Tanda konjugasi yang salah

Salah: $\overline{3 + 4i} = -3 - 4i$

Benar: $\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$ (hanya bagian imajiner yang berubah tanda)

Tips Belajar

1. ✅ Memahami satuan imajiner: $i^2 = -1$ merupakan materi dasar
2. ✅ Operasi dasar: Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian
3. ✅ Ingatlah modulus dan konjugat: Makna geometris dan sifat-sifatnya
4. ✅ Latihan pembagian: Merampingkan penyebut adalah kuncinya
5. ✅ Memahami geometri: Titik dan vektor pada bidang kompleks

---

💡 Tips Ujian: Bilangan kompleks merupakan materi penting dalam matematika SMA. Meskipun relatif mudah dalam ujian CSCA, operasi dan konsep dasarnya harus dikuasai! Materi ini mencakup sekitar 10–15% dari soal-soal aljabar.