复数fùshù

Khái niệm cơ bản Số phức là một mở rộng của số thực, có dạng $z = a + bi$, trong đó $a, b$ là các số thực và $i$ là đơn vị ảo.

Đơn vị ảo Đơn vị ảo $i$ thỏa mãn $i^2 = -1$. $i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$

Lũy thừa của $i$: - $i^1 = i$ - $i^2 = -1$ - $i^3 = -i$ - $i^4 = 1$ - $i^{4k+r} = i^r$ ($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$)

Hình thức của số phức $z = a + bi$ Trong đó: - $a$ là phần thực, được ký hiệu là $\text{Re}(z)$

• $b$ là phần ảo, được ký hiệu là $\text{Im}(z)$ - Khi $b = 0$, $z$ là một số thực
• Khi $a = 0, b \neq 0$, $z$ là một số ảo thuần túy - Khi $b \neq 0$, $z$ là một số ảo ### Bằng nhau phức tạp $a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$ ## Mặt phẳng phức tạp

Đại diện hình học Số phức $z = a + bi$ có thể được đại diện bằng điểm $(a, b)$ trên mặt phẳng phức: - Trục ngang (trục thực): Đại diện cho phần thực

• Trục dọc (trục ảo): Đại diện cho phần ảo ### Biểu diễn véc-tơ Số phức $z = a + bi$ cũng có thể được xem như véc-tơ $\overrightarrow{OZ}$ từ gốc $O$ đến điểm $(a, b)$. ## Độ lớn của số phức

Định nghĩa Bán kính của số phức $z = a + bi$, được ký hiệu là $|z|$: $|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$ ### Ý nghĩa hình học $|z|$ biểu diễn khoảng cách từ điểm $z$ đến gốc tọa độ trong mặt phẳng phức.

Tính chất 1. $|z| \geq 0$, với điều kiện bằng nhau nếu và chỉ nếu $z = 0$ 2. $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ 3. $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ ($z_2 \neq 0$)

4. $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (bất đẳng thức tam giác) ## Phức liên hợp ### Định nghĩa Phức liên hợp của số phức $z = a + bi$, được ký hiệu là $\bar{z}$: $\bar{z} = a - bi$

Ý nghĩa hình học $\bar{z}$ là hình ảnh phản xạ của $z$ qua trục thực. ### Tính chất 1. $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$ 2. $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$ 3. $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$

4. $z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$ 5. $z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$ ## Các phép toán ### Cộng và trừ $(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$ ### Nhân $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$ ### Chia $\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

Phương pháp: Nhân tử số và mẫu số với số phức liên hợp của mẫu số ## Bài tập thực hành CSCA ### [Ví dụ 1] Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆) Cho số phức $z = 3 + 4i$, tìm $|z|$ và $\bar{z}$.

Giải pháp: Modulus: $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ Phức cộng: $\bar{z} = 3 - 4i$ Kết quả: $|z| = 5$, $\bar{z} = 3 - 4i$

--- ### [Ví dụ 2] Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆) Tính $(2 + 3i)(1 - 2i)$. Giải pháp: $(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ $= 2 - i + 6 = 8 - i$

Câu trả lời: $8 - i$ ## Những hiểu lầm phổ biến ### ❌ Hiểu lầm 1: Xem $i$ như một biến Sai: Nghĩ rằng $i$ có thể được đơn giản hóa thêm như các biến đại số

Đúng: $i$ là đơn vị ảo với $i^2 = -1$, không phải là biến ### ❌ Sai lầm 2: Tính toán mô-đun sai Sai: $|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

Đúng: $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ ### ❌ Sai lầm 3: Dấu phức sai Sai: $\overline{3 + 4i} = -3 - 4i$ Đúng: $\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$ (chỉ phần ảo thay đổi dấu) ## Mẹo học tập

1. ✅ Hiểu đơn vị ảo: $i^2 = -1$ là cơ bản 2. ✅ Nắm vững các phép toán: Cộng, trừ, nhân, chia 3. ✅ Nhớ mô-đun và phức cộng: Ý nghĩa hình học và tính chất của chúng 4. ✅ Luyện tập phép chia: Rationalizing denominator là chìa khóa
2. ✅ Hiểu hình học: Điểm và vectơ trong mặt phẳng phức --- 💡 Mẹo thi: Số phức rất quan trọng trong toán học trung học. Khá đơn giản trong các kỳ thi CSCA, nhưng các phép toán và khái niệm cơ bản phải được nắm vững! Chiếm khoảng 10-15% các bài toán đại số