二次函数èrcì hánshù

Khái niệm cốt lõi

Hàm bậc hai là hàm đa thức bậc 2:

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$

trong đó $a$, $b$, $c$ là các hằng số và $a \neq 0$.

Ba dạng biểu diễn

Dạng	Biểu thức	Đặc điểm chính
Dạng tổng quát	$y = ax^2 + bx + c$	Cho thấy tung độ gốc $c$
Dạng đỉnh	$y = a(x-h)^2 + k$	Cho thấy đỉnh $(h, k)$
Dạng phân tích	$y = a(x-x_1)(x-x_2)$	Cho thấy nghiệm $x_1, x_2$

Đỉnh parabol

Đỉnh là điểm cao nhất hoặc thấp nhất của parabol.

Tọa độ đỉnh

$h = -\frac{b}{2a}, \quad k = \frac{4ac - b^2}{4a}$

Hoặc tương đương: $k = f(h) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$

Dạng đỉnh

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

trong đó $(h, k)$ là đỉnh.

Tính chất đồ thị

Hướng mở

• $a > 0$: Parabol mở lên trên (hình chữ U), đỉnh là cực tiểu
• $a < 0$: Parabol mở xuống dưới (hình ∩), đỉnh là cực đại

Trục đối xứng

$x = -\frac{b}{2a} = h$

Parabol đối xứng qua đường thẳng đứng này.

Tung độ gốc

Tung độ gốc tại $(0, c)$, tìm được bằng cách thay $x = 0$.

Nghiệm (giao điểm với trục x)

Tìm bằng cách giải $ax^2 + bx + c = 0$. Biệt thức $\Delta = b^2 - 4ac$ xác định:

• $\Delta > 0$: Hai nghiệm phân biệt
• $\Delta = 0$: Một nghiệm kép (đỉnh tiếp xúc trục x)
• $\Delta < 0$: Không có nghiệm thực

Tính đơn điệu

Khi $a > 0$:

• Giảm trên $(-\infty, h]$
• Tăng trên $[h, +\infty)$

Khi $a < 0$:

• Tăng trên $(-\infty, h]$
• Giảm trên $[h, +\infty)$

Tập giá trị

Khi $a > 0$:

$\text{Tập giá trị} = [k, +\infty)$

Khi $a < 0$:

$\text{Tập giá trị} = (-\infty, k]$

Bài tập thực hành CSCA

💡 Lưu ý: Các bài tập sau được thiết kế theo chương trình thi CSCA.

Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Tìm đỉnh của $f(x) = x^2 - 6x + 5$.

Lời giải:

Cách 1 (Công thức): $h = -\frac{-6}{2(1)} = 3$ $k = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$

Cách 2 (Biến đổi về dạng chính tắc): $f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$

Đáp án: Đỉnh là $(3, -4)$

---

Ví dụ 2: Trung bình (Độ khó ★★★☆☆)

Tìm tập giá trị của $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ trên $[0, 3]$.

Lời giải:

Biến đổi về dạng chính tắc: $f(x) = -(x^2 - 4x) - 1 = -(x-2)^2 + 4 - 1 = -(x-2)^2 + 3$

Đỉnh tại $(2, 3)$, parabol mở xuống dưới.

Vì $2 \in [0, 3]$, giá trị lớn nhất tại đỉnh: $f(2) = 3$

Kiểm tra các điểm đầu mút:

• $f(0) = -1$
• $f(3) = -9 + 12 - 1 = 2$

Giá trị nhỏ nhất là $f(0) = -1$.

Đáp án: Tập giá trị là $[-1, 3]$

---

Ví dụ 3: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆)

Nếu $f(x) = x^2 - 2ax + a$ có giá trị nhỏ nhất bằng $-2$ trên $[0, 2]$, tìm $a$.

Lời giải:

$f(x) = (x-a)^2 + a - a^2$, đỉnh tại $(a, a-a^2)$.

Trường hợp 1: $a < 0$ (đỉnh nằm bên trái đoạn) Giá trị nhỏ nhất tại $x = 0$: $f(0) = a = -2$ Kiểm tra: đỉnh tại $(-2, -2-4) = (-2, -6)$, nhưng $f(0) = -2 \neq -6$. ✓ Vậy $a = -2$ thỏa mãn.

Trường hợp 2: $0 \leq a \leq 2$ (đỉnh nằm trong đoạn) Giá trị nhỏ nhất tại đỉnh: $a - a^2 = -2$ $a^2 - a - 2 = 0$ $(a-2)(a+1) = 0$ $a = 2$ hoặc $a = -1$ Chỉ $a = 2$ thuộc $[0, 2]$. Kiểm tra: $f(x) = (x-2)^2$, giá trị nhỏ nhất tại $x=2$ là $0 \neq -2$. ✗

Trường hợp 3: $a > 2$ (đỉnh nằm bên phải đoạn) Giá trị nhỏ nhất tại $x = 2$: $f(2) = 4 - 4a + a = 4 - 3a = -2$ $a = 2$, mâu thuẫn với $a > 2$. ✗

Đáp án: $a = -2$

---

Ví dụ 4: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆)

Tìm tất cả giá trị của $m$ sao cho $f(x) = x^2 - mx + 1 > 0$ với mọi $x \in \mathbb{R}$.

Lời giải:

Để $f(x) > 0$ với mọi $x$, parabol phải mở lên trên (✓, $a = 1 > 0$) và không có nghiệm thực.

Điều này yêu cầu $\Delta < 0$: $\Delta = m^2 - 4(1)(1) = m^2 - 4 < 0$ $m^2 < 4$ $-2 < m < 2$

Đáp án: $m \in (-2, 2)$

Chuyển đổi giữa các dạng

Từ dạng tổng quát sang dạng đỉnh

Cho $f(x) = ax^2 + bx + c$:

1. Đặt $a$ làm thừa số chung của hai số hạng đầu: $f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$
2. Biến đổi về bình phương hoàn chỉnh: $f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$
3. Rút gọn: $f(x) = a(x - h)^2 + k$ với $h = -\frac{b}{2a}$, $k = c - \frac{b^2}{4a}$

Từ dạng đỉnh sang dạng tổng quát

Cho $f(x) = a(x-h)^2 + k$:

Khai triển: $f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k$

Vậy $b = -2ah$ và $c = ah^2 + k$.

Sai lầm thường gặp

❌ Sai lầm 1: Sai dấu trong công thức đỉnh

Sai: $h = \frac{b}{2a}$ ✗

Đúng: $h = -\frac{b}{2a}$ ✓

❌ Sai lầm 2: Bỏ qua tập xác định khi tìm tập giá trị

Sai: Tập giá trị của $f(x) = x^2$ trên $[1, 3]$ là $[0, +\infty)$ ✗

Đúng: Trên $[1, 3]$, giá trị nhỏ nhất là $f(1) = 1$, nên tập giá trị là $[1, 9]$ ✓

❌ Sai lầm 3: Xác định sai vị trí đỉnh

Khi tập xác định bị giới hạn, đỉnh có thể nằm ngoài tập xác định. Kiểm tra xem đỉnh nằm bên trong, bên trái hay bên phải của đoạn.

Mẹo học tập

1. ✅ Thành thạo biến đổi về bình phương hoàn chỉnh: Cần thiết để tìm đỉnh
2. ✅ Nắm vững ba trường hợp: Đỉnh nằm trong, bên trái hoặc bên phải đoạn
3. ✅ Sử dụng biệt thức: Cho các câu hỏi về giao điểm với trục x
4. ✅ Vẽ phác họa: Hình dung parabol để tránh sai sót

---

💡 Mẹo thi: Với bài toán có tập xác định bị giới hạn, trước tiên xác định vị trí đỉnh so với tập xác định, sau đó kiểm tra các điểm đầu mút. Giá trị cực trị xảy ra tại đỉnh (nếu nằm trong tập xác định) hoặc tại các điểm đầu mút!