quadratic equation | CSCA Math Glossary

Khái niệm cơ bản

Một phương trình bậc hai là một phương trình đa thức trong đó lũy thừa cao nhất của biến là 2. Đây là một trong những loại phương trình cơ bản nhất trong đại số.

Dạng chuẩn

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$ trong đó: - $a$ là hệ số của $x^2$ (không thể bằng 0) - $b$ là hệ số của $x$ - $c$ là hằng số - $x$ là biến

Phương pháp giải

Phương pháp 1: Phân tích nhân tử

Khi phương trình có thể phân tích nhân tử, đây là phương pháp trực tiếp nhất.

Ví dụ: $x^2 - 5x + 6 = 0$ Bước 1: Phân tích nhân $(x - 2)(x - 3) = 0$ tửBước 2: Đặt mỗi nhân tử bằng 0

Kết $x - 2 = 0 \text{ or } x - 3 = 0$ quả: $x = 2$ hoặc $x = 3$

Phương pháp 2: Hoàn thiện bình phương

Biến đổi phương trình thành một bình phương hoàn hảo.

Ví dụ: $x^2 + 6x + 5 = 0$ Bước 1: Sắp $x^2 + 6x = -5$ xếp lạiBước 2: Hoàn thành bình $x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$ $(x + 3)^2 = 4$ phươngBước 3: Lấy căn bậc hai $x + 3 = \pm 2$

Kết quả: $x = -1$ hoặc $x = -5$

Phương pháp 3: Công thức bậc hai

Phương pháp phổ quát này áp dụng cho tất cả các phương trình bậc hai:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ nơi $\Delta = b^2 - 4ac$ được gọi là phân biệt.

Phân tích phân biệt

- $\Delta > 0$ : Hai nghiệm thực khác nhau - $\Delta = 0$ : Hai nghiệm thực bằng nhau (nghiệm lặp) - $\Delta < 0$ : Không có nghiệm thực (hai nghiệm phức liên hợp)

Công thức Vieta

Nếu $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của $ax^2 + bx + c = 0$ , thì:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (tổng các nghiệm)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (tích các nghiệm)

Ứng dụng thực tế

Ứng dụng 1: Vấn đề diện tích

Vấn đề: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài dài hơn chiều rộng 4m. Diện tích là 60m². Tìm kích thước.

Giải pháp: Giả sử chiều rộng = $x$ , thì chiều dài =

$x + 4$

$x(x + 4) = 60$ $x^2 + 4x - 60 = 0$ $(x + 10)(x - 6) = 0$ Câu trả lời: Chiều rộng = 6m, Chiều dài = 10m (bỏ qua giá trị âm)

Ứng dụng 2: Chuyển động của vật thể bay

Vấn đề: Một vật được ném lên cao với độ cao $h = 20t - 5t^2$ (mét). Khi nào nó chạm đất?

Giải pháp: Đặt

$h = 0$ $20t - 5t^2 = 0$ $5t(4 - t) = 0$ Câu trả lời: $t = 4$ giây ( $t = 0$ là thời gian phóng)

Ứng dụng 3: Tối đa hóa lợi nhuận

Vấn đề: Sản phẩm có giá $x$ bán được $(100-x)$ đơn vị mỗi ngày. Chi phí là $40/đơn vị. Tìm giá tối ưu.

Hàm lợi nhuận: $P = (x - 40)(100 - x) = -x^2 + 140x - 4000$ Tối đa: Tại đỉnh

$x = -\frac{140}{2(-1)} = 70$ Câu trả lời: Giá $70 tối đa hóa lợi nhuận

Bài tập thực hành CSCA

> 💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA và định dạng bài thi tiêu chuẩn của Trung Quốc để giúp học sinh làm quen với các loại câu hỏi và phương pháp giải quyết vấn đề.

Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Giải bằng cách phân tích nhân tử:

Các $x^2 - 7x + 12 = 0$ phương án:

A. $x = 2$ hoặc $x = 5$
B. $x = 3$ hoặc $x = 4$
C. $x = 1$ hoặc $x = 12$
D. $x = -3$ hoặc $x = -4$ Giải pháp:

$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0$ $x = 3 \text{ or } x = 4$ Câu trả lời: B

Ví dụ 2: Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Nếu $x^2 - 6x + k = 0$ có hai nghiệm thực bằng nhau, tìm $k$ .

Giải pháp:

Nghiệm bằng nhau nghĩa là $\Delta = 0$ :

$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 0$ $36 - 4k = 0$ $k = 9$ Câu trả lời:

--- $k = 9$

Ví dụ 3: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆)

Nếu $x_1$ , $x_2$ là nghiệm của $x^2 - 3x - 1 = 0$ , tìm $x_1^2 + x_2^2$ mà không cần giải.

Giải pháp:

Theo công thức Vieta: $x_1 + x_2 = 3, \quad x_1 x_2 = -1$ Sử dụng danh tính:

Câu trả $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 2(-1) = 11$ lời:

## $11$ Lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Quên

$a \neq 0$

Sai: $0x^2 + 3x + 2 = 0$ là phương trình bậc hai ✗

Đúng: Khi $a = 0$ , nó trở thành phương trình bậc nhất ✓

❌ Lỗi 2: Dấu sai trong công thức bậc hai

Sai: ✗ $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$

Đúng: ✓ $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

❌ Lỗi 3: Lỗi dấu trong công thức Vieta

Sai: $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

Đúng: ✓ $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

❌ Lỗi 4: Không kiểm tra các nghiệm thừa

Sửa lỗi: Trong các bài toán thực tế, hãy kiểm tra xem các nghiệm có ý nghĩa vật lý hay không (ví dụ: độ dài không thể âm).

Mẹo học tập

✅ Nắm vững cả ba phương pháp: Phân tích nhân tử nhanh nhất, hoàn thành bình phương thể hiện khái niệm, công thức phổ quát
✅ Phân biệt là chìa khóa: Luôn tính toán $\Delta$ để xác định loại nghiệm
✅ Công thức Vieta được kiểm tra: Luyện tập tìm biểu thức mà không giải
✅ Kiểm tra kết quả thực tế: Loại bỏ các giải pháp không hợp lý

💡 Mẹo thi: Phương trình bậc hai là nội dung cốt lõi của đại số CSCA, chiếm khoảng 60% các bài toán về phương trình. Hãy ghi nhớ công thức và công thức của Vieta!

二次方程èrcì fāngchéng