韦达定理wéidá dìnglǐ

Konsep Dasar

Rumus Vieta (韦达定理) menghubungkan koefisien suatu polinomial dengan jumlah dan hasil kali akar-akarnya.

Untuk persamaan kuadrat $ax^2 + bx + c = 0$ dengan akar $x_1$ dan $x_2$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (Jumlah akar)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (Hasil kali akar)

Penurunan Rumus

Dari rumus kuadrat: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

Jumlah: $x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$

Hasil kali: $x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b - \sqrt{\Delta})}{4a^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$

Aplikasi Penting

1. Menghitung Ekspresi Tanpa Menyelesaikan

Hitung ekspresi yang melibatkan akar tanpa mencari nilai akar yang sebenarnya.

Rumus penting: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

2. Menyusun Persamaan dari Akar

Jika $\alpha$ dan $\beta$ adalah akar, maka persamaan kuadratnya adalah: $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$

Atau secara ekuivalen: $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$

3. Menentukan Tanda Akar

Tanpa menyelesaikan, tentukan tanda akar:

• Keduanya positif: $x_1 + x_2 > 0$ DAN $x_1 \cdot x_2 > 0$
• Keduanya negatif: $x_1 + x_2 < 0$ DAN $x_1 \cdot x_2 > 0$
• Tanda berlawanan: $x_1 \cdot x_2 < 0$

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut dirancang berdasarkan kurikulum ujian CSCA.

Contoh 1: Dasar (Kesulitan ★★☆☆☆)

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar dari $x^2 - 3x - 4 = 0$, tentukan $x_1 + x_2$ dan $x_1 \cdot x_2$.

Penyelesaian:

Dengan rumus Vieta, $a = 1$, $b = -3$, $c = -4$: $x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$ $x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{1} = -4$

Jawaban: Jumlah = 3, Hasil kali = -4

---

Contoh 2: Menengah (Kesulitan ★★★☆☆)

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar dari $2x^2 + 5x - 3 = 0$, tentukan $x_1^2 + x_2^2$.

Penyelesaian:

Dengan rumus Vieta: $x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}, \quad x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{2}$

Menggunakan identitas: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ $= \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{3}{2}\right)$ $= \frac{25}{4} + 3 = \frac{25}{4} + \frac{12}{4} = \frac{37}{4}$

Jawaban: $\dfrac{37}{4}$

---

Contoh 3: Lanjutan (Kesulitan ★★★★☆)

Jika $x_1$ dan $x_2$ adalah akar dari $x^2 - 4x + 1 = 0$, tentukan $\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}$.

Penyelesaian:

Dengan rumus Vieta: $x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 \cdot x_2 = 1$

Sederhanakan ekspresi: $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$

Pertama, cari $x_1^2 + x_2^2$: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 - 2 = 14$

Oleh karena itu: $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{14}{1} = 14$

Jawaban: $14$

---

Contoh 4: Lanjutan (Kesulitan ★★★★☆)

Tentukan persamaan kuadrat dengan koefisien bilangan bulat yang akar-akarnya adalah $2 + \sqrt{3}$ dan $2 - \sqrt{3}$.

Penyelesaian:

Jumlah akar: $\alpha + \beta = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

Hasil kali akar: $\alpha \cdot \beta = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

Persamaannya adalah: $x^2 - 4x + 1 = 0$

Jawaban: $x^2 - 4x + 1 = 0$

---

Contoh 5: Lanjutan (Kesulitan ★★★★★)

Jika salah satu akar dari $x^2 + px + q = 0$ adalah dua kali lipat dari akar lainnya, dan jumlah akar adalah 6, tentukan $p$ dan $q$.

Penyelesaian:

Misalkan akar-akarnya $r$ dan $2r$.

Dengan rumus Vieta:

• $r + 2r = 3r = -p$
• $r \cdot 2r = 2r^2 = q$

Diketahui jumlah = 6: $3r = 6 \Rightarrow r = 2$

Oleh karena itu: $p = -3r = -6$ $q = 2r^2 = 2(4) = 8$

Jawaban: $p = -6$, $q = 8$

Rumus Vieta yang Diperluas

Untuk persamaan kubik $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ dengan akar $x_1, x_2, x_3$:

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$ $x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a}$ $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Tanda Salah untuk Jumlah

Salah: $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

Benar: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ✓

❌ Kesalahan 2: Mengasumsikan Akar Riil

Rumus Vieta tetap berlaku meskipun $\Delta < 0$ (akar kompleks), tetapi banyak aplikasi memerlukan akar riil. Selalu periksa $\Delta \geq 0$ jika diperlukan.

❌ Kesalahan 3: Kondisi Akar Tidak Lengkap

Untuk "kedua akar positif": perlu keduanya $x_1 + x_2 > 0$ dan $x_1 \cdot x_2 > 0$ serta $\Delta \geq 0$.

Tips Belajar

1. ✅ Ingat tandanya: Jumlah memiliki tanda negatif, hasil kali tidak
2. ✅ Pelajari transformasi umum: $x_1^2 + x_2^2$, $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$, dll.
3. ✅ Kombinasikan dengan diskriminan: Untuk kondisi akar riil
4. ✅ Latih soal terbalik: Mencari persamaan dari akar yang diketahui

---

💡 Tips Ujian: Rumus Vieta sering diuji dalam CSCA. Kuasai transformasi untuk $x_1^2 + x_2^2$ dan $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ — rumus ini muncul di sebagian besar soal!