函数的单调性

真题怎么考

下面是考过这个概念的 CSCA 真题。先自己做一遍，再展开看答案和解析。

1. CSCA 2025年12月数学真题
   下列函数中单调递增的是（ ）。
   • A．$y=\log_{0.5}x$
   • B．$y=\left(\frac{1}{3}\right)^x$
   • C．$y=2x+1$
   • D．$y=\sin x$
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   答案：C

   答案：C $y=2x+1$ 是斜率为正的一次函数，在定义域上单调递增。因此选 C。
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2. CSCA 2026年4月数学真题
   在 $( - \infty , + \infty )$ 上单调递减的是
   • A．$y = - x + 5$
   • B．$y = x ^ { 3 }$
   • C．$y = x ^ { 2 } + 1$
   • D．$y = - \frac { 1 } { x }$
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   答案：A

   （A）一次函数斜率 $- 1 < 0$ ，全 $\mathbb { R }$ 单调递减 $\checkmark$ 。（B）$x ^ { 3 }$ 全 $\mathbb { R }$ 递增；（C）二次抛物线先减后增，非单调；（D）在 $x = 0$ 处不连续，不能在整个 $\mathbb { R }$ 上讨论单调性；且即使在 $( - \infty , 0 )$ 和 $( 0 , + \infty )$ 各分段上，由 $y ^ { \prime } = \frac { 1 } { x ^ { 2 } } > 0$ 知它都是单调递增的。
   计时做完整套：CSCA 2026年4月数学真题
3. CSCA 2026年6月数学真题
   下列哪个函数是单调递减的？
   • A．$y = e^{-x}$
   • B．$y = x^2 - 1$
   • C．$y = 100^x$
   • D．$y = \cos x$
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   答案：A

   $y = e^{-x} = \left( \frac{1}{e} \right)^x$，底数 $\frac{1}{e} < 1$，为单调递减函数，A 正确。$y = x^2 - 1$ 在 $(-\infty, 0)$ 上递减、$(0, +\infty)$ 上递增，不单调；$y = 100^x$ 底数大于 1，单调递增；$y = \cos x$ 为周期函数，在定义域内不单调。故选 A。
   计时做完整套：CSCA 2026年6月数学真题