Skip to main content

Function - Practice Questions (40)

Question 1: 1. Nếu hàm $f ( x ) = \frac { ( 2 x + 1 ) ( x - a ) } { x } ( a \in R )$ là hàm lẻ, thì số thực $a =...

1. Nếu hàm $f ( x ) = \frac { ( 2 x + 1 ) ( x - a ) } { x } ( a \in R )$ là hàm lẻ, thì số thực $a =$

  • A. A. $\frac { 1 } { 2 }$
  • B. B. 0
  • C. C. - 1
  • D. D. 1

Answer: A

Solution: Giải: Hàm $\because$ là hàm lẻ, $f ( x ) = \frac { ( 2 x + 1 ) ( x - a ) } { x } ( a \in R )$ là hàm lẻ, $\therefore f ( - x ) = \frac { ( - 2 x + 1 ) ( - x - a ) } { - x } = - \frac { ( 2 x - 1 ) ( x + a ) } { x } = - f ( x ) = - \frac { ( 2 x + 1 ) ( x - a ) } { x }$, $\therefore ( 2 x - 1 ) ( x + a ) = ( 2 x + 1 ) ( x - a )$ , tức là $2 x ^ { 2 } - a + ( 2 a - 1 ) x = 2 x ^ { 2 } - a + ( 1 - 2 a ) x$ , đơn giản hóa thành $( 2 a - 1 ) _ { x = 0 }$ , thì $a = \frac { 1 } { 2 }$ ,

Question 2: 2. Định nghĩa của hàm $f ( x ) = \frac { \sqrt { x + 1 } } { 2 - x }$ là $\_\_\_\_$

2. Định nghĩa của hàm $f ( x ) = \frac { \sqrt { x + 1 } } { 2 - x }$ là $\_\_\_\_$

  • A. A. $[ - 1,2 ) \cup ( 2 , + \infty )$
  • B. B. $( - 1 , + \infty )$
  • C. C. $[ - 1,2 )$
  • D. D. $[ - 1 , + \infty )$

Answer: A

Solution: Đối với hàm $f ( x ) = \frac { \sqrt { x + 1 } } { 2 - x }$, có $\left\{ \begin{array} { l } x + 1 \geq 0 \\ 2 - x \neq 0 \end{array} \right.$, giải được $x \geq - 1$ và $x \neq 2$. Do đó, miền định nghĩa của hàm $f ( x ) = \frac { \sqrt { x + 1 } } { 2 - x }$ là $[ - 1,2 ) \cup ( 2 , + \infty )$ .

Question 3: 3. Định nghĩa của hàm $f ( x ) = \log _ { 2 } ( 1 - x ) + \frac { 1 } { x }$ là

3. Định nghĩa của hàm $f ( x ) = \log _ { 2 } ( 1 - x ) + \frac { 1 } { x }$ là

  • A. A. $( - \infty , 1 )$
  • B. B. $( - \infty , 0 ) \cup ( 0,1 )$
  • C. C. $( 0,1 )$
  • D. D. $( - \infty , 1 ]$

Answer: B

Solution:

Question 4: 4. Hình ảnh của hàm $y = \frac { x - 2 } { x - 1 }$ là

4. Hình ảnh của hàm $y = \frac { x - 2 } { x - 1 }$ là

  • A. A. ![](/images/questions/function/image-001.jpg)
  • B. B. ![](/images/questions/function/image-002.jpg)
  • C. C. ![](/images/questions/function/image-003.jpg)
  • D. D. ![](/images/questions/function/image-004.jpg)

Answer: B

Solution: Phương pháp 1: Khi $x = 2$, $y = 0$, chỉ có phương án B là đúng. Phương pháp 2: $y = \frac { x - 2 } { x - 1 } = - \frac { 1 } { x - 1 } + 1$ , thì đồ thị của hàm $y = \frac { x - 2 } { x - 1 }$ được tạo ra bằng cách dịch chuyển hàm $y = - \frac { 1 } { x }$ sang phải 1 đơn vị chiều dài, sau đó dịch chuyển lên trên 1 đơn vị chiều dài, chỉ có phương án $B$ là phù hợp.

Question 5: 5. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ trên miền định nghĩa và là hàm số tăng trên ${ } ^ ...

5. Trong các hàm số sau, hàm số nào là hàm số lẻ trên miền định nghĩa và là hàm số tăng trên ${ } ^ { ( 0 , + \infty ) }$? ( )

  • A. A. $y = - 3 x$
  • B. B. $y = 3 ^ { x }$
  • C. C. $y = x + \frac { 1 } { x }$
  • D. D. $y = x - \frac { 1 } { x }$

Answer: D

Solution: ${ } ^ { y = - 3 x }$ là hàm lẻ, nhưng trên ${ } ^ { ( 0 , + \infty ) }$ là hàm giảm, A sai; $y = 3 ^ { x }$ là hàm không lẻ và không chẵn, B sai; $\mathrm { y } = \mathrm { x } + \frac { 1 } { \mathrm { x } }$ là hàm lẻ trên miền định nghĩa, nhưng là hàm giảm trên $( 0,1 )$ và là hàm tăng trên $( 1 , + \infty )$, C sai; $y = x - \frac { 1 } { x }$ là hàm lẻ trên miền định nghĩa và là hàm tăng trên $( 0 , + \infty )$, D đúng;

Question 6: 6. Định nghĩa của hàm $f ( x ) = \frac { \sqrt { 1 - x } } { x }$ là ().

6. Định nghĩa của hàm $f ( x ) = \frac { \sqrt { 1 - x } } { x }$ là ().

  • A. A. $( 0,1 ]$
  • B. B. $( - \infty , 0 )$
  • C. C. $( - \infty , 1 ]$
  • D. D. $( - \infty , 0 ) \cup ( 0,1 ]$

Answer: D

Solution: Từ $\left\{ \begin{array} { l } 1 - x \geq 0 \\ x \neq 0 \end{array} \right.$, ta có: $x \leq 1$ và $x \neq 0$. Định nghĩa của hàm $\therefore$ là: $f ( x ) = \frac { \sqrt { 1 - x } } { x }$.

Question 7: 7. Định nghĩa của hàm $f ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { x - 1 } } + \sqrt { x }$ là ( )

7. Định nghĩa của hàm $f ( x ) = \frac { 1 } { \sqrt [ 3 ] { x - 1 } } + \sqrt { x }$ là ( )

  • A. A. $[ 0 , + \infty )$
  • B. B. $( 1 , + \infty )$
  • C. C. $[ 0,1 )$
  • D. D. $[ 0,1 ) \cup ( 1 , + \infty )$

Answer: D

Solution: $\because \left\{ \begin{array} { l } x - 1 \neq 0 \\ x . .0 \end{array} \Rightarrow x \geq 0 \right.$ và $x \neq 1$, miền định nghĩa của hàm $\therefore$ là $[ 0,1 ) \cup ( 1 , + \infty )$,

Question 8: 8. Phần hình ảnh của hàm $y = \left( x ^ { 2 } - x ^ { - 2 } \right) \sin x$ có thể là ( )

8. Phần hình ảnh của hàm $y = \left( x ^ { 2 } - x ^ { - 2 } \right) \sin x$ có thể là ( )

  • A. A. ![](/images/questions/function/image-005.jpg)
  • B. B. ![](/images/questions/function/image-006.jpg)
  • C. C. ![](/images/questions/function/image-007.jpg)
  • D. D. ![](/images/questions/function/image-008.jpg)

Answer: B

Solution: Ghi nhớ $f ( x ) = \left( x ^ { 2 } - x ^ { - 2 } \right) \sin x$, thì $f ( - x ) = - \left( x ^ { 2 } - x ^ { - 2 } \right) \sin x$, do đó $f ( x ) = - f ( - x ) , f ( x )$ là hàm lẻ, nên đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ. Lúc này có thể loại trừ A, C, chọn $x = \frac { \pi } { 2 } , f \left( \frac { \pi } { 2 } \right) = \left( \frac { \pi } { 2 } \right) ^ { 2 } - \left( \frac { \pi } { 2 } \right) ^ { - 2 } > 0$, loại trừ D.

Question 9: 9. Các hàm số sau đây là hàm số chẵn là:

9. Các hàm số sau đây là hàm số chẵn là:

  • A. A. $y = \sin x$
  • B. B. $y = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } - x \right)$
  • C. C. $y = e ^ { x }$
  • D. D. $y = \ln \sqrt { x ^ { 2 } + 1 }$

Answer: D

Solution: Phân tích đề thi: $y = \sin x$ là hàm lẻ, $f ( x ) = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } - x \right)$ , thì $$ \begin{aligned} & f ( - x ) + f ( x ) \quad = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } - x \right) \\ & + \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } + x \right) \quad = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } - x \right) \left( \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } + x \right) \mid \ln 1 = 0 \quad , \quad \therefore f ( - x ) = - f ( x ) \end{aligned} $$ do đó hàm $f ( x ) = \ln \left( \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } - x \right)$ là hàm lẻ, $y = e ^ { x } \quad$ là hàm không lẻ và không chẵn, $$ f ( x ) = \ln \sqrt { x ^ { 2 } + 1 } \quad , \quad f ( - x ) = \sqrt { ( - x ) ^ { 2 } + 1 } = f ( x ) \quad \text { 是偶函数, } $$ do đó đáp án là D. Điểm kiểm tra: Xác định tính chẵn lẻ của hàm.

Question 10: 10. Cho khoảng ${ } ^ { [ 2 a - 1,11 ] }$, thì khoảng giá trị của số thực ${ } ^ { a }$ là ( )

10. Cho khoảng ${ } ^ { [ 2 a - 1,11 ] }$, thì khoảng giá trị của số thực ${ } ^ { a }$ là ( )

  • A. A. $( - \infty , 6 )$
  • B. B. $( 6 , + \infty )$
  • C. C. $( 1,6 )$
  • D. D. $( - \infty , 6 ]$

Answer: A

Solution: Theo định nghĩa của khoảng, ta có thể biết $2 a - 1 < 11$ , ta được $a < 6$ .

Question 11: 11. Hình ảnh một phần của hàm $f ( x ) = x ^ { 3 } \cdot 3 ^ { x }$ gần giống như ( )

11. Hình ảnh một phần của hàm $f ( x ) = x ^ { 3 } \cdot 3 ^ { x }$ gần giống như ( )

  • A. A. ![](/images/questions/function/image-009.jpg)
  • B. B. ![](/images/questions/function/image-010.jpg)
  • C. C. ![](/images/questions/function/image-011.jpg)
  • D. D. ![](/images/questions/function/image-012.jpg)

Answer: A

Solution: Khi ${ } ^ { x > 0 }$ , thì $f ( x ) > 0$ , do đó loại trừ $B , D$ ; khi ${ } ^ { x < 0 }$ , thì $f ( x ) < 0$ , do đó loại trừ $C$ .

Question 12: 12. Đã biết hàm $f ( x ) = x + \frac { 1 } { x }$, thì giá trị của $f ( 2 ) + f ( - 2 )$ là ( )

12. Đã biết hàm $f ( x ) = x + \frac { 1 } { x }$, thì giá trị của $f ( 2 ) + f ( - 2 )$ là ( )

  • A. A. - 1
  • B. B. 0
  • C. C. 1
  • D. D. 2

Answer: B

Solution: Vì $f ( x ) = x + \frac { 1 } { x }$, nên $f ( 2 ) + f ( - 2 ) = 2 + \frac { 1 } { 2 } - 2 - \frac { 1 } { 2 } = 0$.

Question 13: 13. Hình ảnh của hàm $f ( x ) = \frac { \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } ^ { - x } } { 16 ( | x...

13. Hình ảnh của hàm $f ( x ) = \frac { \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } ^ { - x } } { 16 ( | x | - 1 ) }$ đại khái là

  • A. A. ![](/images/questions/function/image-013.jpg)
  • B. B. ![](/images/questions/function/image-014.jpg)
  • C. C. ![](/images/questions/function/image-015.jpg)
  • D. D. ![](/images/questions/function/image-016.jpg)

Answer: B

Solution: Vì $f ( - x ) = \frac { \mathrm { e } ^ { - x } - \mathrm { e } ^ { x } } { 16 ( | x | - 1 ) } = \frac { \mathrm { e } ^ { x } - \mathrm { e } ^ { - x } } { 16 ( | x | - 1 ) } = - f ( x )$, nên $f ( x )$ là hàm lẻ, đồ thị hàm đối xứng qua gốc tọa độ, có thể loại trừ A; khi ${ } ^ { x > 1 }$, từ $f ( x ) > 0$, có thể loại trừ C, D.

Question 14: 14. Hàm $f ( x ) = a x ^ { 2 } + ( b - 3 ) x + 3 , x \in \left[ a ^ { 2 } - 2 , a \right] _ { \text ...

14. Hàm $f ( x ) = a x ^ { 2 } + ( b - 3 ) x + 3 , x \in \left[ a ^ { 2 } - 2 , a \right] _ { \text {是偶函数 } } , a + b = ( )$

  • A. A. 4
  • B. B. 1
  • C. C. 4 hoặc 1
  • D. D. Các giá trị khác

Answer: A

Solution: Vì $f ( x ) = a x ^ { 2 } + ( b - 3 ) x + 3 , x \in \left[ a ^ { 2 } - 2 , a \right]$ là hàm chẵn, nên $\left\{ \begin{array} { l } a ^ { 2 } - 2 = - a \\ a > a ^ { 2 } - 2 \\ a x ^ { 2 } + ( b - 3 ) x + 3 = a ( - x ) ^ { 2 } - ( b - 3 ) x + 3 \end{array} \right.$ giải được $\left\{ \begin{array} { l } a = 1 \\ b = 3 \end{array} \right.$, nên $a + b = 4$,

Question 15: 15. Đặt hàm $f ( x ) = \ln \left( 1 + x ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 1 + | x | }$, thì phạm vi gi...

15. Đặt hàm $f ( x ) = \ln \left( 1 + x ^ { 2 } \right) - \frac { 1 } { 1 + | x | }$, thì phạm vi giá trị của $x$ để $f ( x ) > f ( 2 x - 1 )$ đúng là

  • A. A. $\left( \frac { 1 } { 3 } , 1 \right)$
  • B. B. $\left( - \infty , - \frac { 1 } { 3 } \right) \cup ( 1 , + \infty )$
  • C. C. $\left( - \frac { 1 } { 3 } , \frac { 1 } { 3 } \right)$
  • D. D. $\left( - \infty , - \frac { 1 } { 3 } \right) \cup \left( \frac { 1 } { 3 } , + \infty \right)$

Answer: A

Solution: Theo đề bài, miền xác định của hàm $f ( x )$ là $R$ và $f ( - x ) = \ln \left[ 1 + ( - x ) ^ { 2 } \right] - \frac { 1 } { 1 + | - x | } = f ( x )$, do đó hàm này là hàm chẵn. Khi $x \geq 0$, do hàm $y = \ln \left( 1 + x ^ { 2 } \right) , y = - \frac { 1 } { 1 + x }$ là hàm đơn điệu tăng, ta có hàm $f ( x )$ là hàm đơn điệu tăng, và $f ( x ) > f ( 2 x - 1 )$ , nên $| x | > | 2 x - 1 |$ , giải được $x \in \left( \frac { 1 } { 3 } , 1 \right)$ .

Question 16: 16. Như hình vẽ, diện tích hình chữ nhật ${ } _ { A O B C }$ là ${ } _ { 4 }$ , một nhánh của đồ thị...

16. Như hình vẽ, diện tích hình chữ nhật ${ } _ { A O B C }$ là ${ } _ { 4 }$ , một nhánh của đồ thị hàm nghịch đảo $y = \frac { k } { x } ( k \neq 0 )$ đi qua điểm giao nhau của đường chéo hình chữ nhật $P$ , thì biểu thức của hàm nghịch đảo này là ( ) ![](/images/questions/function/image-001.jpg)

  • A. A. $y = - \frac { 1 } { x }$
  • B. B. $y = \frac { 1 } { x }$
  • C. C. $y = - \frac { 2 } { x }$
  • D. D. $y = \frac { 2 } { x }$

Answer: A

Solution: Nếu chiều dài của hình chữ nhật là ${ } _ { a }$, thì chiều rộng của hình chữ nhật là $\frac { 4 } { a }$. Dựa vào hình vẽ, tọa độ của điểm $P$ là $\stackrel { \text { ซ } } { \in } \frac { a } { \mathrm { e } } \frac { a } { 2 } , \frac { 2 \ddot { \boldsymbol { a } } } { a \dot { \boldsymbol { \varphi } } }$. vì điểm ${ } _ { P }$ nằm trên hàm nghịch đảo $y = \frac { k } { x } ( k \neq 0 )$ , nên $\frac { 2 } { a } = \frac { k } { - \frac { a } { 2 } }$ , giải được $k = - 1 , y = - \frac { 1 } { x }$ ,

Question 17: 17. Cho tập hợp $A = \{ - 2 , - 1,0,1,2 \} , B = \left\{ x \mid y = \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } \right\}...

17. Cho tập hợp $A = \{ - 2 , - 1,0,1,2 \} , B = \left\{ x \mid y = \sqrt { x ^ { 2 } - 4 } \right\}$, thì $A \cap B =$()

  • A. A. $\{ - 2 \}$
  • B. B. $\{ - 2,2 \}$
  • C. C. $\{ 2 \}$
  • D. D. $\varnothing$

Answer: B

Solution: Đối với tập hợp $B , x ^ { 2 } - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq 2$ hoặc $^ { x \leq - 2 }$, tức là $B = ( - \infty , - 2 ] \cup [ 2 , + \infty )$, thì $A \cap B = \{ - 2,2 \}$.

Question 18: 18. Trong bốn hàm số sau, hàm số nào không có tính chẵn lẻ? ( )

18. Trong bốn hàm số sau, hàm số nào không có tính chẵn lẻ? ( )

  • A. A. $f ( x ) = x ^ { 2 } - 1$
  • B. B. $f ( x ) = x ^ { 2 } + x$
  • C. C. $f ( x ) = x + \sqrt [ 3 ] { x }$
  • D. D. $f ( x ) = 0$

Answer: B

Solution: Định nghĩa miền của hàm trong các tùy chọn ABCD là R, tức là miền của chúng đối xứng với gốc tọa độ. Đối với A, vì $f ( x ) = x ^ { 2 } - 1$, nên $f ( - x ) = ( - x ) ^ { 2 } - 1 = x ^ { 2 } - 1 = f ( x )$, do đó $f ( x ) _ { \text {是偶函数,故 } }$ A không đáp ứng yêu cầu, sai; Đối với B, cho $x = 1$ , thì $y = 1 ^ { 2 } + 1 = 2$ , tức là $( 1,2 )$ là điểm trên $f ( x ) = x ^ { 2 } + x$ , dễ biết ${ } ^ { ( 1,2 ) }$ Điểm đối xứng với gốc là ${ } ^ { ( - 1 , - 2 ) }$ , rõ ràng là điểm trên ${ } ^ { ( - 1 , - 2 ) _ { \text {不是 } } } { } ^ { f ( x ) }$ , trong khi ${ } ^ { ( 1,2 ) }$ đối với $y _ { \text {轴对称的点为 } } { } ^ { ( - 1,2 ) }$ , rõ ràng là ${ } ^ { ( - 1,2 ) }$ cũng không phải là điểm trên ${ } ^ { f ( x ) }$, tức là trên hình ảnh của ${ } ^ { f ( x ) }$ có ít nhất một điểm ${ } ^ { ( 1,2 ) }$ không đối xứng với gốc tọa độ, cũng không đối xứng với trục ${ } ^ { y }$, do đó $f ( x ) _ { \text {既不是奇函数,也不是偶函数,故 B 符合要求,正确;} }$ Đối với C, vì $f ( x ) = x + \sqrt [ 3 ] { x }$ , nên $f ( - x ) = - x + \sqrt [ 3 ] { ( - x ) } = - ( x + \sqrt [ 3 ] { x } ) = - f ( x )$ , do đó $f ( x )$ là hàm lẻ, nên C không đáp ứng yêu cầu, sai ; Đối với D, vì $f ( x ) = 0$ , nên $f ( - x ) = 0 = - f ( x ) = f ( x )$ , nên $f ( x ) _ { \text {既是奇函数,也是偶 } }$ hàm, do đó D không đáp ứng yêu cầu, sai.

Question 19: 19. Hàm $y = 2 x ^ { 2 } - 2 ^ { | x | }$ trong hình ảnh của ${ } ^ { [ - 2,2 ] }$ có dạng như sau:

19. Hàm $y = 2 x ^ { 2 } - 2 ^ { | x | }$ trong hình ảnh của ${ } ^ { [ - 2,2 ] }$ có dạng như sau:

  • A. A. ![](/images/questions/function/image-017.jpg)
  • B. B. ![](/images/questions/function/image-018.jpg)
  • C. C. ![](/images/questions/function/image-019.jpg)
  • D. D. ![](/images/questions/function/image-020.jpg)

Answer: C

Solution: Hàm dễ biết $y = 2 x ^ { 2 } - 2 ^ { | x | } \left( { } ^ { x \in [ - 2,2 ] } \right)$ là hàm chẵn, đồ thị đối xứng qua trục ${ } ^ { y }$, có thể loại trừ BD, $x = 2$ khi $y = 2 \times 2 ^ { 2 } - 2 ^ { 2 } = 4 > 0$, có thể loại trừ A.

Question 20: 20. Hình ảnh một phần của hàm $f ( x ) = \frac { 3 \mathrm { e } ^ { x } \cos x } { \mathrm { e } ^ ...

20. Hình ảnh một phần của hàm $f ( x ) = \frac { 3 \mathrm { e } ^ { x } \cos x } { \mathrm { e } ^ { 2 x } - 1 }$ gần giống như ()

  • A. A. ![](/images/questions/function/image-021.jpg)
  • B. B. ![](/images/questions/function/image-022.jpg)
  • C. C. ![](/images/questions/function/image-023.jpg)
  • D. D. ![](/images/questions/function/image-024.jpg)

Answer: C

Solution: Do phạm vi định nghĩa của hàm là $\{ x \mid x \neq 0 \}$, nên có thể loại trừ ABD.

Question 21: 21. Khoảng giá trị của hàm $f ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } x - 3 \left( \frac { 1 } { 2 } ...

21. Khoảng giá trị của hàm $f ( x ) = \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } x - 3 \left( \frac { 1 } { 2 } \right) ^ { x }$ là ( )

  • A. A. $( 0,1 )$
  • B. B. $( 1,2 )$
  • C. C. $( 2,3 )$
  • D. D. $( 3,4 )$

Answer: C

Solution: Theo công thức phân tích, $f ( x ) _ { \text {在 } } ( 0 , + \infty )$ là hàm tăng, và $f ( 2 ) = \frac { 1 } { 2 } - \frac { 3 } { 4 } = - \frac { 1 } { 4 } < 0 , f ( 3 ) = \frac { 1 } { 2 } \log _ { 2 } 3 - \frac { 3 } { 8 } > \frac { 1 } { 2 } - \frac { 3 } { 8 } = \frac { 1 } { 8 } > 0$ , do đó khoảng giá trị bằng không của $f ( x )$ nằm trong khoảng $( 2,3 )$ .

Question 22: 22. Định nghĩa của hàm $f ( x ) = \frac { \left( x ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 0 } } { \sqrt { 3 x - x ^...

22. Định nghĩa của hàm $f ( x ) = \frac { \left( x ^ { 2 } - 1 \right) ^ { 0 } } { \sqrt { 3 x - x ^ { 2 } } }$ là ( )

  • A. A. $[ 0,3 ]$
  • B. B. $( 0,3 )$
  • C. C. $[ 0,1 ) \cup ( 1,3 ]$
  • D. D. $( 0,1 ) \cup ( 1,3 )$

Answer: D

Solution: Từ ý nghĩa của đề bài có thể thấy $\left\{ \begin{array} { l } x ^ { 2 } - 1 \neq 0 \\ 3 x - x ^ { 2 } > 0 \end{array} \right.$, giải được $0 < x < 3$ và $x \neq 1$.

Question 23: 23. Nếu hàm $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } 2 ^ { x } , & x \leq 3 \\ x - 3 , & x > 3 \end{...

23. Nếu hàm $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l l } 2 ^ { x } , & x \leq 3 \\ x - 3 , & x > 3 \end{array} \right.$ đã biết, thì giá trị của $f ( f ( 1 ) - f ( 5 ) )$ là

  • A. A. 1
  • B. B. 2
  • C. C. 3
  • D. D. - 3

Answer: A

Solution: Từ biểu thức hàm số có thể suy ra: $f ( 1 ) = 2 ^ { 1 } = 2 , f ( 5 ) = 5 - 3 = 2$ $\therefore f ( f ( 1 ) - f ( 5 ) ) = f ( 0 ) = 2 ^ { 0 } = 1$ Câu trả lời đúng cho câu hỏi này là: A [Điểm nhấn]Câu hỏi này kiểm tra việc tính giá trị hàm số phân đoạn, thuộc loại câu hỏi cơ bản.

Question 24: 24. Trong các nhóm hàm số sau đây, nhóm nào biểu thị cùng một hàm số? ( )

24. Trong các nhóm hàm số sau đây, nhóm nào biểu thị cùng một hàm số? ( )

  • A. A. $f ( x ) = x , g ( x ) = ( \sqrt { x } ) ^ { 2 }$
  • B. B. $f ( x ) = \frac { x ^ { 2 } - 1 } { x - 1 } , g ( x ) = x + 1$
  • C. C. $f ( t ) = | t | , g ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } }$
  • D. D. $f ( x ) = \frac { | x | } { x } , g ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } 1 , x \geq 0 \\ - 1 , x < 0 \end{array} \right.$

Answer: C

Solution: A: $f ( x )$ có miền định nghĩa là $\mathrm { R } , g ( x )$ và miền định nghĩa của $\mathrm { R } , g ( x )$ là $[ 0 , + \infty )$, do đó A là sai; B: $f ( x )$ có miền định nghĩa là $\{ x \mid x \neq 1 \} , g ( x )$ và miền định nghĩa của $\{ x \mid x \neq 1 \} , g ( x )$ là R, do đó B là sai; C: $f ( t ) _ { \text {和 } } g ( x )$ có miền định nghĩa là R, và $g ( x ) = \sqrt { x ^ { 2 } } = | x |$ , thì C đúng; D: $f ( x )$ có miền định nghĩa là $\{ x \mid x \neq 0 \} , g ( x )$ có miền định nghĩa là R , thì D sai.

Question 25: 25. Đã biết hàm $f ( x ) = 2 \left( x ^ { 3 } + x + 1 \right) + \sin x$, thì tập nghiệm của $f ( - x...

25. Đã biết hàm $f ( x ) = 2 \left( x ^ { 3 } + x + 1 \right) + \sin x$, thì tập nghiệm của $f ( - x ) + f ( 3 x - 2 ) < 4$ là ( )

  • A. A. $( - \infty , 1 )$
  • B. B. $( 1 , + \infty )$
  • C. C. $( - \infty , 2 )$
  • D. D. $( 2 , + \infty )$

Answer: A

Solution: Đặt $g ( x ) = f ( x ) - 2 = 2 x ^ { 3 } + 2 x + \sin x$, ta có hàm ${ } ^ { g ( x ) }$ là hàm lẻ, $g ^ { \prime } ( x ) = 6 x ^ { 2 } + 2 + \cos x > 0$, do đó hàm ${ } ^ { g ( x ) }$ tăng đơn điệu trên ${ } ^ { R }$, $f ( - x ) + f ( 3 x - 2 ) < 4 \Rightarrow f ( - x ) - 2 < - f ( 3 x - 2 ) + 2 \Rightarrow g ( - x ) < - g ( 3 x - 2 ) \Rightarrow g ( - x ) < g ( - 3 x + 2 )$ nên $- x < - 3 x + 2 \Rightarrow x < 1$ .

Question 26: 26. Đã biết $f ( x ) = a x ^ { 5 } + b x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 ( a , b$ là hằng số $)$, nếu $f...

26. Đã biết $f ( x ) = a x ^ { 5 } + b x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 ( a , b$ là hằng số $)$, nếu $f ( 2 ) = 11$, thì $f ( - 2 ) =$ ( )

  • A. A. - 11
  • B. B. - 1
  • C. C. 0
  • D. D. 1

Answer: B

Solution: Vì $f ( x ) = a x ^ { 5 } + b x ^ { 3 } + x ^ { 2 } + x + 1 ( a , b$ là hằng số $)$, từ $f ( 2 ) = 11$ ta có: $32 a + 8 b + 4 + 2 + 1 = 11$ tức là $32 a + 8 b = 4$; do đó $f ( - 2 ) = - 32 a - 8 b + 4 - 2 + 1 = - 4 + 3 = - 1$.

Question 27: 27. Đã biết hàm $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } \frac { a } { x ^ { 2 } + 1 } , x \leq 0 ; \\...

27. Đã biết hàm $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } \frac { a } { x ^ { 2 } + 1 } , x \leq 0 ; \\ ( 2 - a ) x + 3 a - 1 , x > 0 . \end{array} \right.$ là hàm tăng trên $( - \infty , + \infty )$, thì khoảng giá trị của số thực $a$ là

  • A. A. $( 2 , + \infty )$
  • B. B. $( 0,2 ]$
  • C. C. $\left[ \frac { 1 } { 2 } , 2 \right)$
  • D. D. $\left( 0 , \frac { 1 } { 2 } \right]$

Answer: C

Solution: Hàm $\because$ là hàm tăng của hàm $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } \frac { a } { x ^ { 2 } + 1 } , x \leq 0 ; \\ ( 2 - a ) x + 3 a - 1 , x > 0 . \end{array} \right.$ trên $( - \infty , + \infty )$, $\therefore \left\{ \begin{array} { l } a > 0 \\ 2 - a > 0 \\ 3 a - 1 \geq a \end{array} \right.$, tìm giá trị của $\frac { 1 } { 2 } \leq a < 2$,

Question 28: 28. Đã biết hàm $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } 3 ^ { x } + 1 , x < 1 \\ 2 x ^ { 2 } - x , x ...

28. Đã biết hàm $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } 3 ^ { x } + 1 , x < 1 \\ 2 x ^ { 2 } - x , x > 1 \end{array} \right.$, thì $f ( f ( 0 ) ) = ( \quad )$

  • A. A. 6
  • B. B. 4
  • C. C. 2
  • D. D. 1

Answer: A

Solution: Từ đề bài, $f ( 0 ) = 3 ^ { 0 } + 1 = 2$ , thì $f ( f ( 0 ) ) = f ( 2 ) = 2 \times 2 ^ { 2 } - 2 = 6$ ,

Question 29: 29. Nếu hàm $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { c } 2 ^ { x } + a + 2 ( x \leq 1 ) \\ - \log _ { 2 } ...

29. Nếu hàm $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { c } 2 ^ { x } + a + 2 ( x \leq 1 ) \\ - \log _ { 2 } ( x + 1 ) , ( x > 1 ) \end{array} \right.$ có giá trị lớn nhất, thì phạm vi giá trị của số thực $a$ là ( ).

  • A. A. $[ 0 , \infty ]$
  • B. B. $[ - 5,1 ]$
  • C. C. $( \infty , - 5 )$
  • D. D. $[ - 5 , + \infty )$

Answer: D

Solution: Giải thích: Vì $f ( x ) = 2 ^ { x } + a + 2$ tăng dần trên $( - \infty , 1 ]$, nên $f ( x ) \leq f ( 1 ) = a + 4$ , vì $f ( x ) = - \log _ { 2 } ( x + 1 )$ giảm dần trên ${ } ^ { ( 1 , + \infty ) }$, nên $f ( x ) < f ( 1 ) = - 1$ , vì hàm $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { c } 2 ^ { x } + a + 2 ( x \leq 1 ) \\ - \log _ { 2 } ( x + 1 ) , ( x > 1 ) \end{array} \right.$ có giá trị lớn nhất, nên $a + 4 \geq - 1$ , giải được $a \geq - 5$ , nên giá trị thực của $a$ nằm trong khoảng $[ - 5 , + \infty )$ ,

Question 30: 30. Đặt hàm $f ( x ) = x \cdot \sin x$, nếu $x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \left[ - \frac { \pi } { 2 } ...

30. Đặt hàm $f ( x ) = x \cdot \sin x$, nếu $x _ { 1 } , x _ { 2 } \in \left[ - \frac { \pi } { 2 } , \frac { \pi } { 2 } \right]$ và $f \left( x _ { 1 } \right) > f \left( x _ { 2 } \right)$, thì bất đẳng thức sau đây luôn đúng là

  • A. A. $x _ { 1 } > x _ { 2 }$
  • B. B. $x _ { 1 } < x _ { 2 }$
  • C. C. $x _ { 1 } + x _ { 2 } > 0$
  • D. D. $x _ { 1 } ^ { 2 } > x _ { 2 } ^ { 2 }$

Answer: D

Solution: Phân tích đề thi: Từ các thông tin đã biết, ta có: $f ( x )$ là hàm chẵn, $y = x , y = \sin x$ tăng dần trong khoảng $\left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right]$ và $y = x , y = \sin x$ là số dương trong khoảng $\left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right]$, do đó $f ( x )$ tăng dần trên khoảng $\left[ 0 , \frac { \pi } { 2 } \right]$, vì $f \left( x _ { 1 } \right) > f \left( x _ { 2 } \right)$, nên $\left| x _ { 1 } \right| > \left| x _ { 2 } \right|$, nên $x _ { 1 } ^ { 2 } > x _ { 2 } ^ { 2 }$, do đó nên chọn $D$. Điểm kiểm tra: 1. Tính đơn điệu của hàm; 2. Tính chẵn lẻ của hàm.

Question 31: 31. Hình ảnh của hàm $y = f ( x )$ được hiển thị trong hình. Quan sát hình ảnh, có thể thấy rằng miề...

31. Hình ảnh của hàm $y = f ( x )$ được hiển thị trong hình. Quan sát hình ảnh, có thể thấy rằng miền xác định và miền giá trị của hàm $y = f ( x )$ lần lượt là ![](/images/questions/function/image-002.jpg).

  • A. A. $[ - 5,0 ] \cup [ 2,6 ] , [ 0,5 ]$
  • B. B. $[ - 5,6 ] , [ 0 , + \infty )$
  • C. C. $[ - 5,0 ] \cup [ 2,6 ) , [ 0 , + \infty )$
  • D. D. $[ - 5 , + \infty ) , [ 2,5 ]$

Answer: C

Solution: Định nghĩa của hàm là phạm vi giá trị của biến độc lập $x$. Từ hình vẽ có thể thấy biến độc lập của hàm này là $[ - 50 ] \cup [ 26 )$. Phạm vi giá trị của hàm là phạm vi giá trị của hàm. Từ hình vẽ có thể thấy phạm vi giá trị của hàm này là $[ 0 , + \infty )$. Do đó, chọn: $C$

Question 32: 32. Nếu đã biết $f \left( x - \frac { 1 } { x } \right) = x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$, th...

32. Nếu đã biết $f \left( x - \frac { 1 } { x } \right) = x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } }$, thì biểu thức phân tích của $f ( x + 1 )$ là

  • A. A. $f ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ^ { 2 } + \frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } }$
  • B. B. $f ( x + 1 ) = \left( x - \frac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } + \frac { 1 } { \left( x - \frac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } }$
  • C. C. $f ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ^ { 2 } + 2$
  • D. D. $f ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ^ { 2 } + 1$

Answer: C

Solution: $\mathrm { Q } \left( x - \frac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } = x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } - 2 , \therefore x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = \left( x - \frac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } + 2$ , $\mathrm { Q } f \left( x - \frac { 1 } { x } \right) = x ^ { 2 } + \frac { 1 } { x ^ { 2 } } = \left( x - \frac { 1 } { x } \right) ^ { 2 } + 2 , \therefore f ( x ) = x ^ { 2 } + 2$ , do đó, $f ( x + 1 ) = ( x + 1 ) ^ { 2 } + 2$ , nên chọn C. [Điểm nhấn]Câu hỏi này kiểm tra công thức hàm số, thuộc loại câu hỏi trung bình. Các dạng câu hỏi thường gặp về tìm công thức hàm số bao gồm: (1) Tìm công thức hàm số dựa trên ứng dụng thực tế; (2) Tìm biểu thức hàm số bằng phương pháp thay thế biến, khi sử dụng phương pháp thay thế biến phải chú ý đến phạm vi của tham số sau khi thay thế; (3) Tìm biểu thức bằng phương pháp hệ số chưa xác định, phương pháp này phù hợp với biểu thức hàm số có tên hàm số đã biết; (4) Tìm biểu thức hàm số bằng phương pháp loại bỏ biến, phương pháp này phù hợp để tìm biểu thức hàm số có các biến độc lập là số nghịch đảo hoặc số đối của nhau.

Question 33: 33. Nếu $2023 ^ { x } - 2023 ^ { y } < 2024 ^ { - x } - 2024 ^ { - y } ( x , y \in \mathrm { R } )$,...

33. Nếu $2023 ^ { x } - 2023 ^ { y } < 2024 ^ { - x } - 2024 ^ { - y } ( x , y \in \mathrm { R } )$, thì ( )

  • A. A. $\ln ( y - x + 1 ) > 0$
  • B. B. $\ln ( y - x + 1 ) < 0$
  • C. C. $\ln | x - y | > 0$
  • D. D. $\ln | x - y | < 0$

Answer: A

Solution: Từ $2023 ^ { x } - 2023 ^ { y } < 2024 ^ { - x } - 2024 ^ { - y }$, ta có $2023 ^ { x } - 2024 ^ { - x } < 2023 ^ { y } - 2024 ^ { - y }$, cho $f ( x ) = 2023 ^ { x } - 2024 ^ { - x }$ , rõ ràng hàm $f ( x )$ tăng dần trên R, và $f ( x ) < f ( y )$ , do đó ${ } ^ { x < y }$ , tức là $y - x > 0$ , thì $y - x + 1 > 1$ , do đó $\ln ( y - x + 1 ) > \ln 1 = 0$ , A đúng, B sai; Từ $y - x > 0$ , rõ ràng khi $y - x = 1$ , $\ln | x - y | = 0$ , CD sai.

Question 34: 34. Hãy thiết lập hàm $f ( x ) = \frac { x } { x + 1 }$, trong các lựa chọn sau, lựa chọn nào là sai...

34. Hãy thiết lập hàm $f ( x ) = \frac { x } { x + 1 }$, trong các lựa chọn sau, lựa chọn nào là sai? ( )

  • A. A. Bất kỳ $x \neq 0 , x \neq - 1 , f ( x ) + f \left( \frac { 1 } { x } \right) = 1$
  • B. B. $f ( x )$ là hàm tăng trên $^ { ( - \infty , - 1 ) }$ và $^ { ( - 1 , + \infty ) }$
  • C. C. Bất kỳ $a \in ( 0,1 )$ nào, đồ thị của hàm mũ $y = a ^ { x }$ và đồ thị của $f ( x )$ đều có chính xác 2 điểm chung.
  • D. D. Bất kỳ $a < 0$ , đồ thị của hàm bậc hai $y = a x ^ { 2 }$ và đồ thị của $f ( x )$ chỉ có điểm chung là $( 0,0 )$

Answer: D

Solution: Đối với lựa chọn A: Bất kỳ $\underset { x \neq 0 , x \neq - 1 } { } , f ( x ) + f \left( \frac { 1 } { x } \right) = \frac { x } { x + 1 } + \frac { \frac { 1 } { x } } { \frac { 1 } { x } + 1 } = \frac { x } { x + 1 } + \frac { 1 } { x + 1 } = 1$ nào, do đó A là đúng; Đối với lựa chọn B: Vì miền định nghĩa của $f ( x ) = \frac { x } { x + 1 }$ là $( - \infty , - 1 ) \cup ( - 1 , + \infty )$, và $f ( x ) = 1 - \frac { 1 } { x + 1 }$, ta có thể thấy $f ( x )$ là hàm tăng trên $( - \infty , - 1 )$ và $( - 1 , + \infty )$, do đó B là đúng; Đối với lựa chọn C: Nếu ${ } ^ { a \in ( 0,1 ) }$ , vẽ đồ thị hàm mũ $y ^ { x = a ^ { x } }$ và $f ( x ) ^ { \text {的图象,} }$ ![](/images/questions/function/image-003.jpg) Từ đồ thị có thể thấy: đồ thị của hàm mũ $y = a ^ { x }$ và đồ thị của $f ( x )$ có chính xác 2 điểm chung, do đó C là đúng; Đối với phương án D: Ví dụ $a = - 4$, đặt $g ( x ) = - 4 x ^ { 2 }$, thì $g \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) = f \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) = - 1$, có thể thấy $\left( - \frac { 1 } { 2 } , - 1 \right)$ là điểm giao nhau giữa đồ thị của hàm số bậc hai $y = - 4 x ^ { 2 }$ và đồ thị của $f ( x )$, do đó D sai;

Question 35: 35. Giá trị hàm của hàm Euler $\varphi ( n ) \left( n \in \mathbf { N } ^ { * } \right)$ bằng với số...

35. Giá trị hàm của hàm Euler $\varphi ( n ) \left( n \in \mathbf { N } ^ { * } \right)$ bằng với số lượng các số nguyên dương không vượt quá $n$ và không chia hết cho $n$, ví dụ: $\varphi ( 1 ) = 1 , \varphi ( 4 ) = 2$. Nếu $m \in \mathbf { N } ^ { * }$ và $\sum _ { i = 1 } ^ { m } \varphi ( 2 i ) = 13$, thì $\varphi ( m ) = ( \quad )$.

  • A. A. 3
  • B. B. 4
  • C. C. 5
  • D. D. 6

Answer: B

Solution:

Question 36: 36. Đã biết hàm mũ $f ( x ) = \left( 2 m ^ { 2 } - 5 m - 2 \right) x ^ { m }$ là hàm lẻ trên miền xá...

36. Đã biết hàm mũ $f ( x ) = \left( 2 m ^ { 2 } - 5 m - 2 \right) x ^ { m }$ là hàm lẻ trên miền xác định, thì $m = ( )$

  • A. A. $- \frac { 1 } { 2 }$
  • B. B. $- \frac { 1 } { 2 }$ hoặc 3
  • C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
  • D. D. 3

Answer: D

Solution: Từ hàm số là hàm số mũ, ta có $2 m ^ { 2 } - 5 m - 2 = 1$, giải được $m = 3 ^ { \text {或 } } m = - \frac { 1 } { 2 }$. Khi $m = 3$, $f ( x ) = x ^ { 3 }$ là hàm số lẻ trên R, phù hợp với yêu cầu đề bài; Khi $m = - \frac { 1 } { 2 }$ , $f ( x ) = x ^ { - \frac { 1 } { 2 } }$ , miền xác định là $( 0 , + \infty )$ , là hàm không lẻ và không chẵn, không phù hợp với đề bài.

Question 37: 37. Đã biết hàm $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } 2 \sin x , \sin x \geq \cos x \\ - \cos x , \...

37. Đã biết hàm $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } 2 \sin x , \sin x \geq \cos x \\ - \cos x , \sin x < \cos x \text { ,给出下列结论:(1)} f ( x ) \text { 是周期函数 ;(2)} f ( x ) \end{array} \right.$ có giá trị nhỏ nhất là -1; (3) $f ( x ) _ { \text {在区间 } } \left( \frac { \pi } { 2 } , 2 \pi \right)$ giảm dần trên một khoảng. Số kết luận đúng là ( )

  • A. A. 0
  • B. B. 1
  • C. C. 2
  • D. D. 3

Answer: B

Solution: Từ $f ( x ) = \left\{ \begin{array} { l } 2 \sin x , \frac { \pi } { 4 } + 2 k \pi \leq x \leq \frac { 5 \pi } { 4 } + 2 k \pi \\ - \cos x , - \frac { 3 \pi } { 4 } + 2 k \pi < x < \frac { \pi } { 4 } + 2 k \pi \end{array} , k \in \mathrm { Z } \right.$ đã biết, dễ dàng thấy $f ( x + 2 \pi ) = f ( x )$ nên ${ } ^ { f ( x ) }$ là hàm tuần hoàn, do đó (1) đúng; Khi $x \in \left[ 2 k \pi + \frac { \pi } { 4 } , 2 k \pi + \frac { 5 \pi } { 4 } \right] ( k \in \mathbf { Z } )$, $f ( x ) = 2 \sin x \in [ - \sqrt { 2 } , 2 ] , - \sqrt { 2 } < - 1$, do đó (2) sai; Kết hợp với công thức phân tích, ta biết $f ( x ) _ { \text {在 } } \left( \frac { \pi } { 2 } , \frac { 5 \pi } { 4 } \right)$ giảm dần trên $\left( \frac { 5 \pi } { 4 } , 2 \pi \right)$ và $2 \sin \frac { 5 \pi } { 4 } = - \sqrt { 2 } < \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } = - \cos \frac { 5 \pi } { 4 }$ , do đó (3) sai).

Question 38: 38. Cho số thực $a = \log _ { 2 } 3 , b = \log _ { \frac { 1 } { 3 } } \frac { 1 } { 2 } , c = \cos ...

38. Cho số thực $a = \log _ { 2 } 3 , b = \log _ { \frac { 1 } { 3 } } \frac { 1 } { 2 } , c = \cos 2$, thì ( )

  • A. A. $a > b > c$
  • B. B. $a > c > b$
  • C. C. $b > c > a$
  • D. D. $c > b > a$

Answer: A

Solution: Vì $a = \log _ { 2 } 3 > 1 , \quad b = \log _ { \frac { 1 } { 3 } } \frac { 1 } { 2 } = \log _ { 3 } 2 \in ( 0,1 )$ , và $\frac { \pi } { 2 } < 2 < \pi$ , nên ${ } _ { C } = \cos 2 < 0$ , do đó $a > b > c$ ,

Question 39: 39. Đã biết hàm $\varphi ( x )$ được định nghĩa trên $\mathbf { R }$ thỏa mãn: Khi $x _ { 1 } \neq x...

39. Đã biết hàm $\varphi ( x )$ được định nghĩa trên $\mathbf { R }$ thỏa mãn: Khi $x _ { 1 } \neq x _ { 2 }$ , luôn có $\frac { \varphi \left( x _ { 1 } \right) - \varphi \left( x _ { 2 } \right) } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } > 0$ , nếu đối với bất kỳ $x \in \mathbf { R } , \varphi \left( \mathrm { e } ^ { x } - b \right) \geq \varphi ( a x )$ nào, luôn đúng, thì giá trị lớn nhất của $a b$ là ( )

  • A. A. $\sqrt { \mathrm { e } }$
  • B. B. $\frac { \mathrm { e } } { 2 }$
  • C. C. ${ } _ { e }$
  • D. D. $\mathrm { e } ^ { 2 }$

Answer: B

Solution: Vì khi $x _ { 1 } \neq x _ { 2 }$, luôn có $\frac { \varphi \left( x _ { 1 } \right) - \varphi \left( x _ { 2 } \right) } { x _ { 1 } - x _ { 2 } } > 0$, nên $\varphi ( x )$ tăng dần trên $\mathbf { R }$, nên nếu $\varphi \left( \mathrm { e } ^ { x } - b \right) \geq \varphi ( a x )$ , thì $\mathrm { e } ^ { x } - b \geq a x$ , tức là $\mathrm { e } ^ { x } \geq a x + b$ , hàm tạo $f ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } - a x - b ( x \in \mathbf { R } ) , ~ f ^ { \prime } ( x ) = \mathrm { e } ^ { x } - a$ , nếu $a = 0$ , thì $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ luôn đúng trên $x \in \mathbf { R }$ , và $f ( x ) \geq 0$ luôn đúng, thì $b \leq 0$ , lúc này $a b = 0$ ; nếu $a < 0$ , thì $f ^ { \prime } ( x ) > 0 , f ( x )$ tăng dần, lúc này không thể luôn có $f ( x ) \geq 0$ ; Nếu $a > 0$ , từ $f ^ { \prime } ( x ) > 0$ có $x > \ln a , f ( x )$ tăng dần, $f ^ { \prime } ( x ) < 0$ có $x < \ln a , f ( x )$ tăng dần, nên $f ( x ) \geq f ( \ln a ) = a - a \ln a - b \geq 0$ , tức là $b \leq a - a \ln a$ , vì vậy $a b \leq a ^ { 2 } - a ^ { 2 } \ln a$ , cho $g ( a ) = a ^ { 2 } - a ^ { 2 } \ln a ( a > 0 )$ , cho $g ^ { \prime } ( a ) = a ( 1 - 2 \ln a ) = 0$ , được $a = \sqrt { \mathrm { e } }$ , $a \in ( 0 , \sqrt { \mathrm { e } } ) _ { \text {时 } , ~ } g ^ { \prime } ( a ) > 0 , g ( a ) _ { \text {单调递增,} }$ $a \in ( \sqrt { \mathrm { e } } , + \infty )$ khi $g ^ { \prime } ( a ) < 0 , g ( a )$ giảm dần, do đó $g ( a ) _ { \text {max } } = g ( \sqrt { \mathrm { e } } ) = \frac { \mathrm { e } } { 2 }$ , do đó giá trị lớn nhất của $a b$ là $\frac { \mathrm { e } } { 2 }$ . Tóm lại, giá trị lớn nhất của $a b$ là $\frac { \mathrm { e } } { 2 }$ .

Question 40: 40. Trong các hàm số sau, hàm số có giá trị nhỏ nhất là 2 là ( ) "Bài tập Toán lớp 12 ngày 29 tháng ...

40. Trong các hàm số sau, hàm số có giá trị nhỏ nhất là 2 là ( ) "Bài tập Toán lớp 12 ngày 29 tháng 10 năm 2025"

  • A. A. $y = x ^ { 2 } + 2 ( x > 0 )$
  • B. B. $y = - x ^ { 2 } + 2 x + 1$
  • C. C. $y = \frac { 9 x ^ { 2 } + 1 } { 3 x } ( x > 0 )$
  • D. D. $y = \frac { x ^ { 2 } + 2 } { 2 } + \frac { 2 } { x ^ { 2 } + 1 }$

Answer: C

Solution:
Quay lại danh sách

Function

函数

40 Câu hỏi luyện tập

Luyện tập với đề tiếng Trung để chuẩn bị cho kỳ thi CSCA. Bạn có thể bật/tắt bản dịch trong khi luyện tập.

Tổng quan chủ đề

Hàm số là khái niệm cốt lõi trong toán học để mô tả mối quan hệ tương ứng giữa các biến. Trong kỳ thi CSCA, các câu hỏi thường liên quan đến các vấn đề cơ bản như miền xác định, tính chẵn lẻ, biểu thức phân tích, v.v. Các câu hỏi thường yêu cầu phân tích tính chất của hàm số hoặc tính toán các tham số cụ thể dựa trên biểu thức hàm số, đòi hỏi phải thành thạo các phép toán đại số và đặc điểm của các loại hàm số cơ bản.

Số câu hỏi:40

Điểm chính

  • 1Tìm miền xác định của hàm số (phân tử không bằng 0, căn bậc hai không âm, v.v.)
  • 2Xác định tính chẵn lẻ của hàm số (sử dụng mối quan hệ giữa f(-x) và f(x))
  • 3Tìm giá trị tham số dựa trên tính chất của hàm
  • 4Phân tích đơn giản về hàm hợp hoặc hàm phân đoạn

Mẹo học tập

Khi thực hành, trước tiên hãy xác định rõ loại hàm, hệ thống sẽ kiểm tra các điều kiện giới hạn của miền định nghĩa, việc xác định tính chẵn lẻ có thể thử thay thế -x để đơn giản hóa phân tích.

Làm được từng bài ≠ Đậu kỳ thi

Bộ đề thi thử đầy đủ theo đề cương chính thức, tổng hợp nhiều chủ đề như thi thật

Nhận đề thi thử →

Không có thẻ tín dụng? Email cho chúng tôi: kaiguo370@gmail.com

Tài liệu học tập liên quan

Hướng dẫn Toán
Tài liệu chuẩn bị thi đầy đủ
Thuật ngữ Toán
Ôn tập thuật ngữ và khái niệm liên quan

Khám phá bài tập các môn khác:

Luyện Vật lýLuyện Hóa học