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二次函数与一元二次方程

Quadratic Functions and Equations

二次函数图象与性质、一元二次方程的根及根与系数的关系，判别式贯穿方程、函数与不等式三种形态。

真题 5 题 · 5 次考试模拟卷 34 题练习 14 题

公式

一元二次方程求根公式
公式
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
适用条件：a ≠ 0，且 b²−4ac ≥ 0 时有实数根
a, b, c
ax²+bx+c=0 的系数（a ≠ 0）
一元二次方程判别式
定义
$\Delta=b^{2}-4ac$
韦达定理（根与系数的关系）
恒等式
$x_{1}+x_{2}=-\frac{b}{a},\quad x_{1}x_{2}=\frac{c}{a}$
适用条件：x₁、x₂ 为 ax²+bx+c=0（a≠0）的两根
二次函数顶点
公式
$y=a(x-h)^{2}+k,\quad h=-\frac{b}{2a},\ k=\frac{4ac-b^{2}}{4a}$
适用条件：a ≠ 0；顶点为 (h, k)，对称轴 x = h

真题怎么考

下面是考过这个概念的 CSCA 真题。先自己做一遍，再展开看答案和解析。

CSCA 2025年12月数学真题
一元二次不等式 $x^2-5x+4<0$ 的解集为（）。
- A． $(1,4)$
- B． $(-\infty,-4)\cup(-1,+\infty)$
- C． $(-4,-1)$
- D． $(-\infty,1)\cup(4,+\infty)$
查看答案与解析
答案：A
答案：A $x^2-5x+4=(x-1)(x-4)<0$ ，解得 $1<x<4$ 。因此选 A。
在整卷中查看：CSCA 2025年12月数学真题
CSCA 2026年4月数学真题
不等式 $x ^ { 2 } - 2 x - 3 \geq 0$ 的解集为
- A． $( - 1,3 )$
- B． $( - \infty , - 1 ] \cup [ 3 , + \infty )$
- C． $( - \infty , - 1 ) \cup ( 3 , + \infty )$
- D． $[ - 1,3 ]$
查看答案与解析
答案：B
因式分解： $( x - 3 ) ( x + 1 ) \geq 0$ ，零点 $x = - 1,3$ 。开口向上，二次式在零点之外取非负值，故解集为 $( - \infty , - 1 ] \cup [ 3 , + \infty )$ 。
计时做完整套：CSCA 2026年4月数学真题
CSCA 2026年6月数学真题
二次不等式 $3(x + 4)(x - 2) < 0$ 的解集为
- A． $(2, +\infty)$
- B． $(-4, 2)$
- C． $(-\infty, -4) \cup (2, +\infty)$
- D． $(-\infty, 2) \cup (-4, +\infty)$
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答案：B
不等式两边同除以正数 3 得 $(x + 4)(x - 2) < 0$ 。对应抛物线开口向上，零点为 $-4$ 与 $2$ ，取图像位于 $x$ 轴下方的部分，解集为 $(-4, 2)$ ，故选 B。
计时做完整套：CSCA 2026年6月数学真题

真题证据

以下为已收录真题中的考查记录；可在线核验的范围另行标明。

5 次考试共 5 题可免费在线核验 1/5 次考试

CSCA 2026年6月数学真题1 题该卷尚未开放阅读
CSCA 2026年4月数学真题1 题该卷尚未开放阅读
CSCA 2026年3月数学真题1 题该卷尚未开放阅读
CSCA 2026年1月数学真题1 题该卷尚未开放阅读
CSCA 2025年12月数学真题1 题免费查看第 3 题与答案（整卷）

16 套模拟卷共 34 题——出自我们自己的卷子，属覆盖信号而非真题证据

练习题库中有 14 道相关题目免费练习：函数免费练习：不等式

真题证据取自已收录的 CSCA 真题，已排除原卷缺失的占位题；冲刺卷刻意不计入。

相关术语

二次方程二次函数判别式韦达定理

相关概念

不等式的解法与性质等差数列等比数列