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CSCA 2025年12月数学真题

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CSCA 2025年12月数学真题 · #1· 考点: 判断两个集合的包含关系
若集合 A={1,2}A=\{1,2\}，B={1,2,3}B=\{1,2,3\}，则（ ）。
  • A．B⊆AB \subseteq A
  • B．A∈BA \in B
  • 正确答案: C．A⊆BA \subseteq B
  • D．A=BA = B
查看解析(答案: C)
答案：C 集合 AA 的所有元素都属于 BB，所以 A⊆BA\subseteq B。因此选 C。
CSCA 2025年12月数学真题 · #2· 考点: 交集的概念及运算
若 A=(−1,3)A=(-1,3)，B=(2,4)B=(2,4)，则 A∩B=A \cap B =（ ）。
  • A．[2,3)[2,3)
  • B．(2,3](2,3]
  • C．{2,3}\{2,3\}
  • 正确答案: D．(2,3)(2,3)
查看解析(答案: D)
答案：D (−1,3)(-1,3) 与 (2,4)(2,4) 的公共部分是 (2,3)(2,3)，端点 2 和 3 都不包含。因此选 D。
CSCA 2025年12月数学真题 · #3· 考点: 解不含参数的一元二次不等式
一元二次不等式 x2−5x+4<0x^2-5x+4<0 的解集为（ ）。
  • 正确答案: A．(1,4)(1,4)
  • B．(−∞,−4)∪(−1,+∞)(-\infty,-4)\cup(-1,+\infty)
  • C．(−4,−1)(-4,-1)
  • D．(−∞,1)∪(4,+∞)(-\infty,1)\cup(4,+\infty)
查看解析(答案: A)
答案：A x2−5x+4=(x−1)(x−4)<0x^2-5x+4=(x-1)(x-4)<0，解得 1<x<41<x<4。因此选 A。
CSCA 2025年12月数学真题 · #4· 考点: 具体函数的定义域
函数 y=1x+1y=\frac{1}{\sqrt{x+1}} 的定义域为（ ）。
  • A．(0,+∞)(0,+\infty)
  • B．[−1,+∞)[-1,+\infty)
  • 正确答案: C．(−1,+∞)(-1,+\infty)
  • D．(−∞,−1)(-\infty,-1)
查看解析(答案: C)
答案：C 分母不能为 0，且根号内 x+1>0x+1>0，所以 x>−1x>-1。因此选 C。
CSCA 2025年12月数学真题 · #5· 考点: 等差数列通项公式的基本量计算
若 {an}\{a_n\} 为等差数列，首项 a1=2a_1=2，公差 d=3d=3，则 a100=a_{100}=（ ）。
  • 正确答案: A．299
  • B．305
  • C．302
  • D．298
查看解析(答案: A)
答案：A a100=a1+99d=2+99×3=299a_{100}=a_1+99d=2+99\times3=299。因此选 A。
CSCA 2025年12月数学真题 · #6· 考点: 判断点所在的象限
点 (−1,3−π)(-1,3-\pi) 位于平面直角坐标系的（ ）。
  • A．第一象限
  • B．第二象限
  • C．第四象限
  • 正确答案: D．第三象限
查看解析(答案: D)
答案：D 3−π<03-\pi<0，横坐标和纵坐标均为负，点在第三象限。因此选 D。
CSCA 2025年12月数学真题 · #7· 考点: 特殊角的三角函数值
(sin⁡π4+cos⁡π4)tan⁡π4=\left(\sin\frac{\pi}{4}+\cos\frac{\pi}{4}\right)\tan\frac{\pi}{4}=（ ）。
  • A．222\sqrt{2}
  • B．1
  • 正确答案: C．2\sqrt{2}
  • D．2
查看解析(答案: C)
答案：C sin⁡π4=cos⁡π4=22\sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}，tan⁡π4=1\tan\frac{\pi}{4}=1，原式为 2\sqrt{2}。因此选 C。
CSCA 2025年12月数学真题 · #8· 考点: 函数奇偶性的定义与判断
下列函数是奇函数的是（ ）。
  • A．y=cos⁡xy=\cos x
  • 正确答案: B．y=x+x3y=x+x^3
  • C．y=x4y=x^4
  • D．y=xsin⁡xy=x\sin x
查看解析(答案: B)
答案：B f(x)=x+x3f(x)=x+x^3 满足 f(−x)=−f(x)f(-x)=-f(x)，所以是奇函数。因此选 B。
CSCA 2025年12月数学真题 · #9· 考点: 求反函数
函数 y=x3y=x^3 的反函数是（ ）。
  • 正确答案: A．y=x3y=\sqrt[3]{x}
  • B．y=3xy=3^x
  • C．y=x/3y=x/3
  • D．y=x3y=x^3
查看解析(答案: A)
答案：A 由 y=x3y=x^3 得 x=y3x=y^3，解得 y=x3y=\sqrt[3]{x}。因此选 A。
CSCA 2025年12月数学真题 · #10· 考点: 根据解析式直接判断函数的单调性
下列函数中单调递增的是（ ）。
  • A．y=log⁡0.5xy=\log_{0.5}x
  • B．y=(13)xy=\left(\frac{1}{3}\right)^x
  • 正确答案: C．y=2x+1y=2x+1
  • D．y=sin⁡xy=\sin x
查看解析(答案: C)
答案：C y=2x+1y=2x+1 是斜率为正的一次函数，在定义域上单调递增。因此选 C。
CSCA 2025年12月数学真题 · #11· 考点: 判断点所在的象限
下列点位于第三象限的是（ ）。
  • A．(−1,2)(-1,2)
  • B．(1,2)(1,2)
  • C．(1,−2)(1,-2)
  • 正确答案: D．(−1,−2)(-1,-2)
查看解析(答案: D)
答案：D 第三象限点的横坐标和纵坐标均为负，(−1,−2)(-1,-2) 符合。因此选 D。
CSCA 2025年12月数学真题 · #12· 考点: 分式不等式
分式不等式 x−1x−2≤1\frac{x-1}{x-2}\le 1 的解集为（ ）。
  • A．(−∞,1](-\infty,1]
  • B．(2,+∞)(2,+\infty)
  • 正确答案: C．(−∞,2)(-\infty,2)
  • D．[1,2][1,2]
查看解析(答案: C)
答案：C x−1x−2≤1\frac{x-1}{x-2}\le1 等价于 1x−2≤0\frac{1}{x-2}\le0，且 x≠2x\ne2，解得 x<2x<2。因此选 C。
CSCA 2025年12月数学真题 · #13· 考点: 等差中项的应用
已知 a,b,ca,b,c 构成等差数列并且满足 a+c=20a+c=20，则 b=b=（ ）。
  • A．20
  • 正确答案: B．10
  • C．5
  • D．0
查看解析(答案: B)
答案：B 等差数列中间项 b=a+c2=202=10b=\frac{a+c}{2}=\frac{20}{2}=10。因此选 B。
CSCA 2025年12月数学真题 · #14· 考点: 直线的倾斜角
直线 y=3x+10y=\sqrt{3}x+10 的倾角为（ ）。
  • A．45∘45^\circ
  • B．30∘30^\circ
  • C．120∘120^\circ
  • 正确答案: D．60∘60^\circ
查看解析(答案: D)
答案：D 直线斜率 k=3k=\sqrt{3}，倾角 θ\theta 满足 tan⁡θ=3\tan\theta=\sqrt{3}，故 θ=60∘\theta=60^\circ。因此选 D。
CSCA 2025年12月数学真题 · #15· 考点: 比较指数幂的大小
下列不等式正确的是（ ）。
  • A．2.1−2>1.2−22.1^{-2}>1.2^{-2}
  • 正确答案: B．2.13>1.232.1^3>1.2^3
  • C．32.3>333^{2.3}>3^3
  • D．0.75−0.2>0.75−0.40.75^{-0.2}>0.75^{-0.4}
查看解析(答案: B)
答案：B 因为 2.1>1.2>02.1>1.2>0，三次方保持大小关系，故 2.13>1.232.1^3>1.2^3。因此选 B。
CSCA 2025年12月数学真题 · #16· 考点: 由终边或终边上的点求三角函数值
若点 P(1,y)P(1,y) 是角 α\alpha 的终边上的点，并且 tan⁡α=2\tan\alpha=2，则 y=y=（ ）。
  • 正确答案: A．2
  • B．3\sqrt{3}
  • C．12\frac{1}{2}
  • D．1
查看解析(答案: A)
答案：A tan⁡α=y1=2\tan\alpha=\frac{y}{1}=2，所以 y=2y=2。因此选 A。
CSCA 2025年12月数学真题 · #17· 考点: 等差数列通项公式的基本量计算
已知 {an}\{a_n\} 是等差数列，且 a1=1,a2=2a_1=1,a_2=2，则 a2025=a_{2025}=（ ）。
  • A．2024
  • 正确答案: B．2025
  • C．20
  • D．2
查看解析(答案: B)
答案：B d=a2−a1=1d=a_2-a_1=1，a2025=1+2024×1=2025a_{2025}=1+2024\times1=2025。因此选 B。
CSCA 2025年12月数学真题 · #18· 考点: 由圆心（或半径）求圆的方程
圆的圆心坐标是 (−3,2)(-3,2)，半径是 4，则圆的方程是（ ）。
  • 正确答案: A．(x+3)2+(y−2)2=16(x+3)^2+(y-2)^2=16
  • B．(x−3)2+(y+2)2=16(x-3)^2+(y+2)^2=16
  • C．(x−3)2+(y+2)2=4(x-3)^2+(y+2)^2=4
  • D．(x+3)2+(y−2)2=4(x+3)^2+(y-2)^2=4
查看解析(答案: A)
答案：A 圆心为 (−3,2)(-3,2)、半径为 4，方程为 (x+3)2+(y−2)2=16(x+3)^2+(y-2)^2=16。因此选 A。
CSCA 2025年12月数学真题 · #19· 考点: 求平面两点间的距离
点 P(−1,−1)P(-1,-1) 到点 Q(1,1)Q(1,1) 的距离为（ ）。
  • 正确答案: A．222\sqrt{2}
  • B．2
  • C．2\sqrt{2}
  • D．4
查看解析(答案: A)
答案：A 距离为 (1+1)2+(1+1)2=22\sqrt{(1+1)^2+(1+1)^2}=2\sqrt{2}。因此选 A。
CSCA 2025年12月数学真题 · #20· 考点: 直线的点斜式方程及辨析
过点 (1,2)(1,2) 和点 (2,4)(2,4) 的直线方程是（ ）。
  • 正确答案: A．y=2xy=2x
  • B．y=2x+2y=2x+2
  • C．y=x+1y=x+1
  • D．y=x+2y=x+2
查看解析(答案: A)
答案：A 斜率为 4−22−1=2\frac{4-2}{2-1}=2，过 (1,2)(1,2) 得 y=2xy=2x。因此选 A。
CSCA 2025年12月数学真题 · #21· 考点: 由圆的一般方程确定圆心和半径
设圆的方程为 x2+y2+2x−2y=0x^2+y^2+2x-2y=0，则该圆的半径为（ ）。
  • 正确答案: A．2\sqrt{2}
  • B．1
  • C．2
  • D．12\frac{1}{2}
查看解析(答案: A)
答案：A 配方得 (x+1)2+(y−1)2=2(x+1)^2+(y-1)^2=2，半径为 2\sqrt{2}。因此选 A。
CSCA 2025年12月数学真题 · #22· 考点: 特殊角的三角函数值
若 α\alpha 为锐角，且 sin⁡α=32\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}，则 tan⁡α=\tan\alpha=（ ）。
  • A．14\frac{1}{4}
  • 正确答案: B．3\sqrt{3}
  • C．12\frac{1}{2}
  • D．33\frac{\sqrt{3}}{3}
查看解析(答案: B)
答案：B α\alpha 为锐角且 sin⁡α=32\sin\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2}，所以 α=60∘\alpha=60^\circ，tan⁡α=3\tan\alpha=\sqrt{3}。因此选 B。
CSCA 2025年12月数学真题 · #23· 考点: 等比数列通项公式的基本量计算
已知等比数列 {an}\{a_n\} 的前三项为 1、2 和 4，则该数列的通项公式为（ ）。
  • A．an=2na_n=2^n
  • 正确答案: B．an=2n−1a_n=2^{n-1}
  • C．an=8a_n=8
  • D．an=2na_n=2n
查看解析(答案: B)
答案：B 等比数列首项为 1、公比为 2，通项为 an=2n−1a_n=2^{n-1}。因此选 B。
CSCA 2025年12月数学真题 · #24· 考点: 由不等式的性质比较数（式）大小
已知 a>ba>b，则（ ）。
  • 正确答案: A．5a>5b5a>5b
  • B．1a<1b\frac{1}{a}<\frac{1}{b}
  • C．a2>b2a^2>b^2
  • D．sin⁡a>sin⁡b\sin a>\sin b
查看解析(答案: A)
答案：A 不等式两边同乘正数 5，方向不变，得到 5a>5b5a>5b。因此选 A。
CSCA 2025年12月数学真题 · #25· 考点: 求平面两点间的距离
点 P(−1,2)P(-1,2) 到点 Q(3,1)Q(3,1) 的距离是（ ）。
  • A．13\sqrt{13}
  • 正确答案: B．17\sqrt{17}
  • C．5
  • D．5\sqrt{5}
查看解析(答案: B)
答案：B 距离为 (3+1)2+(1−2)2=17\sqrt{(3+1)^2+(1-2)^2}=\sqrt{17}。因此选 B。
CSCA 2025年12月数学真题 · #26· 考点: 判断指数函数的单调性
下列关于函数 y=(12)xy=\left(\frac{1}{2}\right)^x 的描述正确的是（ ）。
  • A．该函数单调递增
  • 正确答案: B．该函数单调递减
  • C．该函数关于原点对称
  • D．该函数关于 xx 轴对称
查看解析(答案: B)
答案：B 指数函数 y=(12)xy=\left(\frac{1}{2}\right)^x 的底数在 (0,1)(0,1) 内，所以单调递减。因此选 B。
CSCA 2025年12月数学真题 · #27· 考点: 二倍角的余弦公式
若 sin⁡α=14\sin\alpha=\frac{1}{4}，则 cos⁡2α=\cos2\alpha=（ ）。
  • A．−78-\frac{7}{8}
  • B．18\frac{1}{8}
  • C．1516\frac{15}{16}
  • 正确答案: D．78\frac{7}{8}
查看解析(答案: D)
答案：D cos⁡2α=1−2sin⁡2α=1−2×116=78\cos2\alpha=1-2\sin^2\alpha=1-2\times\frac{1}{16}=\frac{7}{8}。因此选 D。
CSCA 2025年12月数学真题 · #28· 考点: 求直线交点坐标
直线 l1:y=2x+1l_1:y=2x+1 和直线 l2:x+y+1=0l_2:x+y+1=0 的交点为（ ）。
  • A．(13,23)\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3}\right)
  • B．(−13,−23)\left(-\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)
  • C．(23,−13)\left(\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)
  • 正确答案: D．(−23,−13)\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)
查看解析(答案: D)
答案：D 由 y=2x+1y=2x+1 和 x+y+1=0x+y+1=0 得 3x+2=03x+2=0，故交点为 (−23,−13)\left(-\frac{2}{3},-\frac{1}{3}\right)。因此选 D。
CSCA 2025年12月数学真题 · #29· 考点: 求双曲线的焦点坐标
双曲线 x2−y2=1x^2-y^2=1 的焦点坐标是（ ）。
  • A．(0,±2)(0,\pm\sqrt{2})
  • B．(±2,0)(\pm2,0)
  • 正确答案: C．(±2,0)(\pm\sqrt{2},0)
  • D．(0,±2)(0,\pm2)
查看解析(答案: C)
答案：C 双曲线 x2−y2=1x^2-y^2=1 中 a2=1,b2=1a^2=1,b^2=1，故 c2=2c^2=2，焦点为 (±2,0)(\pm\sqrt{2},0)。因此选 C。
CSCA 2025年12月数学真题 · #30· 考点: 对数的运算
log⁡232+log⁡1232=\log_2 32+\log_{\frac{1}{2}}32=（ ）。
  • 正确答案: A．0
  • B．-5
  • C．5
  • D．10
查看解析(答案: A)
答案：A log⁡232=5\log_2 32=5，log⁡1232=−5\log_{\frac{1}{2}}32=-5，和为 0。因此选 A。
CSCA 2025年12月数学真题 · #31· 考点: 三角函数的图象与性质
关于函数 y=cos⁡xy=\cos x，下列说法正确的是（ ）。
  • A．该函数是一个奇函数
  • 正确答案: B．该函数是一个以 2π2\pi 为周期的函数
  • C．cos⁡(x+π)=cos⁡x\cos(x+\pi)=\cos x
  • D．该函数在区间 [0,π][0,\pi] 上单调递增
查看解析(答案: B)
答案：B y=cos⁡xy=\cos x 的周期为 2π2\pi。因此选 B。
CSCA 2025年12月数学真题 · #32· 考点: 根据抛物线方程求焦点或准线
关于抛物线 y2=4xy^2=4x，下列说法正确的是（ ）。
  • A．对称轴为 x=0x=0
  • B．焦点坐标为 (±1,0)(\pm1,0)
  • 正确答案: C．焦点坐标为 (1,0)(1,0)
  • D．通过点 (−4,4)(-4,4)
查看解析(答案: C)
答案：C y2=4xy^2=4x 即 y2=4pxy^2=4px，得 p=1p=1，焦点为 (1,0)(1,0)。因此选 C。
CSCA 2025年12月数学真题 · #33· 考点: 由斜率判断两条直线垂直
下列直线和直线 l:x+y+3=0l:x+y+3=0 垂直的是（ ）。
  • 正确答案: A．y=x+3y=x+3
  • B．y=−2x+1y=-2x+1
  • C．y=1−xy=1-x
  • D．y=2x+1y=2x+1
查看解析(答案: A)
答案：A 直线 x+y+3=0x+y+3=0 的斜率为 −1-1，与其垂直的直线斜率为 1，y=x+3y=x+3 符合。因此选 A。
CSCA 2025年12月数学真题 · #34· 考点: 半角公式
已知 cos⁡α=−12\cos\alpha=-\frac{1}{2}，α∈(π2,π)\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)，则 sin⁡α2\sin\frac{\alpha}{2} 的值是（ ）。
  • A．−32-\frac{\sqrt{3}}{2}
  • 正确答案: B．32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • C．12\frac{1}{2}
  • D．−12-\frac{1}{2}
查看解析(答案: B)
答案：B α/2∈(π/4,π/2)\alpha/2\in(\pi/4,\pi/2)，sin⁡α2=1−cos⁡α2=32\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}。因此选 B。
CSCA 2025年12月数学真题 · #35· 考点: 用和、差角的余弦公式化简、求值
已知 sin⁡π4=22\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}，sin⁡π6=12\sin\frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}，由公式 cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta 可得 cos⁡π12=\cos\frac{\pi}{12}=（ ）。
  • A．64\frac{\sqrt{6}}{4}
  • B．1+34\frac{1+\sqrt{3}}{4}
  • C．6−24\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}
  • 正确答案: D．6+24\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}
查看解析(答案: D)
答案：D π12=π4−π6\frac{\pi}{12}=\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}，由差角公式得 cos⁡π12=6+24\cos\frac{\pi}{12}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}。因此选 D。
CSCA 2025年12月数学真题 · #36· 考点: 判断两个函数是否相等
下列函数和函数 y=∣x∣y=|x| 相同的是（ ）。
  • 正确答案: A．y=x2y=\sqrt{x^2}
  • B．y=(x)2y=(\sqrt{x})^2
  • C．y=x33y=\sqrt[3]{x^3}
  • D．y=xy=x
查看解析(答案: A)
答案：A 对任意实数 xx，x2=∣x∣\sqrt{x^2}=|x|。因此选 A。
CSCA 2025年12月数学真题 · #37· 考点: 特殊角的三角函数值
若 α\alpha 为锐角，且 cos⁡α=12\cos\alpha=\frac{1}{2}，则 sin⁡α2=\sin\frac{\alpha}{2}=（ ）。
  • A．32\frac{\sqrt{3}}{2}
  • B．±12\pm\frac{1}{2}
  • C．±32\pm\frac{\sqrt{3}}{2}
  • 正确答案: D．12\frac{1}{2}
查看解析(答案: D)
答案：D α\alpha 为锐角且 cos⁡α=12\cos\alpha=\frac{1}{2}，所以 α=60∘\alpha=60^\circ，sin⁡α2=sin⁡30∘=12\sin\frac{\alpha}{2}=\sin30^\circ=\frac{1}{2}。因此选 D。
CSCA 2025年12月数学真题 · #38· 考点: 诱导公式二
关于诱导公式，下列式子错误的是（ ）。
  • 正确答案: A．tan⁡(π+α)=−tan⁡α\tan(\pi+\alpha)=-\tan\alpha
  • B．cos⁡(2π−α)=cos⁡α\cos(2\pi-\alpha)=\cos\alpha
  • C．sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha
  • D．sin⁡(π2−α)=cos⁡α\sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\cos\alpha
查看解析(答案: A)
答案：A tan⁡(π+α)=tan⁡α\tan(\pi+\alpha)=\tan\alpha，不是 −tan⁡α-\tan\alpha。因此选 A。
CSCA 2025年12月数学真题 · #39· 考点: 根据抛物线方程求焦点或准线
抛物线 y2=−xy^2=-x 的准线方程为（ ）。
  • A．x=12x=\frac{1}{2}
  • 正确答案: B．x=14x=\frac{1}{4}
  • C．x=−14x=-\frac{1}{4}
  • D．x=−12x=-\frac{1}{2}
查看解析(答案: B)
答案：B y2=−xy^2=-x 可写为 y2=4pxy^2=4px，得 p=−14p=-\frac{1}{4}，准线为 x=−p=14x=-p=\frac{1}{4}。因此选 B。
CSCA 2025年12月数学真题 · #40· 考点: 求值——同角三角函数基本关系
已知 cos⁡α−sin⁡αcos⁡α+sin⁡α=13\frac{\cos\alpha-\sin\alpha}{\cos\alpha+\sin\alpha}=\frac{1}{3}，则 tan⁡α=\tan\alpha=（ ）。
  • A．14\frac{1}{4}
  • B．13\frac{1}{3}
  • 正确答案: C．12\frac{1}{2}
  • D．23\frac{2}{3}
查看解析(答案: C)
答案：C 令 t=tan⁡αt=\tan\alpha，则 1−t1+t=13\frac{1-t}{1+t}=\frac{1}{3}，解得 t=12t=\frac{1}{2}。因此选 C。
CSCA 2025年12月数学真题 · #41· 考点: 利用等差数列通项公式求数列中的项
数列 {an}\{a_n\} 满足 a1=1a_1=1，an=na_n=n，则 a100=a_{100}=（ ）。
  • A．1
  • B．1100\frac{1}{100}
  • 正确答案: C．100
  • D．50
查看解析(答案: C)
答案：C 已知 an=na_n=n，所以 a100=100a_{100}=100。因此选 C。
CSCA 2025年12月数学真题 · #42· 考点: 研究对数函数的单调性
关于函数 y=log⁡axy=\log_a x（a>0a>0 且 a≠1a\ne1），下面说法正确的是（ ）。
  • 正确答案: A．当 0<a<10<a<1 时，在定义域上是一个单调递减函数
  • B．当 a>1a>1 时，在定义域上是一个单调递减函数
  • C．该函数的定义域为 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty)
  • D．当 a>1a>1 时，对任意 x>0x>0 总有 log⁡ax>1\log_a x>1
查看解析(答案: A)
答案：A 对数函数要求 a>0a>0 且 a≠1a\ne1；当 0<a<10<a<1 时，y=log⁡axy=\log_a x 在定义域 (0,+∞)(0,+\infty) 上单调递减。因此选 A。
CSCA 2025年12月数学真题 · #43· 考点: 根据椭圆方程求 $a 、 b 、 c$
对于椭圆 x24+y220=1\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{20}=1，下面说法正确的是（ ）。
  • A．该椭圆顶点分别是 (±4,0)(\pm4,0) 和 (0,±20)(0,\pm20)
  • B．该椭圆的两个焦点为 (±4,0)(\pm4,0)
  • C．该椭圆长轴和短轴的长度分别是 20 和 4
  • 正确答案: D．该椭圆的两个焦点为 (0,±4)(0,\pm4)
查看解析(答案: D)
答案：D 椭圆中 a2=20,b2=4a^2=20,b^2=4，长轴在 yy 轴上，c2=20−4=16c^2=20-4=16，焦点为 (0,±4)(0,\pm4)。因此选 D。
CSCA 2025年12月数学真题 · #44· 考点: 由两条直线平行求方程
直线 ll 与 l1:x+2y+4=0l_1:x+2y+4=0 平行，并且经过直线 l2:x+y+1=0l_2:x+y+1=0 和 l3:2x+y−1=0l_3:2x+y-1=0 的交点，则 ll 的方程是（ ）。
  • A．x+y−7=0x+y-7=0
  • B．x+y−5=0x+y-5=0
  • C．x−2y−1=0x-2y-1=0
  • 正确答案: D．x+2y+4=0x+2y+4=0
查看解析(答案: D)
答案：D 联立 x+y+1=0x+y+1=0 与 2x+y−1=02x+y-1=0 得交点 (2,−3)(2,-3)。设平行线为 x+2y+c=0x+2y+c=0，代入得 c=4c=4，故为 x+2y+4=0x+2y+4=0。因此选 D。
CSCA 2025年12月数学真题 · #45· 考点: 向量的线性运算的几何应用
坐标原点为 OO，AA 和 BB 是平面上的两个点，点 PP 位于线段 ABAB 的中点，则向量 OP→\overrightarrow{OP} 可以表示为（ ）。
  • A．OB→−OA→\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}
  • B．OA→+OB→\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}
  • 正确答案: C．12(OA→+OB→)\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})
  • D．OA→−OB→\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}
查看解析(答案: C)
答案：C PP 为 ABAB 中点，所以 OP→=12(OA→+OB→)\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})。因此选 C。
CSCA 2025年12月数学真题 · #46· 考点: 复数的乘方
复数 zz 满足 z3=1z^3=1 且 z≠1z\ne1，则 1+z+z2+⋯+z999=1+z+z^2+\cdots+z^{999}=（ ）。
  • A．ii
  • B．1±3i2\frac{1\pm\sqrt{3} i}{2}
  • 正确答案: C．1
  • D．−1±3i2\frac{-1\pm\sqrt{3} i}{2}
查看解析(答案: C)
答案：C 非实根满足 1+z+z2=01+z+z^2=0。从 11 到 z998z^{998} 是 333 个完整周期，余下 z999=1z^{999}=1，总和为 1。因此选 C。
CSCA 2025年12月数学真题 · #47· 考点: 利用等差数列的性质计算
等差数列 {an}\{a_n\} 满足 3(a2+a6)+2(a6+a10+a14)=243(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=24，则前 13 项和 S13=S_{13}=（ ）。
  • A．104
  • B．39
  • C．52
  • 正确答案: D．26
查看解析(答案: D)
答案：D 等差数列中 3(a2+a6)+2(a6+a10+a14)=12a7=243(a_2+a_6)+2(a_6+a_{10}+a_{14})=12a_7=24，故 a7=2a_7=2，S13=13a7=26S_{13}=13a_7=26。因此选 D。
CSCA 2025年12月数学真题 · #48· 考点: 计算古典概型问题的概率
十二生肖又叫属相，是中国用来代表年份的十二种动物，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗和猪。比如在 1985、2009 年出生的人属相是牛。随机选出的三人中至少有两人属相相同的概率是（ ）。
  • A．143144\frac{143}{144}
  • B．5572\frac{55}{72}
  • C．112\frac{1}{12}
  • 正确答案: D．1772\frac{17}{72}
查看解析(答案: D)
答案：D 三人属相全不同的概率为 12⋅11⋅10123=5572\frac{12\cdot11\cdot10}{12^3}=\frac{55}{72}，所求概率为 1−5572=17721-\frac{55}{72}=\frac{17}{72}。因此选 D。

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