35. Diketahui bahwa $a , b \in \mathrm { R }$ dan bilangan kompleks $z = a + 2 b \mathrm { i }$ (di mana i adalah unit imajiner) memenuhi $z \cdot \bar { z } = 4$, berikan kesimpulan sebagai berikut: (1) Kisaran nilai dari $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ adalah $[ 1,4 ]$.
Kisaran nilai dari $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ adalah $[ 1,4 ]$; (2) Kisaran nilai dari $\sqrt { ( a - \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + b ^ { 2 } } + \sqrt { ( a + \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } + b ^ { 2 } } = 4$; (3) Kisaran nilai dari $\frac { b - \sqrt { 5 } } { a }$
adalah $( - \infty , - 1 ] \cup [ 1 , + \infty )$; (4) Nilai minimum dari $\frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } }$ adalah 2; Banyaknya kesimpulan yang benar di antara mereka adalah ( )
- A. A. 1
- B. B. 2
- C. C. 3
- D. D. 4
Answer: C
Solution: Dari ${ } ^ { Z \cdot \bar { z } } = 4 \Rightarrow ( a + 2 b \mathrm { i } ) ( a - 2 b \mathrm { i } ) = a ^ { 2 } + 4 b ^ { 2 } = \left. z \right| ^ { 2 } = 4 \Rightarrow \frac { a ^ { 2 } } { 4 } + b ^ { 2 } = 1$, titik $( a , b ) _ { \text {的轨迹 } }$
adalah sebuah elips dengan $( - \sqrt { 3 } , 0 ) , ( \sqrt { 3 } , 0 )$ sebagai fokus, $a ^ { \prime } = 2$ sebagai panjang semiaksial panjang, $b ^ { \prime } = 1$ sebagai panjang semiaksial pendek, dan $c ^ { \prime } = \sqrt { 3 }$ sebagai jarak semi fokus.
Dari definisi elips, (2) adalah benar;
$a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ menunjukkan kuadrat dari jarak dari titik pada elips ke titik asal. Sangat mudah untuk mengetahui bahwa jarak dari titik akhir pada sumbu pendek elips ke titik asal adalah yang terkecil, dan jarak dari titik akhir pada sumbu panjang ke titik asal adalah yang terbesar, yang masing-masing adalah 1 dan 2, sehingga kisaran nilai $a ^ { 2 } + b ^ { 2 }$ adalah ${ } ^ { [ 1,4 ] }$, (1) Benar; $\frac { b - \sqrt { 5 } } { a }$ mewakili kemiringan garis antara titik $( a , b )$ dan titik $( 0 , \sqrt { 5 } )$ pada elips, atur garis lurus $l : b = k a + \sqrt { 5 }$ dan elips bersinggungan dengan persamaan garis dan elips, dan sederhanakan persamaannya untuk mendapatkan: $\left( \frac { 1 } { 4 } + k ^ { 2 } \right) a ^ { 2 } + 2 \sqrt { 5 } k a + 4 = 0$. INLINE_FORMULA_13]], $\left( \frac { 1 } { 4 } + k ^ { 2 } \right) a ^ { 2 } + 2 \sqrt { 5 } k a + 4 = 0$
$\Delta = 20 k ^ { 2 } - 4 \left( 1 + 4 k ^ { 2 } \right) = 0 \Rightarrow k = \pm 1$ , sesuai dengan hubungan posisi antara titik dan elips dapat diketahui, $\frac { b - \sqrt { 5 } } { a }$ dari rentang $( - \infty , - 1 ] \cup [ 1 , + \infty )$ , (3) benar;
Menurut arti pertanyaan, $\frac { 1 } { a ^ { 2 } } + \frac { 1 } { b ^ { 2 } } = \frac { \frac { a ^ { 2 } } { 4 } + b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { \frac { a ^ { 2 } } { 4 } + b ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { a ^ { 2 } } { 4 b ^ { 2 } } + \frac { 5 } { 4 } \geq 2 \sqrt { \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } \times \frac { a ^ { 2 } } { 4 b ^ { 2 } } } + \frac { 5 } { 4 } = \frac { 9 } { 4 }$, jika dan hanya jika $\frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = \frac { a ^ { 2 } } { 4 b ^ { 2 } } \Rightarrow a ^ { 2 } = 2 b ^ { 2 } = \frac { 4 } { 3 }$ mengambil "$=$", (4) salah.