复数fùshù

Konsep Dasar

Bilangan kompleks adalah perpanjangan dari bilangan real, berbentuk$z = a + bi$

di mana$a, b$

adalah bilangan real dan$i$

adalah satuan imajiner.

Satuan Imajiner

Satuan imajiner$i$

memuaskan$i^2 = -1$

.

$i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$

Pangkat dari$i$

:

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = -i$

$i^4 = 1$

-$i^{4k+r} = i^r$

($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$

)

Bentuk Bilangan Kompleks

$z = a + bi$

Dimana: -$a$

adalah bagian nyata, dilambangkan $\text{Re}(z)$

-$b$

adalah bagian imajiner, dilambangkan $\text{Im}(z)$

• Ketika$b = 0$

,$z$

adalah bilangan nyata

• Ketika$a = 0, b \neq 0$

,$z$

adalah bilangan imajiner murni

• Ketika$b \neq 0$

,$z$

adalah bilangan imajiner

Kesetaraan Bilangan$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$

Kompleks

Bidang Kompleks

Representasi Geometris

Bilangan kompleks$z = a + bi$

dapat diwakili sebagai titik$(a, b)$

di bidang kompleks:

• Sumbu horizontal (sumbu nyata): Mewakili bagian nyata
• Sumbu vertikal (sumbu imajiner): Mewakili bagian imajiner

Representasi Vektor$z = a + bi$

Bilangan kompleks juga dapat dilihat sebagai vektor$\overrightarrow{OZ}$

dari asal$O$

ke titik$(a, b)$

.

Modulus Bilangan Kompleks

Definisi

Modulus bilangan kompleks$z = a + bi$

, dilambangkan$|z|$

dengan :

$|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Makna

$|z|$

Geometris mewakili jarak dari titik$z$

ke asal di bidang kompleks.

Sifat-sifat

1.$|z| \geq 0$

, dengan kesamaan jika dan$z = 0$

hanya jika 2. $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

3.$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

($z_2 \neq 0$

) 4.$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

(ketidaksetaraan segitiga)

Konjugat

Definisi

Konjugat bilangan kompleks$z = a + bi$

, dilambangkan$\bar{z}$

dengan :

$\bar{z} = a - bi$

Makna

$\bar{z}$

Geometris adalah cerminan$z$

melalui sumbu nyata.

Sifat-sifat

$\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$

$\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$

$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$

$z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$

5.$z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$

Operasi

Penjumlahan dan

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

Pengurangan###

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Perkalian### Pembagian

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

Metode: Kalikan pembilang dan penyebut dengan konjugat penyebut

Soal Latihan CSCA

[Contoh 1] Dasar (Kesulitan ★★☆☆☆)

Diketahui bilangan kompleks$z = 3 + 4i$

, temukan$|z|$

dan$\bar{z}$

.

Penyelesaian:

Modulus: $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Konjugat:

$\bar{z} = 3 - 4i$

Jawaban:$|z| = 5$

, $\bar{z} = 3 - 4i$

---

[Contoh 2] Menengah (Kesulitan ★★★☆☆)

Hitung$(2 + 3i)(1 - 2i)$

.

Penyelesaian:

$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ $= 2 - i + 6 = 8 - i$

Jawaban: $8 - i$

Kesalahpahaman Umum

❌ Kesalahpahaman 1: Menganggap$i$

sebagai variabel

Salah: Menganggap$i$

dapat disederhanakan lebih lanjut seperti variabel aljabar

Benar:$i$

adalah satuan imajiner dengan$i^2 = -1$

, bukan variabel

❌ Kesalahpahaman 2: Perhitungan modulus yang salah

Salah: $|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

Benar: $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

❌ Kesalahpahaman 3: Tanda konjugat yang salah

Salah:$\overline{3 + 4i} = -3 - 4i$

Benar:$\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$

(hanya bagian imajiner yang berubah tanda)

Tips Belajar

1. ✅ Pahami satuan imajiner:$i^2 = -1$

adalah dasar 2. ✅ Kuasai operasi: Penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian 3. ✅ Ingat modulus dan konjugat: Makna geometris dan sifat-sifatnya 4. ✅ Latih pembagian: Rasionalisasi penyebut adalah kunci 5. ✅ Pahami geometri: Titik dan vektor di bidang kompleks

---

💡 Tips Ujian: Bilangan kompleks penting dalam matematika SMA. Cukup sederhana dalam ujian CSCA, tetapi operasi dan konsep dasar harus dikuasai! Menyerap sekitar 10-15% soal aljabar.