33. Nếu hai số thực dương $x , y$ thỏa mãn $x ( 1 + \ln x ) = y \mathrm { e } ^ { y - 1 }$, hãy cho các bất đẳng thức sau: (1) $y < x < 1$; (2) $1 < x < y$;
(3) $1 < y < x$ ; (4) $y < 1 < x$ . Số lượng có thể đúng là ( )
- A. A. 0
- B. B. 1
- C. C. 2
- D. D. 3
Answer: C
Solution: $x ( 1 + \ln x ) = y \mathrm { e } ^ { y - 1 } \Rightarrow y \mathrm { e } ^ { y - 1 } = ( 1 + \ln x ) \mathrm { e } ^ { 1 + \ln x - 1 }$,
Hàm tạo $f ( y ) = y \mathrm { e } ^ { y } ( y > 0 ) \Rightarrow f ^ { \prime } ( y ) = ( y + 1 ) \mathrm { e } ^ { y } > 0$ , do đó hàm $f ( y )$ là hàm tăng trên tập hợp các số thực dương, vì $x$ là số thực dương, nên từ $x ( 1 + \ln x ) = y \mathrm { e } ^ { y - 1 } \Rightarrow 1 + \ln x > 0$ , do đó từ ${ } ^ { y \mathrm { e } ^ { y - 1 } } = ( 1 + \ln x ) \mathrm { e } ^ { 1 + \ln x - 1 } \Rightarrow f ( y ) = f ( 1 + \ln x ) \Rightarrow y = 1 + \ln x$ ,
cho $g ( y ) = 1 + \ln y - y \Rightarrow g ^ { \prime } ( y ) = \frac { 1 - y } { y }$ , khi $y > 1$ , $g ^ { \prime } ( y ) < 0 , g ( y )$ giảm dần, khi $0 < y < 1 _ { \text {时 } , ~ } g ^ { \prime } ( y ) > 0 , g ( y )$ tăng dần, vì vậy $g ( y ) _ { \text {max } } = g ( 1 ) = 0$ , do đó có $1 + \ln y - y \leq 0 \Rightarrow \ln y + 1 \leq y$ , và $y = 1 + \ln x$ , vì vậy $y \leq x$ , khi và chỉ khi $y = x = 1$ khi lấy dấu bằng, khi $x \neq 1$ , $y = 1 + \ln x < x$ , từ trên có thể biết, $y < x < 1$ , hoặc $1 < y < x$ , nên chọn: C
[Điểm mấu chốt]Điểm mấu chốt: Biến đổi hàm số của phương trình, sử dụng tính chất của đạo hàm là chìa khóa để giải bài toán. 34. D [Kiến thức]Xác định tham số từ giải của phương trình bậc hai một ẩn, giải phương trình bậc hai một ẩn không chứa tham số
[Phân tích]Chuyển đổi bất đẳng thức thành $( x - a ) ( x - 1 ) < 0$ , chia thành hai trường hợp $a > 1$ và $a < 1$ để thảo luận, tìm tập hợp giải của bất đẳng thức, kết hợp ý nghĩa của bài toán và phương pháp biểu diễn tập hợp, có thể giải được.
[Giải thích chi tiết]Theo ý nghĩa của bài toán, bất đẳng thức $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a < 0$ có thể chuyển thành $( x - a ) ( x - 1 ) < 0$ , khi $a > 1$ , bất đẳng thức $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) _ { x + a < 0 }$ tập hợp giải là $( 1 , a )$ Để tập hợp giải của bất đẳng thức $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a < 0$ có chính xác 3 số nguyên, thì $4 < a \leq 5$ ; Khi $a < 1$ , tập hợp giải của bất đẳng thức $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a < 0$ là $( a , 1 )$ Để tập hợp giải của bất đẳng thức $x ^ { 2 } - ( a + 1 ) x + a < 0$ có chính xác 3 số nguyên, thì $- 3 \leq a < - 2$ , Tóm lại, phạm vi giá trị của số thực ${ } ^ { a }$ là $[ - 3 , - 2 ) \cup ( 4,5 ]$ . Do đó, chọn: D.
[Điểm nhấn]Câu hỏi này chủ yếu kiểm tra cách giải bất đẳng thức bậc hai một ẩn và ứng dụng của nó, trong đó, việc ghi nhớ cách giải bất đẳng thức bậc hai một ẩn và kết hợp mối quan hệ giữa phần tử và tập hợp là chìa khóa để giải câu hỏi, tập trung kiểm tra khả năng tính toán và giải quyết vấn đề.