复数fùshù

Khái niệm cốt lõi

Số phức là một mở rộng của hệ số thực, có dạng $z = a + bi$, trong đó $a, b$ là các số thực và $i$ là đơn vị ảo.

Đơn vị ảo

Đơn vị ảo $i$ thỏa mãn $i^2 = -1$.

$i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$

Các tính năng của $i$:

• $i^1 = i$
• $i^2 = -1$
• $i^3 = -i$
• $i^4 = 1$
• $i^{4k+r} = i^r$ ($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$)

Dạng của số phức

$z = a + bi$

Địa điểm:

• $a$ là linh kiện chính hãng, được ký hiệu là $\text{Re}(z)$
• $b$ là phần ảo, được ký hiệu là $\text{Im}(z)$
• Khi $b = 0$, $z$ là một số thực
• Khi $a = 0, b \neq 0$, $z$ là một số ảo thuần túy
• Khi $b \neq 0$, $z$ là một số ảo

Bằng nhau phức tạp

$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$

Mặt phẳng phức

Biểu diễn hình học

Số phức $z = a + bi$ có thể được biểu diễn dưới dạng điểm $(a, b)$ trên mặt phẳng phức:

• Trục ngang (trục thực): Biểu thị phần thực
• Trục tung (trục ảo): Đại diện cho phần ảo

Biểu diễn vectơ

Số phức $z = a + bi$ cũng có thể được xem như vectơ $\overrightarrow{OZ}$ đi từ gốc tọa độ $O$ đến điểm $(a, b)$.

Mô-đun của số phức

Định nghĩa

Độ lớn của số phức $z = a + bi$, được ký hiệu là $|z|$:

$|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Ý nghĩa hình học

$|z|$ biểu thị khoảng cách từ điểm $z$ đến gốc tọa độ trên mặt phẳng phức.

Thuộc tính

1. $|z| \geq 0$, với điều kiện $z = 0$ và chỉ khi đó mới đúng
2. $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$
3. $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ ($z_2 \neq 0$)
4. $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (bất đẳng thức tam giác)

Phối hợp

Định nghĩa

Phần phức của số phức $z = a + bi$, được ký hiệu là $\bar{z}$:

$\bar{z} = a - bi$

Ý nghĩa hình học

$\bar{z}$ là hình ảnh phản chiếu của $z$ qua trục thực.

Thuộc tính

1. $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$
2. $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$
3. $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$
4. $z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$
5. $z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$

Hoạt động

Cộng và trừ

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

Phép nhân

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Phân khu

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

Phương pháp: Nhân tử số và mẫu số với số phức đối ngẫu của mẫu số

Các bài tập thực hành CSCA

[Ví dụ 1] Cơ bản (Mức độ khó ★★☆☆☆)

Cho số phức $z = 3 + 4i$, hãy tìm $|z|$ và $\bar{z}$.

Giải pháp:

Mô-đun: $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Phép cộng hợp: $\bar{z} = 3 - 4i$

Câu trả lời: $|z| = 5$, $\bar{z} = 3 - 4i$

---

[Ví dụ 2] Trình độ trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Tính toán $(2 + 3i)(1 - 2i)$.

Giải pháp:

$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ $= 2 - i + 6 = 8 - i$

Câu trả lời: $8 - i$

Những quan niệm sai lầm phổ biến

❌ Nhầm lẫn 1: Coi $i$ như một biến

Sai: Nghĩ rằng $i$ có thể được đơn giản hóa thêm giống như các biến đại số

Đúng: $i$ là đơn vị ảo cùng với $i^2 = -1$, chứ không phải là một biến

❌ Nhầm lẫn thứ 2: Tính toán mô-đun sai

Sai: $|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

Đúng: $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

❌ Nhầm lẫn thứ 3: Dấu cộng hóa trị sai

Sai: $\overline{3 + 4i} = -3 - 4i$

Đúng: $\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$ (chỉ phần ảo đổi dấu)

Mẹo học tập

1. ✅ Hiểu về đơn vị ảo: $i^2 = -1$ là nội dung cơ bản
2. ✅ Các phép tính cơ bản: Cộng, trừ, nhân, chia
3. ✅ Hãy nhớ khái niệm mô-đun và số phức liên hợp: Ý nghĩa hình học và các tính chất của chúng
4. ✅ Luyện tập phép chia: Việc đơn giản hóa mẫu số là chìa khóa
5. ✅ Hiểu về hình học: Điểm và vectơ trên mặt phẳng phức

---

💡 Mẹo làm bài thi: Số phức là một phần quan trọng trong chương trình toán trung học phổ thông. Trong các kỳ thi CSCA, phần này tương đối đơn giản, nhưng bạn phải nắm vững các phép toán và khái niệm cơ bản! Phần này chiếm khoảng 10–15% số câu hỏi về đại số.