二次方程èrcì fāngchéng

Khái niệm cơ bản Phương trình bậc hai là một phương trình đa thức trong đó lũy thừa cao nhất của biến là 2. Đây là một trong những loại phương trình cơ bản nhất trong đại số. ### Dạng chuẩn

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$ trong đó: - $a$ là hệ số của $x^2$ (không thể bằng 0) - $b$ là hệ số của $x$ - $c$ là hằng số

• $x$ là biến ## Phương pháp giải ### Phương pháp 1: Phân tích nhân tử Khi phương trình có thể phân tích nhân tử, đây là phương pháp trực tiếp nhất. Ví dụ: $x^2 - 5x + 6 = 0$ Bước 1: Phân tích nhân tử $(x - 2)(x - 3) = 0$

Bước 2: Đặt mỗi nhân tử bằng 0 $x - 2 = 0 \text{ or } x - 3 = 0$ Kết quả: $x = 2$ hoặc $x = 3$ ### Phương pháp 2: Hoàn thiện bình phương Biến đổi phương trình thành bình phương hoàn hảo. Ví dụ: $x^2 + 6x + 5 = 0$

Bước 1: Sắp xếp lại $x^2 + 6x = -5$ Bước 2: Hoàn thành bình phương $x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$ $(x + 3)^2 = 4$ Bước 3: Lấy căn bậc hai $x + 3 = \pm 2$

Kết quả: $x = -1$ hoặc $x = -5$ ### Phương pháp 3: Công thức bậc hai Phương pháp này áp dụng cho tất cả các phương trình bậc hai: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ trong đó $\Delta = b^2 - 4ac$ được gọi là hệ số phân biệt.

Phân tích phân biệt - $\Delta > 0$: Hai nghiệm thực khác nhau - $\Delta = 0$: Hai nghiệm thực bằng nhau (nghiệm lặp) - $\Delta < 0$: Không có nghiệm thực (hai nghiệm phức liên hợp) ## Công thức của Vieta

Nếu $x_1$ và $x_2$ là các nghiệm của $ax^2 + bx + c = 0$, thì: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (tổng các nghiệm) $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (tích các nghiệm) ## Ứng dụng thực tế ### Ứng dụng 1: Vấn đề diện tích

Vấn đề: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài dài hơn chiều rộng 4m. Diện tích là 60m². Tìm kích thước. Giải pháp: Giả sử chiều rộng = $x$, thì chiều dài = $x + 4$ $x(x + 4) = 60$ $x^2 + 4x - 60 = 0$ $(x + 10)(x - 6) = 0$ Câu trả lời: Chiều rộng = 6m, Chiều dài = 10m (bỏ qua giá trị âm) ### Ứng dụng 2: Chuyển động của vật ném Vấn đề: Một vật được ném lên cao với độ cao $h = 20t - 5t^2$ (mét). Khi nào nó chạm đất?

Giải pháp: Đặt $h = 0$ $20t - 5t^2 = 0$ $5t(4 - t) = 0$ Câu trả lời: $t = 4$ giây ($t = 0$ là thời gian phóng) ### Ứng dụng 3: Tối đa hóa lợi nhuận

Vấn đề: Sản phẩm có giá $x$ bán được $(100-x)$ đơn vị mỗi ngày. Chi phí là $40/đơn vị. Tìm giá tối ưu. Hàm lợi nhuận: $P = (x - 40)(100 - x) = -x^2 + 140x - 4000$ Tối đa: Tại đỉnh $x = -\frac{140}{2(-1)} = 70$

Câu trả lời: Giá $70 tối đa hóa lợi nhuận ## Bài tập thực hành CSCA > 💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA và định dạng bài thi tiêu chuẩn của Trung Quốc để giúp học sinh làm quen với các loại câu hỏi và phương pháp giải quyết vấn đề. ### Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Giải bằng cách phân tích nhân tử: $x^2 - 7x + 12 = 0$ Các phương án: - A. $x = 2$ hoặc $x = 5$ - B. $x = 3$ hoặc $x = 4$

• C. $x = 1$ hoặc $x = 12$ - D. $x = -3$ hoặc $x = -4$ Giải pháp: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0$ $x = 3 \text{ or } x = 4$

Câu trả lời: B --- ### Ví dụ 2: Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆) Nếu $x^2 - 6x + k = 0$ có hai nghiệm thực bằng nhau, hãy tìm $k$. Giải pháp: Nghiệm bằng nhau có nghĩa là $\Delta = 0$: $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 0$ $36 - 4k = 0$ $k = 9$ Câu trả lời: $k = 9$ --- ### Ví dụ 3: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆)

Nếu $x_1$, $x_2$ là các nghiệm của $x^2 - 3x - 1 = 0$, hãy tìm $x_1^2 + x_2^2$ mà không cần giải phương trình. Giải pháp: Sử dụng công thức Vieta: $x_1 + x_2 = 3, \quad x_1 x_2 = -1$

Sử dụng công thức: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 2(-1) = 11$ Câu trả lời: $11$ ## Lỗi thường gặp ### ❌ Lỗi 1: Quên $a \neq 0$ Sai: $0x^2 + 3x + 2 = 0$ là phương trình bậc hai ✗

Đúng: Khi $a = 0$, nó trở thành phương trình tuyến tính ✓ ### ❌ Lỗi 2: Dấu sai trong công thức bậc hai Sai: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$ ✗

Đúng: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ✓ ### ❌ Lỗi 3: Lỗi dấu trong công thức Vieta Sai: $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

Đúng: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ✓ ### ❌ Lỗi 4: Không kiểm tra các nghiệm thừa Sửa lỗi: Trong các bài toán thực tế, hãy kiểm tra xem các nghiệm có ý nghĩa vật lý hay không (ví dụ: độ dài không thể là số âm). ## Mẹo học tập

1. ✅ Nắm vững cả ba phương pháp: Phân tích nhân tử nhanh nhất, hoàn thành bình phương thể hiện khái niệm, công thức phổ quát 2. ✅ Phân biệt là chìa khóa: Luôn tính toán $\Delta$ để xác định loại nghiệm 3. ✅ Công thức Vieta được kiểm tra: Luyện tập tìm biểu thức mà không giải phương trình
2. ✅ Kiểm tra đáp án thực tế: Loại bỏ các giải pháp không hợp lý --- 💡 Mẹo thi: Phương trình bậc hai là nội dung cốt lõi của đại số CSCA, chiếm khoảng 60% các bài toán về phương trình. Học thuộc lòng công thức và công thức của Vieta!