值域zhíyù

Khái niệm cơ bản

Tập giá trị của hàm số $f$ là tập hợp tất cả các giá trị đầu ra (giá trị y) mà hàm số có thể tạo ra.

Định nghĩa toán học

$\text{Tập giá trị}(f) = \{y \mid y = f(x) \text{ với một } x \in \text{Tập xác định}(f)\}$

Tập giá trị còn được gọi là ảnh của hàm số.

Tập xác định vs. Tập giá trị

Khái niệm	Ký hiệu	Mô tả
Tập xác định	$D_f$	Tập hợp tất cả các giá trị đầu vào hợp lệ (x)
Tập giá trị	$R_f$	Tập hợp tất cả các giá trị đầu ra (y)

Mối quan hệ then chốt: Tập giá trị phụ thuộc vào cả quy tắc hàm số VÀ tập xác định.

Phương pháp tìm tập giá trị

Phương pháp 1: Phân tích trực tiếp (观察法)

Đối với các hàm số đơn giản, phân tích trực tiếp hành vi.

Ví dụ: $f(x) = x^2$, $x \in \mathbb{R}$

Vì $x^2 \geq 0$ với mọi số thực $x$, và $x^2$ có thể lớn tùy ý:

Tập giá trị: $[0, +\infty)$

Phương pháp 2: Phương pháp hàm ngược (反函数法)

1. Viết $y = f(x)$
2. Giải $x$ theo $y$
3. Tìm các giá trị của $y$ mà $x$ được xác định

Ví dụ: $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, $x \neq 1$

Đặt $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

Giải tìm $x$: $y(x - 1) = 2x + 1$ $xy - y = 2x + 1$ $xy - 2x = y + 1$ $x(y - 2) = y + 1$ $x = \dfrac{y + 1}{y - 2}$

Để $x$ tồn tại, cần $y \neq 2$.

Tập giá trị: $\{y \mid y \neq 2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

Phương pháp 3: Phương pháp đơn điệu (单调性法)

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm tập giá trị từ tập xác định.

Ví dụ: $f(x) = 2^x$, $x \in [-1, 2]$

Vì $f(x) = 2^x$ đồng biến nghiêm ngặt:

• Giá trị nhỏ nhất: $f(-1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$
• Giá trị lớn nhất: $f(2) = 2^2 = 4$

Tập giá trị: $[\dfrac{1}{2}, 4]$

Phương pháp 4: Phương pháp bình phương hoàn chỉnh (配方法)

Áp dụng cho hàm bậc hai $f(x) = ax^2 + bx + c$.

Ví dụ: $f(x) = x^2 - 4x + 5$, $x \in \mathbb{R}$

Bình phương hoàn chỉnh: $f(x) = (x - 2)^2 + 1$

Vì $(x - 2)^2 \geq 0$, giá trị nhỏ nhất là 1 tại $x = 2$.

Tập giá trị: $[1, +\infty)$

Phương pháp 5: Phương pháp đặt ẩn phụ (换元法)

Ví dụ: $f(x) = x + \sqrt{x - 1}$, $x \geq 1$

Đặt $t = \sqrt{x - 1}$, trong đó $t \geq 0$

Khi đó $x = t^2 + 1$, nên: $f = t^2 + 1 + t = t^2 + t + 1 = (t + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4}$

Vì $t \geq 0$, giá trị nhỏ nhất đạt được tại $t = 0$: $f_{\min} = 0 + 0 + 1 = 1$

Tập giá trị: $[1, +\infty)$

Bài tập thực hành CSCA

💡 Lưu ý: Các bài tập sau được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA.

Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Tìm tập giá trị của $f(x) = 3x - 2$, $x \in [0, 4]$.

Giải: Hàm bậc nhất đồng biến nghiêm ngặt.

• Tại $x = 0$: $f(0) = -2$
• Tại $x = 4$: $f(4) = 10$

Đáp án: $[-2, 10]$

---

Ví dụ 2: Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Tìm tập giá trị của $f(x) = x^2 - 2x + 3$, $x \in [-1, 2]$.

Giải:

Bình phương hoàn chỉnh: $f(x) = (x - 1)^2 + 2$

Đỉnh tại $x = 1$ (nằm trong tập xác định), giá trị nhỏ nhất = 2

Kiểm tra các điểm đầu mút:

• $f(-1) = 1 + 2 + 3 = 6$
• $f(2) = 4 - 4 + 3 = 3$

Đáp án: $[2, 6]$

---

Ví dụ 3: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆)

Tìm tập giá trị của $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$, $x \in \mathbb{R}$.

Giải:

Đặt $y = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$

Nhân chéo: $y(x^2 + 2) = x^2 + 1$

$yx^2 + 2y = x^2 + 1$

$x^2(y - 1) = 1 - 2y$

$x^2 = \dfrac{1 - 2y}{y - 1}$

Để $x$ là số thực, cần $x^2 \geq 0$: $\dfrac{1 - 2y}{y - 1} \geq 0$

$(1 - 2y)$ và $(y - 1)$ phải cùng dấu.

• Trường hợp 1: Cả hai dương: $y < \dfrac{1}{2}$ và $y > 1$ → không thể
• Trường hợp 2: Cả hai âm: $y > \dfrac{1}{2}$ và $y < 1$ → $\dfrac{1}{2} < y < 1$

Ngoài ra, khi $x^2 \to +\infty$, $y \to 1$ (không bao giờ bằng 1). Tại $x = 0$: $y = \dfrac{1}{2}$ (đạt được).

Đáp án: $[\dfrac{1}{2}, 1)$

Lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Bỏ qua ràng buộc của tập xác định

Sai: Tập giá trị của $f(x) = \sqrt{x}$ là $\mathbb{R}$ ✗

Đúng: Tập giá trị của $f(x) = \sqrt{x}$ là $[0, +\infty)$ ✓

❌ Lỗi 2: Dùng sai phương pháp cho tập xác định có giới hạn

Sai: Với $f(x) = x^2$, $x \in [1, 3]$, tập giá trị là $[0, 9]$ ✗

Đúng: Tập giá trị là $[1, 9]$ (giá trị nhỏ nhất tại $x = 1$, không phải $x = 0$) ✓

❌ Lỗi 3: Quên kiểm tra các điểm đầu mút

Luôn kiểm tra giá trị hàm số tại các biên của tập xác định.

Mẹo học tập

1. ✅ Xác định loại hàm số trước: Bậc nhất, bậc hai, phân thức, v.v.
2. ✅ Kiểm tra tập xác định có bị chặn không: Nếu bị chặn, dùng tính đơn điệu
3. ✅ Với hàm bậc hai, tìm đỉnh: Đỉnh có nằm trong tập xác định không?
4. ✅ Với hàm phân thức, dùng phương pháp hàm ngược: Giải $x$ theo $y$

---

💡 Mẹo thi: Với tập xác định bị chặn, luôn kiểm tra cả đỉnh (với hàm bậc hai) VÀ các điểm đầu mút!