概率与统计

Question 1

Question 1: 1．为弘扬＂五四＂精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从 ${ } ^ { N ( 70,64 ) }$ ，据此估计比赛成绩不小于 86 的学生所占的百分比为（） ...

1．为弘扬＂五四＂精神学校举行了一次演讲比赛，经过大数据分析，发现本次演讲比赛的成绩服从 ${ } ^ { N ( 70,64 ) }$ ，据此估计比赛成绩不小于 86 的学生所占的百分比为（）参考数据：$P ( \mu - \sigma < X < \mu + \sigma ) \approx 0.6827 , ~ P ( \mu - 2 \sigma < X < \mu + 2 \sigma ) \approx 0.9545$ ， $P ( \mu - 3 \sigma < X < \mu + 3 \sigma ) \approx 0.9973$

A. A. $0.135 \%$
B. B. $0.27 \%$
C. C. $2.275 \%$
D. D. $3.173 \%$

Answer

Answer: C

Solution: 依题意，$\mu = 70 , \sigma = \sqrt { 64 } = 8$ ，而 $86 = \mu + 2 \sigma$ ，所以测试成绩不小于 86 的学生所占的百分比为： $P ( X \geq 86 ) = P ( X \geq \mu + 2 \sigma ) = \frac { 1 - 0.9545 } { 2 } \times 100 \% = 2.275 \%$

Question 2

Question 2: 2 ．张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中不公平的是（）

2 ．张明与李华两人做游戏，则下列游戏规则中不公平的是（）

A. A. 拋掷一枚质地均匀的骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜
B. B. 同时抛掷两枚质地均匀的硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜
C. C. 从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜
D. D. 张明、李华两人各写一个数字 0 或 1 ，两人写的数字相同则张明获胜，否则李华获胜

Answer

Answer: B

Solution: 解：张明与李华两人做游戏，在 A 中，抛掷一枚骰子，向上的点数为奇数则张明获胜，向上的点数为偶数则李华获胜，则张明获胜与李华获胜的概率都是 $p = \frac { 3 } { 6 } = \frac { 1 } { 2 }$ ，故 A 中的游戏中公平；在 B 中，同时抛郑两枚硬币，恰有一枚正面向上则张明获胜，两枚都正面向上则李华获胜，则张明获胜的概率为 $p _ { 1 } = \frac { 1 } { 2 }$ ，李华获胜的概率都为 $\mathrm { p } _ { 2 } = \frac { 1 } { 4 }$ ，故 B 中的游戏中不公平；在 C 中，从一副不含大小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色的则张明获胜，扑克牌是黑色的则李华获胜，则张明获胜与李华获胜的概率都是 $p = \frac { 26 } { 52 } = \frac { 1 } { 2 }$ ，故 C 中的游戏中公平；在 D 中，张明、李华两人各写一个数字 0 或 1 ，如果两人写的数字相同张明获胜，否则李华获胜．则张明获胜与李华获胜的概率都是 $p = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 }$ ，故 D 中的游戏中公平．

Question 3

Question 3: 3．甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏，每个回合，两人同时随机从自己的纸牌中选一张给对方。游戏开始时，甲手中的两张纸牌数字分别为 1,3 ，乙手中的两张纸牌数字分别为 2 ， 4．则一个回合之后，甲手中的纸...

3．甲、乙两人玩一个传纸牌的游戏，每个回合，两人同时随机从自己的纸牌中选一张给对方。游戏开始时，甲手中的两张纸牌数字分别为 1,3 ，乙手中的两张纸牌数字分别为 2 ， 4．则一个回合之后，甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为（）

A. A. $\frac { 1 } { 2 }$
B. B. $\frac { 1 } { 4 }$
C. C. $\frac { 3 } { 4 }$
D. D. $\frac { 3 } { 8 }$

Answer

Answer: B

Solution: 甲手中的两张纸牌数字用 $\{ 1,3 \}$ 表示，乙手中的两张纸牌数字用 $\{ 2,4 \}$ 表示，一个回合之后，甲、乙两人手中的两张纸牌数字分别为：（1） $\{ 2,3 \} 、 \{ 1,4 \}$ ；（2） $\{ 4,3 \} 、 \{ 21 \}$ ；（3） $\{ 1,2 \} 、 \{ 3,4 \}$ ：（4） $\{ 1,4 \} 、 \{ 2,3 \}$ 共 4 种情况，其中甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和共有一种情况，所以甲手中的纸牌数字之和大于乙手中的纸牌数字之和的概率为 $\frac { 1 } { 4 }$ ，

Question 4

Question 4: 4．利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率。甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为 0.4 ，乙获胜的概率为...

4．利用随机模拟解决问题的方法称为蒙特卡洛方法，用此方法可以快速进行大量重复试验，进而用频率估计概率。甲、乙两名选手进行比赛，采用三局两胜制决出胜负，若每局比赛甲获胜的概率为 0.4 ，乙获胜的概率为 0.6 。利用计算机产生 $1 \sim 5$ 之间的随机整数，约定出现随机数 1 或 2 时表示一局比赛甲获胜，由于要比赛 3 局，所以 3 个随机数为一组，现产生了 20 组随机数如下： $\begin{array} { l l l l l l l l l l l l l l l l l } 354 & 151 & 314 & 432 & 125 & 334 & 541 & 112 & 443 & 534 & 312 & 324 & 252 & 525 & 453 & 114 & 344 \end{array}$ 423 123243，则依此可估计甲选手最终赢得比赛的概率为（）

A. A. 0.40
B. B. 0.35
C. C. 0.30
D. D. 0.25

Answer

Answer: B

Solution: 根据题意，在 20 组随机数中，表示甲获胜的有： $151,125,112,312,252$ ， 114，123，共 7 种情况，所以可估计甲选手最终赢得比赛的概率为 $\frac { 7 } { 20 } = 0.35$ ，

Question 5

Question 5: 5．若随机变量 $X$ 的分布列如右表，则 $X$ 的数学期望 $E ( X )$ 是（） | $X$ | －1 | 0 | 1 | | :--- | :--- | :--- | :--- | |...

5．若随机变量 $X$ 的分布列如右表，则 $X$ 的数学期望 $E ( X )$ 是（） | $X$ | －1 | 0 | 1 | | :--- | :--- | :--- | :--- | | $P$ | $\frac { 1 } { 4 }$ | $\frac { 1 } { 2 }$ | $\frac { 1 } { 4 }$ |

A. A. 0
B. B. $\frac { 1 } { 4 }$
C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
D. D. 1

Answer

Answer: A

Solution: $E ( X ) = - 1 \times \frac { 1 } { 4 } + 0 \times \frac { 1 } { 2 } + 1 \times \frac { 1 } { 4 } = 0$

Question 6

Question 6: 6．某篮球运动员每次投篮未投中的概率为 0.3 ，投中 2 分球的概率为 0.4 ，投中 3 分球的概率为 0.3 ，则该运动员投篮一次得分的数学期望为

6．某篮球运动员每次投篮未投中的概率为 0.3 ，投中 2 分球的概率为 0.4 ，投中 3 分球的概率为 0.3 ，则该运动员投篮一次得分的数学期望为

A. A. 1.5
B. B. 1.6
C. C. 1.7
D. D. 1.8

Answer

Answer: C

Question 7

Question 7: 7．对 $A , B$ 两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中 $A$ 地员工的上班迟到时间为 $X$（单位： $\min ) , \quad X \si...

7．对 $A , B$ 两地国企员工上班迟到情况进行统计，可知两地国企员工的上班迟到时间均符合正态分布，其中 $A$ 地员工的上班迟到时间为 $X$（单位： $\min ) , \quad X \sim N ( 3,4 )$ ，对应的曲线为 $C _ { 1 } , B$ 地员工的上班迟到时间为 $Y$（单位： $\min$ ），$Y \sim N \left( 2 , \frac { 1 } { 9 } \right)$ ，对应的曲线为 $C _ { 2 }$ ，则下列图象正确的是（）

A. A. ![](/images/questions/probability-statistics/image-001.jpg)
B. B. ![](/images/questions/probability-statistics/image-002.jpg)
C. C. ![](/images/questions/probability-statistics/image-003.jpg)
D. D. ![](/images/questions/probability-statistics/image-004.jpg)

Answer

Answer: D

Solution: 由 $X \sim N ( 3,4 )$ 可知 $\mu _ { 1 } = 3 , \sigma _ { 1 } = 2$ ，由 $Y \sim N \left( 2 , \frac { 1 } { 9 } \right)$ 可知 $\mu _ { 2 } = 2 , \sigma _ { 2 } = \frac { 1 } { 3 }$ ，因 ${ } ^ { \mu _ { 1 } > \mu _ { 2 } }$ ，故曲线 ${ } ^ { C _ { 1 } }$ 的对称轴应在曲线 ${ } ^ { C _ { 2 } }$ 的右侧，排除 A，B 两项；又因 ${ } ^ { \sigma _ { 1 } > \sigma _ { 2 } }$ ，故曲线 ${ } ^ { C _ { 1 } }$ 比曲线 ${ } ^ { C _ { 2 } }$＂矮胖＂，总体分布较分散，排除 C 项．

Question 8

Question 8: 8．随机变量 $X$ 与 $Y$ 满足 $Y = 2 X + 1$ ，若 $D ( X ) = 2$ ，则 $D ( Y ) =$

8．随机变量 $X$ 与 $Y$ 满足 $Y = 2 X + 1$ ，若 $D ( X ) = 2$ ，则 $D ( Y ) =$

A. A. 8
B. B. 5
C. C. 4
D. D. 2

Answer

Answer: A

Question 9

Question 9: 9．抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为（1）号和（2）号），事件＂（1）号骰子的点数大于（2）号骰子的点数＂发生的概率为

9．抛掷两枚质地均匀的骰子（标注为（1）号和（2）号），事件＂（1）号骰子的点数大于（2）号骰子的点数＂发生的概率为

A. A. $\frac { 5 } { 12 }$
B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
C. C. $\frac { 5 } { 6 }$
D. D. $\frac { 5 } { 9 }$

Answer

Answer: A

Solution: 抛掷两枚质地均匀的骰子，得到的两颗骰子的点数共有 $6 \times 6 = 36$ 种情形，设（1）号骰子的点数为 $a$ ，（2）号骰子的点数的点数为 $b$ ，而随机事件＂（1）号骰子的点数大于（2）号骰子的点数＂含有的基本事件如下： $( 2,1 ) , ( 3,1 ) , ( 3,2 ) , ( 4,1 ) , ( 4,2 ) , ( 4,3 ) , ( 5,1 ) ( 5,2 ) , ( 5,3 ) , ( 5,4 ) , ( 6,1 ) , ( 6,2 ) , ( 6,3 ) , ( 6,4 ) , ( 6,5 )$ 共 15 种，故所求的概率为 $\frac { 15 } { 36 } = \frac { 5 } { 12 }$ ．

Question 10

Question 10: 10．袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现有放回地随机摸取 3 次，每次摸出一个球．若摸到红球得 2 分，摸到黑球得 1 分，则 3 次摸球所得总分为 5 分的概率是．

10．袋中有大小、形状相同的红球、黑球各一个，现有放回地随机摸取 3 次，每次摸出一个球．若摸到红球得 2 分，摸到黑球得 1 分，则 3 次摸球所得总分为 5 分的概率是．

A. A. $\frac { 1 } { 3 }$
B. B. $\frac { 3 } { 8 }$
C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
D. D. $\frac { 5 } { 8 }$

Answer

Answer: B

Solution: 摸 3 次，基本事件共有 $n = 2 ^ { 3 } = 8$ 种，总分为 5 分的情况是摸到 2 次红球， 1 次黑球，共有 3 种，所以 3 次摸球所得总分为 5 分的概率 $P = \frac { 3 } { 8 }$ ．

Question 11

Question 11: 11．从 5 名男生和 4 名女生中，选两人参加歌唱比赛，恰好选到一男一女的概率是

11．从 5 名男生和 4 名女生中，选两人参加歌唱比赛，恰好选到一男一女的概率是

A. A. $\frac { 4 } { 9 }$
B. B. $\frac { 5 } { 9 }$
C. C. $\frac { 6 } { 9 }$
D. D. $\frac { 7 } { 9 }$

Answer

Answer: B

Question 12

Question 12: 12．一个笼子里有 3 只白兔， 2 只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是

12．一个笼子里有 3 只白兔， 2 只灰兔，现让它们一一跑出笼子，假设每一只跑出笼子的概率相同，则先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的概率是

A. A. $\frac { 3 } { 5 }$
B. B. $\frac { 4 } { 5 }$
C. C. $\frac { 2 } { 3 }$
D. D. $\frac { 3 } { 4 }$

Answer

Answer: A

Solution: 设 ${ } ^ { 3 }$ 只白兔为 ${ } ^ { a _ { 1 } , a _ { 2 } , a _ { 3 } } , 2$ 只灰兔为 ${ } ^ { b _ { 1 } , b _ { 2 } }$ ，则所有基本事件为： $\left( a _ { 1 } , a _ { 2 } \right) , \left( a _ { 1 } , a _ { 3 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 2 } , a _ { 3 } \right) , \left( a _ { 2 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 2 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 3 } , b _ { 1 } \right)$ ， $\left( a _ { 3 } , b _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } \right)$ ，共有 ${ } ^ { 10 }$ 个，其中先跑出笼子的两只兔子中一只是白兔，另一只是灰兔的有： $\left( a _ { 1 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 2 } , b _ { 1 } \right)$ ， $\left( a _ { 2 } , b _ { 2 } \right) \left( a _ { 3 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 3 } , b _ { 2 } \right)$, 共 6 个，所以所求事件的概率为：$\frac { 6 } { 10 } = \frac { 3 } { 5 }$ ．

Question 13

Question 13: 13．抛掷一枚质地均匀的硬币 $n$ 次，记事件 $A =$＂$n$ 次中既有正面朝上又有反面朝上＂，事件 $B =$＂$n$ 次中至多有一次正面朝上＂，则

13．抛掷一枚质地均匀的硬币 $n$ 次，记事件 $A =$＂$n$ 次中既有正面朝上又有反面朝上＂，事件 $B =$＂$n$ 次中至多有一次正面朝上＂，则

A. A. 当 $n = 2$ 时，$P ( A \bar { B } ) = \frac { 1 } { 2 }$
B. B. 当 $n = 2 ^ { \text {时，事件 } } { } _ { A }$ 与事件 ${ } _ { B }$ 独立
C. C. 当 $n = 3$ 时，$P ( A + B ) = \frac { 7 } { 8 }$
D. D. 当 $n = 3 ^ { \text {时，事件 } } { } _ { A }$ 与事件 ${ } _ { B }$ 互斥

Answer

Answer: C

Solution: 当 ${ } ^ { n = 2 }$ 时，样本空间 ${ } ^ { \Omega _ { 2 } } = \{$（正正），（正反），（反正），（反反）$\} , A = \{$（正反），（反正）$\}$ ， $B = \left\{ \right.$（正反），（反正），（反反）${ } ^ { \} }$，对于 $\mathrm { A } , ~ \bar { B }$ 是 2 次正面都朝上，$A \bar { B }$ 是不可能事件，$P ( A \bar { B } ) = 0$ ， A 错误；对于 B，$P ( A ) = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } , P ( B ) = \frac { 3 } { 4 }$ ，则 $P ( A B ) = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 } \neq P ( A ) P ( B )$ ，B 错误；当 ${ } ^ { n = 3 }$ 时，样本空间 ${ } ^ { \Omega _ { 3 } } = \{$（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）${ } ^ { \text {S } }$ ， $A = \left\{ \right.$（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正）${ } ^ { \} }$, $B = \left\{ \begin{array} { l } \text {（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）} \\ \text { } \} , \\ \text { ，} \end{array} \right.$ 对于 C，$P ( \overline { A + B } ) = \frac { 1 } { 8 }$ ，则 $P ( A + B ) = 1 - P ( \overline { A + B } ) = \frac { 7 } { 8 }$ ，C 正确；对于 D ，事件 $A$ 与事件 $B$ 可以同时发生， D 错误。

Question 14

Question 14: 14．从一副不含大、小王的 52 张扑克牌中不放回地抽取 3 次，每次抽 1 张．若前两次抽到 $K$ ，则第三次抽到 $A$ 的概率为．

14．从一副不含大、小王的 52 张扑克牌中不放回地抽取 3 次，每次抽 1 张．若前两次抽到 $K$ ，则第三次抽到 $A$ 的概率为．

A. A. $\frac { 1 } { 25 }$
B. B. $\frac { 2 } { 25 }$
C. C. $\frac { 3 } { 25 }$
D. D. $\frac { 3 } { 50 }$

Answer

Answer: B

Question 15

Question 15: 15．从1，2，3，4这四个数中依次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为．

15．从1，2，3，4这四个数中依次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为．

A. A. $\frac { 1 } { 6 }$
B. B. $\frac { 1 } { 3 }$
C. C. $\frac { 1 } { 9 }$
D. D. $\frac { 1 } { 2 }$

Answer

Answer: B

Solution: 从 $1,2,3,4$ 这四个数中一次随机地取两个数，可有 ${ } ^ { C _ { 4 } ^ { 2 } }$ 种方法，其中一个数是另一个数的两倍的只有1，2；2，4。两种选法。所以其中一个数是另一个数的两倍的概率为 $\frac { 2 } { 6 } = \frac { 1 } { 3 }$ ．

Question 16

Question 16: 16．下列说法正确的为

16．下列说法正确的为

A. A. 某高中为了解在校学生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校三个年级的学生中抽取一个容量为 60 的样本．已知该校高一、高二、高三年级学生数之比为 $5 : 4 : 3$ ，则应从高三年级中抽取 14 名学生
B. B. 10 件产品中有 8 件正品， 2 件次品，若从这 10 件产品中任取 2 件，则恰好取到 1 件次品的概率为 $\frac { 1 } { 3 }$
C. C. 若随机变量 $X$ 服从正态分布 ${ } ^ { N \left( 2 , \sigma ^ { 2 } \right) } , P ( X < 5 ) = 0.86$ ，则 $P ( X \leq - 1 ) = 0.14$
D. D. 设某校男生体重 ${ } ^ { y }$（单位： kg ）与身高 $x$（单位： cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据 $\left( x _ { i } , y _ { i } \right) ( i = 1,2 , \cdots , n )$ ，用最小二乘法建立的回归方程为 $\hat { y } = 0.85 x - 82$ ，若该校某男生的身高为 170 cm ，则可断定其体重为 62.5 kg

Answer

Answer: C

Solution: 对于 A．应从高三年级中抽取 $60 \times \frac { 3 } { 12 } = 15$ 名学生，A 错误；对于 B．所求概率 $P = \frac { C _ { 8 } ^ { 1 } C _ { 2 } ^ { 1 } } { C _ { 10 } ^ { 2 } } = \frac { 16 } { 45 } , \mathrm {~B}$ 错误；对于 C，$P ( X \geq 5 ) = 1 - 0.86 = 0.14$ ，所以 $P ( X \leq - 1 ) = P ( X \geq 5 ) = 0.14$ ，C 正确；对于 D，用回归方程计算得到是估计值，故不能断定其体重为 62.5 kg ，D错误。

Question 17

Question 17: 17．随机变量 $X \sim B ( n , p )$ ，若 $E ( X ) = 1 , D ( X ) = \frac { 3 } { 4 }$ ，则 $P ( X = 3 ) =$

17．随机变量 $X \sim B ( n , p )$ ，若 $E ( X ) = 1 , D ( X ) = \frac { 3 } { 4 }$ ，则 $P ( X = 3 ) =$

A. A. $\frac { 1 } { 16 }$
B. B. $\frac { 3 } { 64 }$
C. C. $\frac { 1 } { 64 }$
D. D. $\frac { 3 } { 256 }$

Answer

Answer: B

Solution: 因为 $X \sim B ( n , p )$ ，所以 $E ( X ) = n p = 1 , D ( X ) = n p ( 1 - p ) = \frac { 3 } { 4 }$ ，解得 $p = \frac { 1 } { 4 } , n = 4$ ，所以 $P ( X = 3 ) = \mathrm { C } _ { 4 } ^ { 3 } \left( \frac { 1 } { 4 } \right) ^ { 3 } \left( \frac { 3 } { 4 } \right) ^ { 1 } = \frac { 3 } { 64 }$ ．

Question 18

Question 18: 18．在一个不透明的袋中装有 2 个红球和 3 个白球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸出 2 个球，则摸出的球都是白球的概率是

18．在一个不透明的袋中装有 2 个红球和 3 个白球，它们除了颜色外都相同，从中随机摸出 2 个球，则摸出的球都是白球的概率是

A. A. $\frac { 3 } { 10 }$
B. B. $\frac { 1 } { 10 }$
C. C. $\frac { 1 } { 5 }$
D. D. $\frac { 2 } { 5 }$

Answer

Answer: A

Solution: 将 2 个红球分别记为 $a 、 b$ ， 3 个白球分别记为 $A 、 B 、 C$ ，从中随机摸出 2 个球，所有的基本事件为：$a b 、 a A 、 a B 、 a C 、 b A 、 b B 、 b C 、 A B 、 A C 、 B C$ ，共 10 种，其中，事件＂随机摸出 2 个球都是白球＂所包含的基本事件有：$A B 、 A C 、 B C$ ，共 3 种，因此，所求事件的概率为 $P = \frac { 3 } { 10 }$ ．

Question 19

Question 19: 19．下课以后，教室里还剩下 2 位女同学和 1 位男同学，若他们依次走出教室，则第 2 位走出的是男同学的概率是

19．下课以后，教室里还剩下 2 位女同学和 1 位男同学，若他们依次走出教室，则第 2 位走出的是男同学的概率是

A. A. $\frac { 1 } { 6 }$
B. B. $\frac { 1 } { 5 }$
C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
D. D. $\frac { 1 } { 3 }$

Answer

Answer: D

Solution: ${ } ^ { 2 }$ 位女同学分别记为 ${ } ^ { a } 、 b$ ， $1 _ { \text {位男同学记为 } } { } ^ { A }$ ，所有的基本事件有：${ } ^ { ( a , b , A ) }$ ， $( a , A , b ) , ( A , a , b ) , ( A , b , a ) , ( b , a , A ) , ( b , A , a ) , { } ^ { \text {共 } } { } ^ { 6 }$ 种，事件＂第2位走出的是男同学＂所包含的基本事件有： $( a , A , b ) , ~ ( b , A , a )$ ，共 2 种，因此，所求事件的概率为 $P = \frac { 2 } { 6 } = \frac { 1 } { 3 }$ ．

Question 20

Question 20: 20．下列关于随机变量 $X$ 的说法正确的是（）。用 $X$ 表示事件 $A$ 发生的次数，则 $X$ 的分布列为 $P ( X = k ) = p ^ { k } ( 1 - p ) ^ ...

20．下列关于随机变量 $X$ 的说法正确的是（）。用 $X$ 表示事件 $A$ 发生的次数，则 $X$ 的分布列为 $P ( X = k ) = p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , ~ k = 0,1,2 , \mathrm {~L} , n$ 回），用 $X$ 表示抽取的 $n$ 件产品中的次品数，则 $X$ 的分布列为 $P ( X = k ) = \frac { \mathrm { C } _ { M } ^ { k } \mathrm { C } _ { N - M } ^ { n - k } } { \mathrm { C } _ { N } ^ { n } }$ ， $k = m , m + 1 , m + 2 , \cdots , r$ ，其中 $n , N , M \in \mathrm {~N} ^ { * } , M \leq N , n \leq N \quad , m = \max \{ 0 , n + M - N \}$ ， $r = \min \{ n , M \}$ $E ( X ) = n p$ $A$ 首次成功所需要的实验次数，则 $P ( X = k ) = \mathrm { C } _ { n } ^ { k } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , k = 1,2 , \cdots , n$

A. A. 一般地，在 ${ } ^ { n }$ 重伯努利试验中，设每次试验中事件 $A$ 发生的概率为 $p ( 0 < p < 1 )$ ，
B. B. 假设一批产品共有 $N$ 件，其中有 $M$ 件次品，从 $N$ 件产品中随机抽取 $n$ 件（不放
C. C. 若随机变量 $X$ 的分布列为 $P ( X = 2 k ) = \mathrm { C } _ { n } ^ { k } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , k = 0,1,2 , \mathrm {~L} , n$ ，则
D. D. 若 ${ } ^ { n }$ 重伯努利试验，设每次实验事件 $A$ 发生的概率为 $p ( 0 < p < 1 )$ ，用 $X$ 表示事件

Answer

Answer: B

Solution: 对于 A，$P ( X = k ) = \mathrm { C } _ { n } ^ { k } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , k = 0,1,2 , \mathrm {~L} , n$ ，故 A 错；对于 B，根据超几何分布的定义，故 B 正确；对于 C，设 $Y = k$ ，则 $P ( Y ) = \mathrm { C } _ { n } ^ { k } p ^ { k } ( 1 - p ) ^ { n - k } , ~ k = 0,1,2 , \mathrm {~L} , n$ ，又 $X = 2 Y$ ，所以 $E ( X ) = E ( 2 Y ) = 2 E ( Y ) = 2 n p$ ，故 C 错；对于 D，由定义知 $P ( X = k ) = ( 1 - p ) ^ { k - 1 } p$ ，故 D 错误；

Question 21

Question 21: 21 ．若随机变量 $\xi _ { \text {满足 } } E ( 1 - \xi ) = 4 , D ( 1 - \xi ) = 4$ ．则下列说法正确的是（）

21 ．若随机变量 $\xi _ { \text {满足 } } E ( 1 - \xi ) = 4 , D ( 1 - \xi ) = 4$ ．则下列说法正确的是（）

A. A. $E ( \xi ) = - 4 , D ( \xi ) = 4$
B. B. $E ( \xi ) = - 3 , D ( \xi ) = 3$
C. C. $E ( \xi ) = - 4 , D ( \xi ) = - 4$
D. D. $E ( \xi ) = - 3 , D ( \xi ) = 4$

Answer

Answer: D

Solution: 随机变量 $\xi _ { \text {满足 } } E ( 1 - \xi ) = 4 , D ( 1 - \xi ) = 4$ ，则 $1 - E ( \xi ) = 4 , ( - 1 ) ^ { 2 } D ( \xi ) = 4$ ，据此可得 $E ( \xi ) = - 3 , D ( \xi ) = 4$ 。

Question 22

Question 22: 22 ．中国文字博物馆荟萃历代中国文字样本精华，用详尽的资料向世界展示了中华民族一脉相承的文字和辉煌灿烂的文明。该博物馆馆藏的重要藏品主要分为铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器共九...

22 ．中国文字博物馆荟萃历代中国文字样本精华，用详尽的资料向世界展示了中华民族一脉相承的文字和辉煌灿烂的文明。该博物馆馆藏的重要藏品主要分为铜器、碑碣、钱币、陶器、玉石器、甲骨、竹木、纸质、瓷器共九类。小明去中国文字博物馆参观，并任意选取了三类重要藏品重点参观，则小明在碑碣、甲骨、瓷器三类中至少参观了一类的概率为（）

A. A. $\frac { 6 } { 7 }$
B. B. $\frac { 16 } { 21 }$
C. C. $\frac { 5 } { 7 }$
D. D. $\frac { 2 } { 3 }$

Answer

Answer: B

Solution: 解： 9 类藏品中选取 3 类藏品共有 $C _ { 9 } ^ { 3 } = 84$ 种不同情况，碑碣、甲骨、瓷器三类都不选有 $C _ { 6 } ^ { 3 } = 20$ 种不同情况，则所求概率为 $P = \frac { 84 - 20 } { 84 } = \frac { 16 } { 21 }$ ．

Question 23

Question 23: 23．已知某抽奖活动的中奖率为 $\frac { 1 } { 2 }$ ，每次抽奖互不影响．构造数列 $\left\{ c _ { n } \right\}$ ，使得 $c _ { n } = \le...

23．已知某抽奖活动的中奖率为 $\frac { 1 } { 2 }$ ，每次抽奖互不影响．构造数列 $\left\{ c _ { n } \right\}$ ，使得 $c _ { n } = \left\{ \begin{array} { l } 1 , \text { 第 } n \text { 次中奖，} \\ - 1 , \text { 第 } n \text { 次未中奖 } \end{array} \right.$ ，记 $S _ { n } = c _ { 1 } + c _ { 2 } + \cdots + c _ { n } \left( n \in \mathbf { N } ^ { * } \right)$ ，则 $\left| S _ { 5 } \right| = 1$ 的概率为（）

A. A. $\frac { 5 } { 8 }$
B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
C. C. $\frac { 5 } { 16 }$
D. D. $\frac { 3 } { 4 }$

Answer

Answer: A

Solution: 由 $\left| S _ { 5 } \right| = 1$ ，可得 $S _ { 5 } = \pm 1$ ，抽奖 5 次，出现 3 次中奖 2 次未中奖或 2 次中奖 3 次未中奖，故 $\left| S _ { 5 } \right| = 1 _ { \text {的概率为 } } P = \frac { \mathrm { C } _ { 5 } ^ { 3 } + \mathrm { C } _ { 5 } ^ { 2 } } { 2 ^ { 5 } } = \frac { 5 } { 8 }$ 。

Question 24

Question 24: 24．已知随机变量 $\xi$ 满足 $P ( \xi = 0 ) = 1 - p , P ( \xi = 1 ) = p$ ，且 $0 < p < \frac { 1 } { 2 }$ 。令随机变量...

24．已知随机变量 $\xi$ 满足 $P ( \xi = 0 ) = 1 - p , P ( \xi = 1 ) = p$ ，且 $0 < p < \frac { 1 } { 2 }$ 。令随机变量 $\eta = \xi - E ( \xi ) \mid$ ，则

A. A. $E ( \eta ) < E ( \xi )$
B. B. $E ( \eta ) > E ( \xi )$
C. C. $E ( \eta ) = E ( \xi )$
D. D. ${ } ^ { E ( \eta ) }$ 和 $^ { E ( \xi ) }$ 大小不确定

Answer

Answer: B

Solution: 由题意，$E ( \xi ) = 0 \cdot P ( \xi = 0 ) + 1 \cdot P ( \xi = 1 ) = 0 \times ( 1 - p ) + 1 \times p = p$ ，由 ${ } ^ { \eta = | \xi - E ( \xi ) | }$ ，当 ${ } ^ { \xi = 0 }$ 时，$\eta = p$ ；当 ${ } ^ { \xi = 1 }$ 时，$\eta = 1 - p$ 。所以 $P ( \eta = p ) = 1 - p , ~ P ( \eta = 1 - p ) = p$ ， $E ( \eta ) = p \cdot P ( \eta = p ) + ( 1 - p ) \cdot P ( \eta = 1 - p ) = 2 p ( 1 - p )$, $E ( \xi ) - E ( \eta ) = p ( 2 p - 1 )$ ，由 $0 < p < \frac { 1 } { 2 }$ ，则 $p ( 2 p - 1 ) < 0$ ，所以 ${ } ^ { E ( \xi ) < E ( \eta ) }$ ．

Question 25

Question 25: 25．若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N \left( 2 , \sigma ^ { 2 } \right)$ ，且 $2 P ( X \geq 3 ) = P ( 1 \leq x \leq 2...

25．若随机变量 $X$ 服从正态分布 $N \left( 2 , \sigma ^ { 2 } \right)$ ，且 $2 P ( X \geq 3 ) = P ( 1 \leq x \leq 2 ) , P ( X < 3 ) =$

A. A. $\frac { 1 } { 3 }$
B. B. $\frac { 5 } { 6 }$
C. C. $\frac { 1 } { 6 }$
D. D. $\frac { 2 } { 3 }$

Answer

Answer: B

Solution: 设 $P ( X \geq 3 ) = x$ ，则 $P ( 1 \leq X \leq 2 ) = 2 x$ ，根据对称性，$P ( 2 \leq X \leq 3 ) = 2 x$ ，则 $P ( X \geq 2 ) = 3 x = 0.5$ ，即 $P ( X \geq 3 ) = \frac { 1 } { 6 }$ ，故 $P ( X < 3 ) = \frac { 5 } { 6 }$

Question 26

Question 26: 26．从三对夫妇中随机抽选 2 人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为

26．从三对夫妇中随机抽选 2 人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为

A. A. $\frac { 1 } { 6 }$
B. B. $\frac { 1 } { 5 }$
C. C. $\frac { 1 } { 4 }$
D. D. $\frac { 1 } { 3 }$

Answer

Answer: B

Solution: 解：设 $\left( a _ { 1 } , a _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( c _ { 1 } , c _ { 2 } \right)$ 分别表示三对夫妇，从中随机抽选 2 人参加采访活动的情况有： $\left( a _ { 1 } , a _ { 2 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 1 } , c _ { 1 } \right) , \left( a _ { 1 } , c _ { 2 } \right)$ ， $\left( a _ { 2 } , b _ { 1 } \right) , \left( a _ { 2 } , b _ { 2 } \right) , \left( a _ { 2 } , c _ { 1 } \right) , \left( a _ { 2 } , c _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , c _ { 1 } \right) , \left( b _ { 1 } , c _ { 2 } \right) , \left( b _ { 2 } , c _ { 1 } \right) , \left( b _ { 2 } , c _ { 2 } \right) , \left( c _ { 1 } , c _ { 2 } \right)$ ，共15种；其中，恰好抽到一对夫妇的概率为 $\left( a _ { 1 } , a _ { 2 } \right) , \left( b _ { 1 } , b _ { 2 } \right) , \left( c _ { 1 } , c _ { 2 } \right)$ ，共 3 种，所以，恰好抽到一对夫妇的概率为 $P = \frac { 3 } { 15 } = \frac { 1 } { 5 }$ ．

Question 27

Question 27: 27．一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，往前跳两格，若反面朝上，往前跳一格．记跳到第 $n$ 格可能有 $a _ { n }$ 种情况， $\left\{ a _ { n }...

27．一小孩玩抛硬币跳格子游戏，规则如下：抛一枚硬币，若正面朝上，往前跳两格，若反面朝上，往前跳一格．记跳到第 $n$ 格可能有 $a _ { n }$ 种情况， $\left\{ a _ { n } \right\}$ 的前 $n$ 项和为 $S _ { n }$ ，则 $S _ { 8 } =$

A. A. 56
B. B. 68
C. C. 87
D. D. 95

Answer

Answer: C

Solution: 记正面朝上为 $A$ ，反面朝上记为 $B$ ，则由题意得：当跳到第1格时，只有 $B$ ，故只有 1 种情况，所以 ${ } ^ { a _ { 1 } = 1 }$ ；当跳到第 2 格时，有 $A , B B$ ，故有 2 种情况，所以 $a _ { 2 } = 2$ ；当跳到第3格时，有 $A B , B A , B B B$ ，故有 3 种情况，所以 ${ } ^ { a _ { 3 } = 3 = a _ { 2 } + a _ { 1 } }$ ；当跳到第4格时，有 $A A , A B B , B A B , B B A , B B B B$ ，故有 5 种情况，所以 $a _ { 4 } = 5 = a _ { 3 } + a _ { 2 }$ ；当跳到第 5 格时，有 $A A B , A B A , B A A , A B B B , B A B B , B B A B , B B B A , B B B B B$ 故有 8 种情况，所以 $a _ { 5 } = 8 = a _ { 4 } + a _ { 3 }$ ；当跳到第 6 格时，有 $A A A , A A B B , A B A B , A B B A , B A B A , B A A B$ ， $B B A A , A B B B B , B A B B B , B B A B B , B B B A B , B B B B A , B B B B B B$ 故有 13 种情况，所以 ${ } ^ { a _ { 6 } = 13 = a _ { 5 } + a _ { 4 } }$ ；由此规律得 $a _ { n } = a _ { n - 1 } + a _ { n - 2 } \left( n > 2 , n \in \mathrm {~N} ^ { * } \right)$ ，所以当跳到第 7 格时，$a _ { 7 } = a _ { 6 } + a _ { 5 } = 21$ ，当跳到第 8 格时，$a _ { 8 } = a _ { 7 } + a _ { 6 } = 34$ ，所以 $S _ { 8 } = a _ { 1 } + a _ { 2 } + a _ { 3 } + a _ { 4 } + a _ { 5 } + a _ { 6 } + a _ { 7 } + a _ { 8 }$ $= 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 = 87$ ，

Question 28

Question 28: 28 ．书籍是人类进步的阶梯，数学名著更是如此，《九章算术》《孙子算经》《周髀算经》《海岛算经》是我国古代数学领域影响深远的四部著作，而《几何原本》《阿基米德全集》《圆锥曲线论》被称为＂古希腊三大数...

28 ．书籍是人类进步的阶梯，数学名著更是如此，《九章算术》《孙子算经》《周髀算经》《海岛算经》是我国古代数学领域影响深远的四部著作，而《几何原本》《阿基米德全集》《圆锥曲线论》被称为＂古希腊三大数学书＂，代表了文艺复兴之前欧洲数学的最高成就，这些著作对后世的数学发展有着深远而广泛的影响．现从这七本名著中任选三本，则至少两本是中国数学名著的概率为

A. A. $\frac { 1 } { 7 }$
B. B. $\frac { 18 } { 35 }$
C. C. $\frac { 22 } { 35 }$
D. D. $\frac { 4 } { 15 }$

Answer

Answer: C

Solution: 从七本名著中任选三本的所有情况有 $\mathrm { C } _ { 7 } ^ { 3 } = 35$（种），至少两本是中国数学名著的情况有 $\mathrm { C } _ { 4 } ^ { 3 } + \mathrm { C } _ { 4 } ^ { 2 } \mathrm { C } _ { 3 } ^ { 1 } = 22$（种），所以从这七本名著中任选三本，至少两本是中国数学名著的概率为 ${ } _ { P } , P = \frac { 22 } { 35 }$ ．

Question 29

Question 29: 29．现有甲、乙、丙、丁、戊 5 种课外阅读书籍，某学校要从中随机选取 2 种作为学生寒假阅读，则其中甲、乙至少有 1 种被选取的概率为

29．现有甲、乙、丙、丁、戊 5 种课外阅读书籍，某学校要从中随机选取 2 种作为学生寒假阅读，则其中甲、乙至少有 1 种被选取的概率为

A. A. $\frac { 3 } { 10 }$
B. B. $\frac { 1 } { 2 }$
C. C. $\frac { 7 } { 10 }$
D. D. $\frac { 9 } { 10 }$

Answer

Answer: C

Solution: 设事件 $A$ ：甲、乙至少有 1 种被选取，因此事件 $\bar { A }$ 为：甲、乙都没有被选取，因为 $P ( \bar { A } ) = \frac { C _ { 3 } ^ { 2 } } { C _ { 5 } ^ { 2 } } = \frac { 3 } { 10 }$ ，所以 $P ( A ) = 1 - P ( \bar { A } ) = 1 - \frac { 3 } { 10 } = \frac { 7 } { 10 }$ ，

Question 30

Question 30: 30．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率 $\pi$ 的精确度上，首次将＂$\pi$＂精确到小数点后第七位...

30．祖冲之是我国南北朝时期杰出的数学家、天文学家．他一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面，特别是在探索圆周率 $\pi$ 的精确度上，首次将＂$\pi$＂精确到小数点后第七位，即 $\pi = 3.1415926$ ，在此基础上，我们从＂圆周率＂第三到第八位有效数字中随机取两个数字 $a , ~ b$ ，则事件＂ $| a - b | \leq 3$＂的概率为

A. A. $\frac { 1 } { 3 }$
B. B. $\frac { 8 } { 15 }$
C. C. $\frac { 2 } { 3 }$
D. D. $\frac { 7 } { 15 }$

Answer

Answer: B

Question 31

Question 31: 31．现有甲班 $A , B , C$ 三名学生，乙班 $D , E$ 两名学生，从这 5 名学生中选 2 名学生参加某项活动，则选取的 2 名学生来自不同班级的概率是

31．现有甲班 $A , B , C$ 三名学生，乙班 $D , E$ 两名学生，从这 5 名学生中选 2 名学生参加某项活动，则选取的 2 名学生来自不同班级的概率是

A. A. $\frac { 1 } { 5 }$
B. B. $\frac { 3 } { 10 }$
C. C. $\frac { 2 } { 5 }$
D. D. $\frac { 3 } { 5 }$

Answer

Answer: D

Solution: 解：从这 5 名学生中选 2 名学生参加某项活动，基本事件总数 $n = C _ { 5 } ^ { 2 } = 10$ ，抽到 2 名学生来自同一班级包含的基本事件个数 $m = C _ { 3 } ^ { 2 } + C _ { 2 } ^ { 2 } = 4$ ， $\therefore$ 抽到 2 名学生来自不同班级的概率是 $P = 1 - \frac { m } { n } = 1 - \frac { 4 } { 10 } = \frac { 3 } { 5 }$ ．

Question 32

Question 32: 33．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称＂档＂，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨...

33．算盘是中国传统的计算工具，其形长方，周为木框，内贯直柱，俗称＂档＂，档中横以梁，梁上两珠，每珠作数五，梁下五珠，每珠作数一，算珠梁上部分叫上珠，梁下部分叫下珠，例如，在百位档拨一颗下珠，十位档拨一颗上珠和两颗下珠，则表示数字 170 ，若在个、十、百、千位档中，先随机选择一档拨一颗上珠，再随机选择两个档位各拨一颗下珠，则所拨数字大于 500 的概率为（）千百十个位位位位 ![](/images/questions/probability-statistics/image-001.jpg)

A. A. $\frac { 1 } { 2 }$
B. B. $\frac { 2 } { 3 }$
C. C. $\frac { 1 } { 4 }$
D. D. $\frac { 3 } { 4 }$

Answer

Answer: D

Solution: 依题意得所拨数字共有 $\mathrm { C } _ { 4 } ^ { 1 } \mathrm { C } _ { 4 } ^ { 2 } = 24$ 种可能，即样本空间中共含 ${ } ^ { 24 }$ 个样本点，要使所拨数字大于 500 ，则：（1）上珠拨的是千位档或百位档，则所拨数字一定大于 ${ } ^ { 500 }$ ，有 $C _ { 2 } ^ { 1 } C _ { 4 } ^ { 2 } = 12$ 种；（2）上珠拨是十位档或个位档，则再随机选择两个档位必有千位档，有 $\mathrm { C } _ { 2 } ^ { 1 } \mathrm { C } _ { 3 } ^ { 1 } = 6$ 种，则所拨数字大于 1000 的概率为 $\frac { 12 + 6 } { 24 } = \frac { 3 } { 4 }$ ．

Question 33

Question 33: 34．某校高三年级有男生 410 人，学号为 $001,002 , ~ \mathrm {~L} , ~ 410$ ；女生 290 人，学号为 411 ， 412 ，L ， 700 ．对高三学生进行问...

34．某校高三年级有男生 410 人，学号为 $001,002 , ~ \mathrm {~L} , ~ 410$ ；女生 290 人，学号为 411 ， 412 ，L ， 700 ．对高三学生进行问卷调查，按学号采用系统抽样的方法，从这 700 名学生中抽取 10 人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为 030 ）；再从这 10 名学生中随机抽取 3 人进行数据分析，则这 3 人中既有男生又有女生的概率是

A. A. $\frac { 1 } { 5 }$
B. B. $\frac { 3 } { 10 }$
C. C. $\frac { 7 } { 10 }$
D. D. $\frac { 4 } { 5 }$

Answer

Answer: D

Question 34

Question 34: 35．在人教社数学 A 版必修一的主编寄语中，＂学数学趁年轻＂这句话打动了江夏实验高中学子的心，若将这 6 个字任意排列，恰好组成＂趁年轻学数学＂的概率为

35．在人教社数学 A 版必修一的主编寄语中，＂学数学趁年轻＂这句话打动了江夏实验高中学子的心，若将这 6 个字任意排列，恰好组成＂趁年轻学数学＂的概率为

A. A. $\frac { 1 } { 6 \times 5 \times 4 \times 3 }$
B. B. $\frac { 1 } { 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 }$
C. C. $\frac { 1 } { 6 ^ { 4 } }$
D. D. $\frac { 2 } { 6 ^ { 6 } }$

Answer

Answer: A

Solution: 将＂学数学趁年轻＂中 6 个字排列时相当于从 6 个位置中选 4 个先排＂数趁年轻＂这四个字，然后剩余的 2 个位置排＂学＂字，两个＂学＂字排法只有一种，则共有 $\mathrm { C } _ { 6 } ^ { 4 } \mathrm {~A} ^ { 4 }$ 种排法，其中恰好组成＂趁年轻学数学＂的排法只有一种，故恰好组成＂趁年轻学数学＂的概率为 $\frac { 1 } { \mathrm { C } _ { 6 } ^ { 4 } \mathrm {~A} _ { 4 } ^ { 4 } } = \frac { 1 } { 6 \times 5 \times 4 \times 3 }$ ，

Question 35

Question 35: 36．有一个盒子里有 1 个红球，现将 ${ } ^ { n } \left( n \in N ^ { * } \right)$ 个黑球放入盒子后，再从盒子里随机取一球，记取到的红球个数为 ${ } ...

36．有一个盒子里有 1 个红球，现将 ${ } ^ { n } \left( n \in N ^ { * } \right)$ 个黑球放入盒子后，再从盒子里随机取一球，记取到的红球个数为 ${ } ^ { \xi }$ 个，则随着 ${ } ^ { n } \left( n \in N ^ { * } \right)$ 的增加，下列说法正确的是

A. A. $E ( \xi ) _ { \text {减小 } } , D ( \xi ) _ { \text {增加 } }$
B. B. $E ( \xi ) _ { \text {增加 } } , D ( \xi ) _ { \text {减小 } }$
C. C. $E ( \xi ) _ { \text {增加，} } D ( \xi ) _ { \text {增加 } }$
D. D. $E ( \xi ) _ { \text {减小 } } , D ( \xi ) _ { \text {减小 } }$

Answer

Answer: D

Solution: 取到红球个数 $\xi$ 服从两点分布 $B ( 1 , p )$ ，其中 $p = \frac { 1 } { n + 1 }$ ，所以 $E ( \xi ) = \frac { 1 } { n + 1 }$ ，显然 $E ( \xi )$ 随着 $n$ 的增大而减小． $D ( \xi ) = \frac { 1 } { n + 1 } \left( 1 - \frac { 1 } { n + 1 } \right) = \frac { n } { ( n + 1 ) ^ { 2 } }$, 记 $f ( x ) = \frac { x } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { x + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } - \frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } = \frac { 1 } { x + 1 } - \frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } }$ ， $f ^ { \prime } ( x ) = - \frac { 1 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } + \frac { 2 } { ( x + 1 ) ^ { 3 } } = \frac { - x + 1 } { ( x + 1 ) ^ { 3 } }$, 当 $x \geq 1$ 时，$f ( x ) \leq 0$ ，故 $f ( x )$ 在 $^ { [ 1 , + \infty ) }$ 上单调递减，则当 $n \in N ^ { * }$ 时，$D ( \xi ) _ { \text {随着 } } n$ 的增大而减小．

Question 36

Question 36: 37．已知随机变量 $\xi \sim B ( 12 , p )$ ，且 $E ( 2 \xi - 3 ) = 5$ ，则 $D ( 3 \xi ) _ { \text {等于（）} }$

37．已知随机变量 $\xi \sim B ( 12 , p )$ ，且 $E ( 2 \xi - 3 ) = 5$ ，则 $D ( 3 \xi ) _ { \text {等于（）} }$

A. A. 24
B. B. 36
C. C. 48
D. D. 72

Answer

Answer: A

Solution: 由 $\xi \sim B ( 12 , p )$ ，得 $E ( \xi ) = 12 p , E ( 2 \xi - 3 ) = 24 p - 3 = 5$ ，解得 $p = \frac { 1 } { 3 }$ ，所以 $D ( 3 \xi ) = 9 \times 12 \times \frac { 1 } { 3 } \times \frac { 2 } { 3 } = 24$ 。

Question 37

Question 37: 38．产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有 5 ...

38．产品的质量是企业的根本，产品检测是生产中不可或缺的重要工作，某工厂为了保证产品质量，利用两种不同方法进行检测，两位员工随机从生产线上各抽取数量相同的一批产品，已知在两人抽取的一批产品中均有 5 件次品，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取 3 件产品，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取 3 件产品，设员工甲抽取到的 3件产品中次品数量为 $X$ ，员工乙抽取到的 3 件产品中次品数量为 $Y , k = 0,1,2,3$ ，则下列判断不正确的是（）（参考：超几何分布其均值 $E ( X ) = \frac { n M } { N }$ ）

A. A. 随机变量 $X$ 服从二项分布
B. B. 随机变量 $Y$ 服从超几何分布
C. C. $E ( X ) = E ( Y )$
D. D. $P ( X = k ) < P ( Y = k )$

Answer

Answer: D

Solution: 对于 A ，员工甲从这一批产品中有放回地随机抽取 3 件产品，则随机变量 $X$ 服从二项分布，A正确；对于 B ，员工乙从这一批产品中无放回地随机抽取 3 件产品，则随机变量 $Y$ 服从超几何分布，B正确；对于 C ，该批产品有 ${ } _ { M }$ 件，则 $E ( X ) = 3 \cdot \frac { 5 } { M } = \frac { 15 } { M }$ ， $E ( Y ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } \frac { k \mathrm { C } _ { M - 5 } ^ { 3 - k } \mathrm { C } _ { 5 } ^ { k } } { \mathrm { C } _ { M } ^ { 3 } } = \sum _ { k = 1 } ^ { 3 } \frac { k \mathrm { C } _ { M - 5 } ^ { 3 - k } \mathrm { C } _ { 5 } ^ { k } } { \mathrm { C } _ { M } ^ { 3 } } = \frac { 15 ( M - 1 ) ( M - 2 ) } { M ( M - 1 ) ( M - 2 ) } = \frac { 15 } { M }$ ，C正确；对于 D，$E ( X ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } k P ( X = k ) , E ( Y ) = \sum _ { k = 0 } ^ { 3 } k P ( Y = k )$ ，若 $P ( X = k ) < P ( Y = k )$ ，则 ${ } ^ { E ( X ) < E ( Y ) }$ ，与选项 C 矛盾，D 错误。

Question 38

Question 38: 39．某人用字母 $\mathrm { v } , \mathrm { r } , \mathrm { y }$ 各 1 个和 2 个字母 e 拼写英语单词＂every＂，那么他写错这个英语单词的概率...

39．某人用字母 $\mathrm { v } , \mathrm { r } , \mathrm { y }$ 各 1 个和 2 个字母 e 拼写英语单词＂every＂，那么他写错这个英语单词的概率为（）

A. A. $\frac { 119 } { 120 }$
B. B. $\frac { 9 } { 10 }$
C. C. $\frac { 19 } { 20 }$
D. D. $\frac { 59 } { 60 }$

Answer

Answer: D

Solution: 对 $e , v , e , r , y 5$ 个字母排列也就是将 $e , v , e , r , y$ 放入 5 个确定的位置，先从 5 个位置中选出 2 个位置放 2 个 e ，有 $\mathrm { C } _ { 5 } ^ { 2 }$ 种方法，再将剩下 3 个字母全排放入其他两个位置，有 ${ } ^ { \mathrm { A } ^ { 3 } }$ 种方法，因此共有 $\mathrm { C } _ { 5 } ^ { 2 } \mathrm {~A} _ { 3 } ^ { 3 } = 60$ 种方法，而写对的可能只有 1 种，所以他写错这个英语单词的情况有 $60 - 1 = 59$ 种，所以他写错这个英语单词的概率为 $P = \frac { 59 } { 60 }$ ．

Question 39

Question 39: 40．以下四个命题：（1）从匀速传递的产品生产流水线上，每 30 分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；（2）某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市 30000 高中男...

40．以下四个命题：（1）从匀速传递的产品生产流水线上，每 30 分钟从中抽取一件产品进行检测，这样的抽样是分层抽样；（2）某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市 30000 高中男生的身高 $\xi$ （单位：$c m )$ 服从正态分布 $N \left( 172 , \sigma ^ { 2 } \right)$ ，且 $P ( 172 < \xi \leq 180 ) = 0.4$ ，那么该市身高高于 $180 c m$ 的高中男生人数大约为 3000 ；（3）随机交量 $X$ 服从二项分布 $B ( 100,0.4 )$ ，若随机变量 $Y = 2 X + 1$ ，则 $Y$ 的数学期望为 $E ( Y ) = 81$ ，方差为 $D ( Y ) = 48$ ；（4）分类变量 $X$ 与 $Y$ ，它们的随机变量 $K ^ { 2 }$ 的观测值为 $k$ ，当 $k$ 越小，＂$X$ 与 $Y$ 有关系的把握程度越大其中正确的个数是（）《2025年10月29日高中数学作业》

A. A. 1
B. B. 2
C. C. 3
D. D. 4

Answer

Answer: A

Solution: 解：（1）根据抽样是间隔相同，且样本间无明显差异，故（1）应是系统抽样，即（1）为假命题；（2）某市进行了一次全市高中男生身高统计调查，数据显示某市 30000 高中男生的身高 $\xi$（单位：$c m )$ 服从正态分布 $N \left( 172 , \sigma ^ { 2 } \right)$ ，且 $P ( 172 < \xi \leq 180 ) = 0.4$ ，所以 $P ( \xi > 180 ) = \frac { 1 } { 2 } - P ( 172 < \xi \leq 180 ) = 0.1$ ，所以该市身高高于 ${ } _ { 180 \mathrm {~cm} }$ 的高中男生人数大约为 $30000 \times 0.1 = 3000$ 人，故（2）为真命题；（3）随机交量 $X$ 服从二项分布 $B ( 100,0.4 )$ ，则 $E ( X ) = 100 \times 0.4 = 40$ ， $D ( X ) = 100 \times 0.4 \times ( 1 - 0.4 ) = 24$ ，若随机变量 $Y = 2 X + 1$ ，则 $Y$ 的数学期望为 $E ( Y ) = 2 E ( X ) + 1 = 81$ ，方差为 $D ( Y ) = 2 ^ { 2 } D ( X ) = 96$ ；故（3）为假命题；（4）对分类变量 $X$ 与 $Y$ 的随机变量 $K ^ { 2 }$ 的观测值 $k$ 来说，$k$ 越小，＂$X$ 与 $Y$ 有关系＂的把握程度越小，故（4）为假命题。

概率与统计

知识点概述

重点内容

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会做单题 ≠ 会考试

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