导数dǎoshù

Khái niệm cơ bản

Đạo hàm là một khái niệm cơ bản trong giải tích, mô tả tốc độ thay đổi tức thời của một hàm số tại một điểm cho trước. Về mặt hình học, nó đại diện cho độ dốc của đường tiếp tuyến tại điểm đó.

Định nghĩa toán học

Đạo hàm của hàm số$y = f(x)$

tại điểm$x_0$

được định nghĩa như sau:$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

Nếu giới hạn này tồn tại, hàm số$f(x)$

được gọi là phân biệt được tại$x_0$

.

Ký hiệu đạo hàm

-$f'(x)$

• Ký hiệu Lagrange -$\frac{dy}{dx}$

• Ký hiệu Leibniz -$y'$

• Hình thức rút gọn -$\frac{df}{dx}$

• Hình thức vi phân

Công thức đạo hàm thông dụng

Hàm số cơ bản

1. Hằng số: $(C)' = 0$

2. Lũy thừa: $(x^n)' = nx^{n-1}$

3. Mũ:$(e^x)' = e^x$

, $(a^x)' = a^x \ln a$

4. Logarit: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

5. Hàm lượng giác:

$(\sin x)' = \cos x$

• $(\cos x)' = -\sin x$

$(\tan x)' = \sec^2 x$

Quy tắc đạo hàm

1. Tổng/Hiệu:$(f \pm g)' = f' \pm g'$

2. Tích: $(fg)' = f'g + fg'$

3. Hữu tỷ: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

4. Dãy:

##$(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Ứng dụng

1. Tìm đường tiếp tuyến

Đường tiếp tuyến của đường cong$y = f(x)$

tại$(x_0, f(x_0))$

:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

2. Xác định tính đơn điệu

-$f'(x) > 0$

→ hàm số tăng -$f'(x) < 0$

→ hàm số giảm -$f'(x) = 0$

→ có thể có cực trị

3. Tìm cực trị

Các bước:

1. Tìm đạo$f'(x)$

hàm 2. Giải$f'(x) = 0$

để tìm điểm cực trị 3. Kiểm tra sự thay đổi dấu xung quanh điểm cực trị

Bài tập thực hành CSCA

> 💡 Lưu ý: Các bài tập thực hành sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA và định dạng bài thi tiêu chuẩn của Trung Quốc để giúp học sinh làm quen với các loại câu hỏi và phương pháp giải bài.

Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Tìm đạo hàm của$f(x) = x^3 + 2x$

.

Giải pháp:

---

$f'(x) = 3x^2 + 2$

Ví dụ 2: Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Tìm phương trình đường tiếp tuyến của$y = x^2$

tại điểm$(1, 1)$

.

Giải pháp:

Bước 1: Tìm đạo$y' = 2x$

hàm

Bước 2: Tìm độ dốc tại$x=1$

:$k = 2(1) = 2$

Bước 3: Viết phương trình đường tiếp tuyến:

$y - 1 = 2(x - 1)$ $y = 2x - 1$

Câu trả lời:

---$y = 2x - 1$

Ví dụ 3: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆)

Tìm các điểm cực trị của$f(x) = x^3 - 3x$

.

Giải pháp:

Điểm

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$

cực trị: $x = -1, 1$

• Điểm cực đại:$f(-1) = 2$

tại $x = -1$

• Điểm cực tiểu:$f(1) = -2$

tại

##$x = 1$

Lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1:

$(x^2)' = 2$

Sửa lỗi:$(x^2)' = 2x$

, không phải 2! Nhớ giữ nguyên$x$

.

❌ Lỗi 2:$(fg)' = f'g'$

Sửa lỗi: Quy tắc tích là$(fg)' = f'g + fg'$

, không phải$f'g'$

!

❌ Lỗi 3:$f'(x_0) = 0$

luôn có nghĩa là cực trị

Sửa lỗi: $f'(x_0) = 0$

chỉ là một điều kiện cần. Phải kiểm tra sự thay đổi dấu.

Mẹo học tập

1. ✅ Hiểu định nghĩa: Đạo hàm = tốc độ tức thời = độ dốc của tiếp tuyến
2. ✅ Học thuộc lòng công thức: Học các đạo hàm cơ bản và quy tắc
3. ✅ Luyện tập: Đặc biệt là ứng dụng quy tắc chuỗi
4. ✅ Ứng dụng: Đạo hàm được sử dụng rộng rãi trong tối ưu hóa

---

💡 Mẹo thi: Đạo hàm chiếm khoảng 15% câu hỏi toán trong CSCA. Nắm vững đạo hàm cơ bản và ứng dụng hình học!