判别式pànbiéshì

Konsep Pokok

Diskriminan dari persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ didefinisikan sebagai:

$\Delta = b^2 - 4ac$

Diskriminan menentukan sifat (jenis dan jumlah) akar-akar persamaan kuadrat.

Analisis Akar

Diskriminan	Jumlah Akar Nyata	Sifat-sifat Akar
$\Delta > 0$	Dua	Dua akar riil yang berbeda
$\Delta = 0$	Satu	Satu akar riil yang berulang (akar ganda)
$\Delta < 0$	Nol	Dua akar konjugat kompleks

Kasus 1: $\Delta > 0$ (Dua Akar Riil yang Berbeda)

Akar-akarnya adalah: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

Kasus 2: $\Delta = 0$ (Satu Akar yang Berulang)

Akarnya adalah: $x = -\frac{b}{2a}$

Parabola tersebut bersinggung dengan sumbu x pada titik ini.

Kasus 3: $\Delta < 0$ (Tanpa Akar Nyata)

Akar masalahnya rumit: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$

Parabola tersebut tidak memotong sumbu x.

Interpretasi Grafis

Untuk fungsi kuadrat $f(x) = ax^2 + bx + c$:

• $\Delta > 0$: Parabola memotong sumbu x pada dua titik
• $\Delta = 0$: Parabola bersinggungan dengan sumbu x tepat pada satu titik (titik puncak)
• $\Delta < 0$: Parabola tidak menyentuh sumbu x

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini disusun berdasarkan silabus ujian CSCA.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Tentukan sifat akar pada $x^2 - 4x + 4 = 0$.

Solusi: $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$

Sejak $\Delta = 0$, terdapat satu akar yang berulang.

Jawaban: Satu akar riil yang berulang: $x = 2$

---

Contoh 2: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Untuk nilai-nilai $k$ manakah $x^2 + kx + 9 = 0$ memiliki dua akar real yang sama?

Solusi:

Untuk akar yang sama, kita memerlukan $\Delta = 0$: $\Delta = k^2 - 4(1)(9) = k^2 - 36 = 0$ $k^2 = 36$ $k = \pm 6$

Jawaban: $k = 6$ atau $k = -6$

---

Contoh 3: Tingkat Lanjut (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Tentukan interval nilai $m$ sedemikian rupa sehingga $x^2 + 2x + m = 0$ memiliki dua akar negatif yang berbeda.

Solusi:

Misalkan $x_1, x_2$ adalah akar-akarnya. Kita perlu:

1. Dua akar riil yang berbeda: $\Delta > 0$
2. Kedua akar tersebut bernilai negatif: $x_1 + x_2 < 0$ DAN $x_1 \cdot x_2 > 0$

Berdasarkan rumus-rumus Vieta:

• $x_1 + x_2 = -2 < 0$ ✓ (selalu puas)
• $x_1 \cdot x_2 = m > 0$

Dari diskriminan: $\Delta = 4 - 4m > 0$ $1 - m > 0$ $m < 1$

Kombinasi: $0 < m < 1$

Jawaban: $m \in (0, 1)$

---

Contoh 4: Tingkat Lanjut (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Jika $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) memiliki akar $x_1$ dan $x_2$, nyatakan $|x_1 - x_2|$ dalam bentuk $a$, $b$, dan $c$.

Solusi:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

Berdasarkan rumus-rumus Vieta: $(x_1 - x_2)^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4 \cdot \frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2}$

Oleh karena itu: $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

Jawaban: $|x_1 - x_2| = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

Aplikasi

1. Perpotongan Garis dan Kurva

Untuk mengetahui berapa kali sebuah garis memotong parabola:

1. Masukkan persamaan garis ke dalam persamaan parabola
2. Tentukan persamaan kuadrat
3. Gunakan diskriminan untuk menghitung titik-titik potong

2. Syarat-syarat Tangen

Sebuah garis disebut garis singgung pada parabola jika $\Delta = 0$.

Contoh: Agar $y = x^2$ dan $y = kx - 1$ bersinggungan: $x^2 = kx - 1$ $x^2 - kx + 1 = 0$ $\Delta = k^2 - 4 = 0$ $k = \pm 2$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Kesalahan Tanda dalam Rumus

Salah: $\Delta = b^2 + 4ac$ ✗

Benar: $\Delta = b^2 - 4ac$ ✓

❌ Kesalahan ke-2: Lupa Mempertimbangkan Semua Kondisi

Saat mencari akar dengan sifat-sifat tertentu (keduanya positif, keduanya negatif, dan sebagainya), Anda harus memeriksa:

• Kondisi diskriminan ($\Delta$)
• Kondisi jumlah akar
• Kondisi hasil kali akar

❌ Kesalahan 3: Menganggap Akar yang Sama sama dengan Tidak Ada Akar

Salah: $\Delta = 0$ berarti tidak ada akar riil ✗

Benar: $\Delta = 0$ berarti terdapat satu akar riil yang berulang; $\Delta < 0$ berarti tidak ada akar riil ✓

Tips Belajar

1. ✅ Hafalkan rumusnya: $\Delta = b^2 - 4ac$
2. ✅ Hubungkan dengan grafik: Visualisasikan parabola yang memotong/menyentuh/tidak memotong sumbu x
3. ✅ Gabungkan dengan Rumus Vieta: Banyak soal memerlukan rumus diskriminan dan rumus Vieta secara bersamaan
4. ✅ Periksa semua kondisi: Untuk akar yang terbatasi, periksa $\Delta$, penjumlahan, dan perkalian

---

💡 Tips Soal: Diskriminan sering muncul dalam banyak soal CSCA yang membahas keberadaan akar. Selalu periksa $\Delta$ terlebih dahulu jika soal menyebutkan "akar riil" atau "tidak ada akar riil"!