判别式pànbiéshì

Konsep Dasar

Diskriminan (dilambangkan $\Delta$) adalah nilai kunci yang dihitung dari koefisien persamaan kuadrat untuk menentukan sifat dan jumlah akar-akarnya.

Definisi

Untuk persamaan kuadrat dalam bentuk standar:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

diskriminan didefinisikan sebagai:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Ekspresi ini muncul di bawah tanda akar dalam rumus kuadrat:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

Tiga Kasus

Kasus 1: $\Delta > 0$ — Dua akar riil yang berbeda

Persamaan memiliki dua solusi riil yang berbeda:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

Contoh: $x^2 - 5x + 6 = 0$

$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0$

$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$

Kasus 2: $\Delta = 0$ — Satu akar ganda (akar berulang)

Persamaan memiliki tepat satu solusi riil (akar ganda):

$x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$

Contoh: $x^2 - 6x + 9 = 0$

$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$

$x = \frac{6}{2} = 3$

Kasus 3: $\Delta < 0$ — Tidak ada akar riil

Persamaan tidak memiliki solusi riil (dua akar kompleks konjugat).

Contoh: $x^2 + 2x + 5 = 0$

$\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0$

Tidak ada akar riil.

Interpretasi Grafis

Diskriminan menentukan bagaimana parabola $y = ax^2 + bx + c$ memotong sumbu x:

Diskriminan	Parabola dan sumbu x	Jumlah titik potong
$\Delta > 0$	Memotong sumbu x di dua titik	2
$\Delta = 0$	Menyinggung sumbu x di satu titik (titik puncak)	1
$\Delta < 0$	Tidak memotong sumbu x	0

Jika $a > 0$ (parabola terbuka ke atas) dan $\Delta < 0$, seluruh parabola berada di atas sumbu x, artinya $ax^2 + bx + c > 0$ untuk semua $x$ riil.

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut dirancang berdasarkan kurikulum ujian CSCA dan format ujian standar Tiongkok untuk membantu siswa familiar dengan jenis soal dan pendekatan pemecahan masalah.

Soal 1: Dasar (Kesulitan ★★☆☆☆)

Tentukan diskriminan dan sifat akar untuk: $2x^2 + 3x - 2 = 0$

Penyelesaian:

$\Delta = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 > 0$

Karena $\Delta > 0$, persamaan memiliki dua akar riil yang berbeda.

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -2$

---

Soal 2: Menengah (Kesulitan ★★★☆☆)

Untuk nilai $m$ berapa persamaan $x^2 + mx + 4 = 0$ tidak memiliki akar riil?

Penyelesaian:

Tidak ada akar riil berarti $\Delta < 0$:

$\Delta = m^2 - 4(1)(4) < 0$ $m^2 - 16 < 0$ $m^2 < 16$ $-4 < m < 4$

Jawaban: $-4 < m < 4$

---

Soal 3: Lanjutan (Kesulitan ★★★★☆)

Buktikan bahwa persamaan $(k+1)x^2 + 2kx + (k-1) = 0$ selalu memiliki akar riil untuk semua nilai riil $k$ (dengan $k \neq -1$).

Penyelesaian:

$\Delta = (2k)^2 - 4(k+1)(k-1)$ $= 4k^2 - 4(k^2 - 1)$ $= 4k^2 - 4k^2 + 4$ $= 4 > 0$

Karena $\Delta = 4 > 0$ untuk semua $k$, persamaan selalu memiliki dua akar riil yang berbeda. $\blacksquare$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Tanda salah pada $b^2 - 4ac$

Salah: $\Delta = b^2 + 4ac$ ✗

Benar: $\Delta = b^2 - 4ac$ ✓

❌ Kesalahan 2: Lupa tanda kurung untuk $b$ negatif

Salah: Untuk $x^2 - 6x + 5 = 0$: $\Delta = -6^2 - 4(1)(5) = -36 - 20$ ✗

Benar: $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$ ✓

❌ Kesalahan 3: Kebingungan antara $\Delta = 0$ dan $\Delta < 0$

Salah: $\Delta = 0$ berarti tidak ada akar ✗

Benar: $\Delta = 0$ berarti akar ganda; $\Delta < 0$ berarti tidak ada akar riil ✓

Tips Belajar

1. ✅ Hafalkan rumus: $\Delta = b^2 - 4ac$ — ini adalah dasar analisis akar.
2. ✅ Perhatikan tanda dengan cermat: Terutama untuk nilai $b$ negatif, jangan lupa tanda kurung.
3. ✅ Hubungkan dengan grafik: Selalu kaitkan diskriminan dengan perilaku perpotongan parabola terhadap sumbu x.
4. ✅ Latih soal parameter: Soal CSCA sering meminta penentuan rentang parameter agar jenis akar tertentu terpenuhi.

---

💡 Tips Ujian: Diskriminan adalah alat sentral dalam aljabar CSCA. Soal dengan parameter ($k$, $m$) dan syarat akar sangat sering muncul — berlatihlah dengan berbagai pertidaksamaan yang melibatkan $\Delta$!