向量xiàngliàng

Khái niệm cơ bản Một vectơ là một đại lượng có cả độ lớn và hướng. Về mặt hình học, vectơ được biểu diễn bằng các đoạn thẳng có hướng; về mặt đại số, chúng được biểu diễn bằng tọa độ.

Ký hiệu vectơ #### 1. Ký hiệu hình học Đoạn thẳng có hướng $\overrightarrow{AB}$, trong đó $A$ là điểm đầu và $B$ là điểm cuối.

2. Ký hiệu chữ cái Chữ cái thường có mũi tên: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ #### 3. Ký hiệu tọa độ Vectơ 2D: $\vec{a} = (x, y)$ hoặc $\vec{a} = (a_1, a_2)$

vector 3D: $\vec{a} = (x, y, z)$ hoặc $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ ### Khái niệm cơ bản #### Độ lớn (Chiều dài) Đối với vector $\vec{a} = (x, y)$, độ lớn được ký hiệu là $|\vec{a}|$ hoặc $\|\vec{a}\|$:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ #### Vectơ không Vectơ có độ lớn 0, được ký hiệu là $\vec{0} = (0, 0)$, với hướng tùy ý #### Vectơ đơn vị Vectơ có độ lớn 1, được ký hiệu là $\vec{e}$ Vectơ đơn vị theo hướng của $\vec{a}$: $\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ #### Vectơ bằng nhau Vectơ có cùng hướng và độ lớn #### Vectơ ngược nhau Vectơ có hướng ngược nhau nhưng độ lớn bằng nhau. Vectơ ngược của $\vec{a}$ là $-\vec{a}$ ## Các phép toán vectơ ### 1. Cộng vectơ

Ý nghĩa hình học Quy tắc hình bình hành hoặc quy tắc tam giác #### Phép toán tọa độ $\vec{a} + \vec{b} = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ #### Tính chất - Giao hoán: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ - Hợp nhất: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ ### 2. Trừ vectơ

$\vec{a} - \vec{b} = (x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$ Ý nghĩa hình học: Các điểm từ đầu mút của $\vec{b}$ đến đầu mút của $\vec{a}$ ### 3. Nhân véc-tơ với số thực $k\vec{a} = k(x, y) = (kx, ky)$ trong đó $k$ là một số thực.

Tính chất: - $k > 0$: Cùng hướng với $\vec{a}$, độ lớn $k|\vec{a}|$ - $k < 0$: Hướng ngược với $\vec{a}$, độ lớn $|k||\vec{a}|$

• $k = 0$: Kết quả là vectơ không ### 4. Tích vô hướng (Tích vô hướng) $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$, trong đó $\theta$ là góc giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$. #### Hình thức tọa độ $\vec{a} \cdot \vec{b} = (x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = x_1x_2 + y_1y_2$ #### Tính chất quan trọng - $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$ (vectơ vuông góc) - $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ ## Ứng dụng thực tế ### Ứng dụng 1: Độ dịch chuyển Vấn đề: Một người đi 3km về phía đông rồi 4km về phía bắc từ gốc tọa độ. Tìm độ lớn và hướng của độ dịch chuyển.

Giải pháp: Vectơ dịch chuyển: $\vec{s} = (3, 4)$ Độ lớn: $|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ km}$ Hướng: Góc với trục đông $\tan\theta = \frac{4}{3}, \quad \theta \approx 53.1°$ Kết quả: 5km ở góc 53,1° về phía bắc so với đông

Ứng dụng 2: Hợp lực Vấn đề: Hai lực $\vec{F_1} = (3, 0)$ N và $\vec{F_2} = (0, 4)$ N tác dụng tại cùng một điểm. Tìm lực hợp. Giải pháp: $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = (3, 4) \text{ N}$ Độ lớn: $|\vec{F}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ N}$

Ứng dụng 3: Phân tích vận tốc Vấn đề: Máy bay bay với vận tốc 200 km/h về hướng đông bắc (45° so với hướng đông). Tìm thành phần hướng đông và hướng bắc. Giải pháp: $v_x = 200\cos45° = 100\sqrt{2} \approx 141.4 \text{ km/h}$ $v_y = 200\sin45° = 100\sqrt{2} \approx 141.4 \text{ km/h}$

Bài tập thực hành CSCA > 💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA và định dạng bài thi tiêu chuẩn của Trung Quốc để giúp học sinh làm quen với các loại câu hỏi và phương pháp giải quyết vấn đề. ### Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Cho vectơ $\vec{a} = (3, 4)$, tìm $|\vec{a}|$. Các phương án: - A. 3 - B. 4 - C. 5 - D. 7 Giải pháp: $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

Câu trả lời: C --- ### Ví dụ 2: Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆) Cho $\vec{a} = (2, 1)$ và $\vec{b} = (1, -3)$, tìm $\vec{a} + 2\vec{b}$. Giải pháp:

$2\vec{b} = 2(1, -3) = (2, -6)$ $\vec{a} + 2\vec{b} = (2, 1) + (2, -6) = (4, -5)$ Câu trả lời: $(4, -5)$ --- ### Ví dụ 3: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆) Cho $\vec{a} = (1, 2)$ và $\vec{b} = (2, -1)$, tìm:

1. $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 2. Góc $\theta$ giữa $\vec{a}$ và $\vec{b}$ Giải pháp: (1) Tích vô hướng: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1(2) + 2(-1) = 0$ (2) Góc: Vì $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$: $\vec{a} \perp \vec{b}$ $\theta = 90°$ Câu trả lời: (1) 0 (2) 90° (vuông góc) ## Lỗi thường gặp ### ❌ Lỗi 1: Các vectơ bằng nhau phải có cùng điểm xuất phát

Sửa lỗi: Các vectơ bằng nhau nếu chúng có cùng hướng và độ lớn, bất kể vị trí. Các vectơ có thể được dịch chuyển. ### ❌ Lỗi 2: Độ lớn có thể là số âm Sửa lỗi: Độ lớn (chiều dài) luôn là số không âm: $|\vec{a}| \geq 0$.

❌ Sai lầm 3: Kết quả của tích vô hướng là một vectơ Sửa lỗi: Kết quả của tích vô hướng là một số (scalar), không phải vectơ. ### ❌ Sai lầm 4: Vectơ không có hướng Sửa lỗi: Hướng của vectơ không có hướng là tùy ý, có thể song song với bất kỳ vectơ nào.

❌ Lỗi 5: Phạm vi góc sai Sửa lỗi: Góc $\theta$ giữa hai vectơ không bằng không nằm trong khoảng $[0°, 180°]$ hoặc $[0, \pi]$. ## Mẹo học tập

1. ✅ Hiểu bản chất: Cả độ lớn và hướng, khác với đại lượng vô hướng 2. ✅ Nắm vững các phép toán tọa độ: Cộng, trừ, nhân với đại lượng vô hướng, tích vô hướng 3. ✅ Nắm bắt ý nghĩa hình học: Hình dung các phép toán vectơ trong hệ tọa độ
2. ✅ Nhớ tính vuông góc: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$ 5. ✅ Áp dụng vào thực tế: Vị trí, lực, vận tốc đều là vectơ --- 💡 Mẹo thi: Vectơ là yếu tố quan trọng trong hình học và vật lý. Các phép toán tọa độ và tích vô hướng thường xuyên được kiểm tra!