单调性dāndiàoxìng

Khái niệm cơ bản

Tính đơn điệu mô tả liệu một hàm số luôn tăng hay luôn giảm trên một khoảng. Một hàm số được gọi là đơn điệu trên một khoảng nếu nó hoàn toàn đồng biến hoặc hoàn toàn nghịch biến trên toàn bộ khoảng đó.

Định nghĩa

Hàm đồng biến (递增函数)

Hàm $f$ đồng biến trên khoảng $I$ nếu: $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

Tương đương: đầu vào lớn hơn → đầu ra lớn hơn.

Hàm nghịch biến (递减函数)

Hàm $f$ nghịch biến trên khoảng $I$ nếu: $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

Tương đương: đầu vào lớn hơn → đầu ra nhỏ hơn.

Đơn điệu không nghiêm ngặt

• Không giảm: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$
• Không tăng: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$

Phương pháp xác định tính đơn điệu

Phương pháp 1: Phương pháp định nghĩa (定义法)

1. Lấy $x_1, x_2$ bất kỳ trong khoảng với $x_1 < x_2$
2. Tính $f(x_1) - f(x_2)$
3. Xác định dấu của hiệu:
   • Luôn âm → đồng biến
   • Luôn dương → nghịch biến

Ví dụ: Chứng minh $f(x) = x^2$ đồng biến trên $(0, +\infty)$.

Với $0 < x_1 < x_2$: $f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$

Vì $x_1 < x_2$: $(x_1 - x_2) < 0$ Vì $x_1, x_2 > 0$: $(x_1 + x_2) > 0$

Do đó: $f(x_1) - f(x_2) < 0$, tức là $f(x_1) < f(x_2)$.

Kết luận: $f(x) = x^2$ đồng biến trên $(0, +\infty)$.

Phương pháp 2: Phương pháp đạo hàm (导数法)

Đối với hàm khả vi:

• $f'(x) > 0$ trên khoảng $I$ → $f$ đồng biến trên $I$
• $f'(x) < 0$ trên khoảng $I$ → $f$ nghịch biến trên $I$

Ví dụ: Tìm các khoảng đơn điệu của $f(x) = x^3 - 3x$.

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

• $f'(x) > 0$: khi $x < -1$ hoặc $x > 1$
• $f'(x) < 0$: khi $-1 < x < 1$

Khoảng đơn điệu:

• Đồng biến: $(-\infty, -1)$ và $(1, +\infty)$
• Nghịch biến: $(-1, 1)$

Tính đơn điệu của các hàm thường gặp

Hàm số	Khoảng đồng biến	Khoảng nghịch biến
$y = kx + b$ ($k > 0$)	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = kx + b$ ($k < 0$)	—	$(-\infty, +\infty)$
$y = x^2$	$[0, +\infty)$	$(-\infty, 0]$
$y = \dfrac{1}{x}$	—	$(-\infty, 0)$, $(0, +\infty)$
$y = \sqrt{x}$	$[0, +\infty)$	—
$y = a^x$ ($a > 1$)	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = a^x$ ($0 < a < 1$)	—	$(-\infty, +\infty)$

Bài tập thực hành CSCA

💡 Lưu ý: Các bài tập sau đây được thiết kế dựa trên chương trình thi CSCA.

Ví dụ 1: Cơ bản (Độ khó ★★☆☆☆)

Tìm các khoảng đơn điệu của $f(x) = -x^2 + 4x$.

Giải:

$f(x) = -(x^2 - 4x) = -(x - 2)^2 + 4$

Đây là parabol mở xuống với đỉnh tại $x = 2$.

• Đồng biến: $(-\infty, 2]$
• Nghịch biến: $[2, +\infty)$

Đáp án: Đồng biến trên $(-\infty, 2]$, nghịch biến trên $[2, +\infty)$

---

Ví dụ 2: Trung cấp (Độ khó ★★★☆☆)

Chứng minh $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ đồng biến trên $(-1, +\infty)$.

Giải:

Cho $-1 < x_1 < x_2$.

$f(x_1) - f(x_2) = \dfrac{x_1}{x_1+1} - \dfrac{x_2}{x_2+1}$

$= \dfrac{x_1(x_2+1) - x_2(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1x_2 + x_1 - x_1x_2 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

Vì $x_1 < x_2$: tử số $< 0$ Vì $x_1, x_2 > -1$: $(x_1+1)(x_2+1) > 0$

Do đó: $f(x_1) - f(x_2) < 0$, suy ra $f(x_1) < f(x_2)$.

Kết luận: $f(x)$ đồng biến trên $(-1, +\infty)$.

---

Ví dụ 3: Nâng cao (Độ khó ★★★★☆)

Nếu $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ đồng biến trên $[1, +\infty)$, tìm tập giá trị của $a$.

Giải:

$f(x) = (x - a)^2 + 1 - a^2$

Đỉnh parabol tại $x = a$.

Để $f(x)$ đồng biến trên $[1, +\infty)$, đỉnh phải nằm tại $x = 1$ hoặc bên trái $x = 1$.

Do đó: $a \leq 1$

Đáp án: $a \leq 1$, tức $(-\infty, 1]$

Tính chất của hàm đơn điệu

1. Quy tắc hợp hàm

$f$	$g$	$f \circ g$
Đồng biến	Đồng biến	Đồng biến
Đồng biến	Nghịch biến	Nghịch biến
Nghịch biến	Đồng biến	Nghịch biến
Nghịch biến	Nghịch biến	Đồng biến

Cách nhớ: "Cùng chiều → Đồng biến, Ngược chiều → Nghịch biến" (同增异减)

2. Hàm ngược

Nếu $f$ đơn điệu nghiêm ngặt, thì $f^{-1}$ tồn tại và có cùng tính đơn điệu với $f$.

Lỗi thường gặp

❌ Lỗi 1: Nhầm khoảng đơn điệu với tập xác định

Sai: $y = \dfrac{1}{x}$ nghịch biến trên $(-\infty, +\infty)$ ✗

Đúng: $y = \dfrac{1}{x}$ nghịch biến trên $(-\infty, 0)$ VÀ trên $(0, +\infty)$ riêng biệt ✓

❌ Lỗi 2: Ghép các khoảng không liên thông

Sai: $y = \dfrac{1}{x}$ nghịch biến trên $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ ✗

Đúng: Nêu từng khoảng riêng: nghịch biến trên $(-\infty, 0)$ và trên $(0, +\infty)$ ✓

❌ Lỗi 3: Bỏ qua điều kiện biên trong chứng minh

Khi chứng minh tính đơn điệu, phải đảm bảo $x_1 < x_2$ đều thuộc khoảng đã cho.

Mẹo học tập

1. ✅ Nắm vững định nghĩa: $x_1 < x_2$ suy ra gì về $f(x_1)$ so với $f(x_2)$?
2. ✅ Thuộc các hàm cơ bản: Ghi nhớ tính đơn điệu của các hàm tiêu chuẩn
3. ✅ Sử dụng đạo hàm: Với hàm phức tạp, phương pháp đạo hàm nhanh hơn
4. ✅ Không ghép khoảng rời rạc: Luôn liệt kê từng khoảng riêng biệt

---

💡 Mẹo thi: Với hàm bậc hai, luôn tìm đỉnh trước. Tính đơn điệu thay đổi tại đỉnh!