复数fùshù

Khái niệm cơ bản

Số phức là sự mở rộng của số thực, có dạng$z = a + bi$

nơi$a, b$

là các số thực và$i$

là đơn vị ảo.

Đơn vị ảo

Đơn vị ảo$i$

thỏa mãn$i^2 = -1$

.

$i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$

Lũy thừa của$i$

:

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = -i$

-$i^4 = 1$

-$i^{4k+r} = i^r$

($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$

)

Hình thức của số phức

$z = a + bi$

Trong đó: -$a$

là phần thực, ký hiệu$\text{Re}(z)$

-$b$

là phần ảo, ký hiệu$\text{Im}(z)$

• Khi$b = 0$

,$z$

là một số thực

• Khi$a = 0, b \neq 0$

,$z$

là một số ảo thuần túy

• Khi$b \neq 0$

,$z$

là một số ảo

Bình đẳng số$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$

phức

Mặt phẳng phức

Đại diện hình học

Số phức $z = a + bi$

có thể được biểu diễn như điểm$(a, b)$

trên mặt phẳng phức:

• Trục ngang (trục thực): Biểu diễn phần thực
• Trục dọc (trục ảo): Biểu diễn phần ảo

Đại diện$z = a + bi$

vectơ

Số phức cũng có thể được xem như vectơ$\overrightarrow{OZ}$

từ gốc$O$

đến điểm$(a, b)$

.

Độ lớn của số phức

Định nghĩa

Độ lớn của số$z = a + bi$

phức , ký hiệu$|z|$

:

$|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

Ý

$|z|$

nghĩa hình học là khoảng cách từ điểm$z$

đến gốc tọa độ trong mặt phẳng phức.

Tính chất

1.$|z| \geq 0$

, với bằng nhau nếu và$z = 0$

chỉ nếu 2. $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

3.$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

($z_2 \neq 0$

) 4.$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

(bất đẳng thức tam giác)

Số phức liên hợp

Định nghĩa

Số phức phức hợp của số$z = a + bi$

phức , ký hiệu là$\bar{z}$

:

$\bar{z} = a - bi$

Ý

$\bar{z}$

nghĩa hình học là hình ảnh đối xứng của$z$

qua trục thực.

Tính chất

$\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$

$\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$

$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$

$z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$

5.$z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$

Các phép toán

Cộng và trừ###

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

Nhân### Chia

**Phương

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

pháp**: Nhân tử tử và mẫu với số phức đối xứng của mẫu

Bài tập thực hành CSCA

[Ví dụ 1] Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Cho số$z = 3 + 4i$

phức , tìm$|z|$

và$\bar{z}$

.

Giải pháp:

Độ lớn: $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Số phức đối xứng:

**Câu trả $\bar{z} = 3 - 4i$

lời**:$|z| = 5$

, $\bar{z} = 3 - 4i$

---

[Ví dụ 2] Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Tính$(2 + 3i)(1 - 2i)$

.

Giải pháp:

$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ $= 2 - i + 6 = 8 - i$

Câu trả lời:

##$8 - i$

Những hiểu lầm phổ biến

❌ Hiểu lầm 1: Xem$i$

như một biến

Sai: Nghĩ rằng$i$

có thể được đơn giản hóa thêm như các biến đại số

Đúng:$i$

là đơn vị ảo với$i^2 = -1$

, không phải là biến

❌ Sai lầm 2: Tính toán modulus sai

Sai: $|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

Đúng: $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

❌ Sai lầm 3: Dấu của số phức liên hợp sai

Sai:$\overline{3 + 4i} = -3 - 4i$

Đúng:$\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$

(chỉ phần ảo thay đổi dấu)

Mẹo học tập

1. ✅ Hiểu đơn vị ảo:$i^2 = -1$

là cơ bản 2. ✅ Nắm vững các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia 3. ✅ Nhớ mô-đun và phức liên hợp: Ý nghĩa hình học và tính chất của chúng 4. ✅ Luyện tập chia: Hợp lý hóa mẫu số là chìa khóa 5. ✅ Hiểu hình học: Điểm và vectơ trong mặt phẳng phức

---

💡 Mẹo thi: Số phức rất quan trọng trong toán học trung học. Khá đơn giản trong các kỳ thi CSCA, nhưng các phép toán và khái niệm cơ bản phải được nắm vững! Chiếm khoảng 10-15% các bài toán đại số.