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向量 - Practice Questions (22)

Question 1: 已知向量 ${ } _ { a } , { } _ { b }$ 满足 $| \boldsymbol { a } | = 2 , | b | = 2$ ,若 ${ } _ { a }$ 与 ${ } ...

已知向量 ${ } _ { a } , { } _ { b }$ 满足 $| \boldsymbol { a } | = 2 , | b | = 2$ ,若 ${ } _ { a }$ 与 ${ } _ { b }$ 的夹角为 $\frac { \pi } { 3 }$ ,则 $| a + b | =$（）

  • A. A. 1
  • B. B. $\sqrt { 2 }$
  • C. C. $2 \sqrt { 3 }$
  • D. D. $\sqrt { 7 }$

Answer: C

Solution: 【知识点】已知数量积求模,数量积的运算律 【分析】利用向量数量积运算,来求和向量的模即可. 【详解】因为 $| \boldsymbol { a } | = 2 , | b | = 2$ ,若 ${ } _ { a }$ 与 ${ } _ { b }$ 的夹角为 $\frac { \pi } { 3 }$ ,所以 $\vec { a } \cdot b = 2 \times 2 \times \cos \frac { \pi } { 3 } = 2$ ,则 $| a + b | = \sqrt { 4 + 2 \times 2 + 4 } = 2 \sqrt { 3 }$ ,

Question 2: 已知向量 ${ } ^ { a }$ 和向量 ${ } ^ { b }$ 的夹角为 $60 ^ { \circ }$ ,且 $| a | = b \mid = 1$ ,则 $| a - b |$ 的值...

已知向量 ${ } ^ { a }$ 和向量 ${ } ^ { b }$ 的夹角为 $60 ^ { \circ }$ ,且 $| a | = b \mid = 1$ ,则 $| a - b |$ 的值为（）

  • A. A. 1
  • B. B. $\frac { 3 } { 2 }$
  • C. C. 2
  • D. D. $\frac { 4 } { 3 }$

Answer: A

Solution: 【知识点】已知数量积求模,用定义求向量的数量积 【分析】根据向量的数量积可求 $| a - b |$ 的值. 【详解】$| \overrightarrow { a - b } | = \sqrt { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a \cdot b } = \sqrt { 1 + 1 - 2 \times 1 \times 1 \times \frac { 1 } { 2 } } = 1$ ,

Question 3: $a = ( 2,1 ) , b = ( x , 3 ) , a \perp b$ ,则 $x =$（ ）

$a = ( 2,1 ) , b = ( x , 3 ) , a \perp b$ ,则 $x =$（ ）

  • A. A. $\frac { 1 } { 2 }$
  • B. B. $\frac { 3 } { 2 }$
  • C. C. $- \frac { 1 } { 2 }$
  • D. D. $- \frac { 3 } { 2 }$

Answer: D

Solution: 【知识点】利用向量垂直求参数,向量垂直的坐标表示 【分析】根据 $a \perp b$ 即可得出 $a \cdot b = 0$ ,进行数量积的坐标运算即可求出 ${ } ^ { x }$ 的值. 【详解】$\because a \perp b$ , $\therefore a \cdot b = 2 x + 3 = 0$ , $\therefore x = - \frac { 3 } { 2 }$ .

Question 4: 已知向量 $a , b$ 满足 $| \vec { a } | = \sqrt { 3 } , | b | = 1 , | 2 a - b | = 3$ ,则 $a \cdot b =$（ ）

已知向量 $a , b$ 满足 $| \vec { a } | = \sqrt { 3 } , | b | = 1 , | 2 a - b | = 3$ ,则 $a \cdot b =$（ ）

  • A. A. - 2
  • B. B. - 1
  • C. C. 1
  • D. D. 2

Answer: C

Solution: 【知识点】已知模求数量积 【分析】对 $| 2 a - b | = 3$ 左右两边同时平方,化简代入数值即可求得 $a \cdot b$ . 【详解】因为 $| 2 a - b | ^ { 2 } = 4 | a | ^ { 2 } - 4 a \cdot b + | b | ^ { 2 } = 9$ , 化简得： $4 a \cdot b = 4$ ,解得：$a \cdot b = 1$ .

Question 5: 已知 $| a | = 4 , | \boldsymbol { b } | = 1 , a \cdot b = 2$ ,则 $a$ 与 $b$ 的夹角为（ ）

已知 $| a | = 4 , | \boldsymbol { b } | = 1 , a \cdot b = 2$ ,则 $a$ 与 $b$ 的夹角为（ ）

  • A. A. $\frac { \pi } { 6 }$
  • B. B. $\frac { \pi } { 4 }$
  • C. C. $\frac { \pi } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 2 \pi } { 3 }$

Answer: C

Solution: 【知识点】向量夹角的计算 【分析】利用向量的夹角计算公式即可求解. 【详解】由已知 $| a | = 4 , | \boldsymbol { b } | = 1 , a \cdot b = 2$ , 设则 与 $_ { b }$ 的夹角为 ${ } _ { \theta }$ ,则余弦值 $\cos \theta = \frac { a \cdot b _ { \vec { b } } } { | a | | b | } = \frac { 2 } { 4 } = \frac { 1 } { 2 }$ , 又因为 $0 \leq \theta \leq \pi$ ,所以 $\theta = \frac { \pi } { 3 }$ .

Question 6: 已知 $\mathrm { V } ^ { \mathrm { V } A B C }$ 是等边三角形,边长为 4 ,则 $A B \cdot B C =$

已知 $\mathrm { V } ^ { \mathrm { V } A B C }$ 是等边三角形,边长为 4 ,则 $A B \cdot B C =$

  • A. A. - 8
  • B. B. 8
  • C. C. $- 4 \sqrt { 3 }$
  • D. D. $- \sqrt { 3 }$

Answer: A

Solution: 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】利用向量的数量积的定义求解即可. 【详解】因为 $V A B C$ 是等边三角形,边长为 4 , 所以 $A B \cdot B C = | A B | \cdot | B C | \cos \left( 180 ^ { \circ } - 60 ^ { \circ } \right) = 4 \times 4 \times \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) = - 8$ .

Question 7: 设 $a , b$ 为非零向量,若 $( a + b ) \cdot ( a - b ) = 0$ ,则（

设 $a , b$ 为非零向量,若 $( a + b ) \cdot ( a - b ) = 0$ ,则（

  • A. A. $a = - b$
  • B. B. $a = b$
  • C. C. $a \cdot b = 0$
  • D. D. $| a | = b \mid$

Answer: D

Solution: 【知识点】数量积的运算律 【分析】将等式化简即可求得结果. 【详解】因为 $( a + b ) \cdot ( a - b ) = 0$ , 所以化简得 $a ^ { 2 } = b ^ { 2 }$ ,所以 $| a | = b \mid$ ,

Question 8: 在 $\bigvee A B C$ 中, $| A B | = | A C - A B | = | B C + A B |$ ,则 $\vee A B C$ 是（ ）

在 $\bigvee A B C$ 中, $| A B | = | A C - A B | = | B C + A B |$ ,则 $\vee A B C$ 是（ ）

  • A. A. 等边三角形
  • B. B. 直角三角形
  • C. C. 钝角三角形
  • D. D. 等腰直角三角形

Answer: A

Solution: 【知识点】向量减法的法则 【分析】根据向量的线性运算可得 $| A B | = | B C | = | A C | _ { \text {即可判断.} }$ 【详解】$\because A C - A B = B C , B C + A B = B C - B A = A C$ , $| A B | = | A C - A B | = | B C + A B |$ $\therefore | A B | = | B C | = | A C |$ ,所以 $\mathrm { V } A B C$ 是等边三角形.

Question 9: 若 $a , b$ 是两个单位向量,且 $a \cdot b = - \frac { 1 } { 2 }$ ,则 $a$ 与 $b$ 的夹角为（ ）

若 $a , b$ 是两个单位向量,且 $a \cdot b = - \frac { 1 } { 2 }$ ,则 $a$ 与 $b$ 的夹角为（ ）

  • A. A. $\frac { \pi } { 6 }$
  • B. B. $\frac { \pi } { 3 }$
  • C. C. $\frac { 2 \pi } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 5 \pi } { 6 }$

Answer: C

Solution: 【知识点】向量夹角的计算 【分析】根据夹角公式即可求解. 【详解】若 $a , b$ 是两个单位向量,且 $a \cdot b = - \frac { 1 } { 2 }$ , 则 $\cos a , b = \frac { \vec { a } \cdot \vec { b } } { | a | | b | } = \frac { - \frac { 1 } { 2 } } { 1 \times 1 } = - \frac { 1 } { 2 }$ , $\because a , b \in [ 0 , \pi ] , \therefore \overrightarrow { a , b } = \frac { 2 \pi } { 3 }$ .

Question 10: 化简 $O P + P S - O Q$ 的结果等于

化简 $O P + P S - O Q$ 的结果等于

  • A. A. $S P$
  • B. B. $Q P$
  • C. C. ${ } ^ { S Q }$
  • D. D. ${ } ^ { \text {QS } }$

Answer: D

Solution: 【知识点】向量减法的法则,向量加法的法则 【分析】根据向量加减法的运算法则逐步化简 $O P + P S - O Q$ 【详解】计算 $O P + P S$ ：由向量加法的三角形法则,$O P + P S = O S$ 处理 $O S - O Q$ ：向量减法转化为加法,即 $O S - O Q = O S + ( - O Q ) = O S + Q O$ 计算 $Q O + O S$ ：再次应用三角形法则,$Q O + O S = Q S$ 综上,化简结果为 ${ } ^ { Q S }$

Question 11: 若 ${ } ^ { a , b }$ 是夹角为 ${ } ^ { 120 ^ { \circ } }$ 的两个单位向量,则 $| a - 2 b | =$

若 ${ } ^ { a , b }$ 是夹角为 ${ } ^ { 120 ^ { \circ } }$ 的两个单位向量,则 $| a - 2 b | =$

  • A. A. $\sqrt { 3 }$
  • B. B. 2
  • C. C. $\sqrt { 5 }$
  • D. D. $\sqrt { 7 }$

Answer: D

Solution: 【知识点】已知模求数量积,向量夹角的计算,数量积的运算律 【分析】求出 ${ } ^ { \mathrm { a } \cdot \mathrm { b } }$ 即可求解. 【详解】因为 $\stackrel { \mathrm { r } } { \mathrm { a } } \cdot \stackrel { \mathrm { r } } { \mathrm { b } } = \stackrel { \mathrm { r } } { \mathrm { a } } | \cdot | \stackrel { \mathrm { r } } { \mathrm { b } } \left\lvert \, \cdot \cos 120 ^ { \circ } = 1 \times 1 \times \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) = - \frac { 1 } { 2 } \right.$ , 所以 $| \vec { a } - 2 b | = \sqrt { | a | ^ { 2 } + | 2 b | ^ { 2 } - 2 \cdot a \cdot 2 b } = \sqrt { 1 ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } \times 1 ^ { 2 } - 4 \times \left( - \frac { 1 } { 2 } \right) } = \sqrt { 7 }$ .

Question 12: 在 ${ } ^ { \vee } A B C$ 中,$A B = 5 , B C = 3 , C A = 4$ ,则 $A B \cdot B C =$

在 ${ } ^ { \vee } A B C$ 中,$A B = 5 , B C = 3 , C A = 4$ ,则 $A B \cdot B C =$

  • A. A. 9
  • B. B. 18
  • C. C. - 18
  • D. D. - 9

Answer: D

Solution: 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据三角形三边关系确定三角形的形状,然后根据向量数量积的定义求其值即可. 【详解】因为 $\triangle A B C$ 中,$A B = 5 , B C = 3 , C A = 4$ , 所以 $B C ^ { 2 } + C A ^ { 2 } = A B ^ { 2 }$ ,所以 $B C \perp C A$ ,且 $\cos \angle C B A = \frac { B C } { A B } = \frac { 3 } { 5 }$ . 所以 $A B \cdot B C = - 3 \times 5 \times \frac { 3 } { 5 } = - 9$ .

Question 13: 在平行四边形 $A B C D _ { \text {中 } } , A B = 4 , A D = 3 , B E = 2 E C , D F = F C$ ,则 $A E \square E F ...

在平行四边形 $A B C D _ { \text {中 } } , A B = 4 , A D = 3 , B E = 2 E C , D F = F C$ ,则 $A E \square E F =$

  • A. A. - 6
  • B. B. 6
  • C. C. $- \frac { 22 } { 3 }$
  • D. D. $\frac { 22 } { 3 }$

Answer: A

Solution: 【知识点】数量积的运算律,平面向量基本定理的应用 【分析】利用平面向量线性运算将向量 ${ } ^ { A E , E F }$ 表示出来,然后利用向量的数量积运算律求解即可. 【详解】$A E \cdot E F = ( A B + B E ) \cdot ( E C + C F ) = \left( A B + \frac { 2 } { 3 } A D \right) \cdot \left( \frac { 1 } { 3 } A D - \frac { 1 } { 2 } A B \right) = \frac { \overrightarrow { 2 } } { 9 } A D ^ { 2 } - \frac { 1 } { 2 } A B ^ { 2 } = - 6$ .

Question 14: 已知 $| p | = 8 , | q | = 6 , p$ 和 $q$ 的夹角是 $60 ^ { \circ }$ ,则 $p \cdot q =$

已知 $| p | = 8 , | q | = 6 , p$ 和 $q$ 的夹角是 $60 ^ { \circ }$ ,则 $p \cdot q =$

  • A. A. $24 \sqrt { 3 }$
  • B. B. $- 24 \sqrt { 3 }$
  • C. C. 24
  • D. D. . - 24

Answer: C

Solution: 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】利用向量数量积公式求出答案. 【详解】$\vec { p } \cdot q = | p | \cdot | q | \cos 60 ^ { \circ } = 8 \times 6 \times \frac { 1 } { 2 } = 24$ .

Question 15: 已知 $| a | = 2 | b | = 2 , a \cdot b = 1$ ,则 $| a + b | =$

已知 $| a | = 2 | b | = 2 , a \cdot b = 1$ ,则 $| a + b | =$

  • A. A. 1
  • B. B. 2
  • C. C. $\sqrt { 3 }$
  • D. D. $\sqrt { 7 }$

Answer: D

Solution: 【知识点】已知数量积求模 【分析】利用 $| \overrightarrow { a + b } | ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 2 a \cdot b$ ,可求模. 【详解】$| \vec { a } + \vec { b } | ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } + 2 a \cdot b = 4 + 1 + 2 = 7$ , 故 $| a + b | = \sqrt { 7 }$ .

Question 16: 已知 $| a | = 1 , ( a + b ) \cdot b = 2$ ,则 $| b |$ 的范围为

已知 $| a | = 1 , ( a + b ) \cdot b = 2$ ,则 $| b |$ 的范围为

  • A. A. $[ 1 , + \infty )$
  • B. B. $[ 0,2 ]$
  • C. C. $[ 2 , + \infty )$
  • D. D. $[ 1,2 ]$

Answer: D

Solution: 【知识点】已知数量积求模,用定义求向量的数量积 【分析】根据向量数量积定义和运算性质,化简条件,用模长表示夹角余弦值的函数,求出模长范围. 【详解】已知 $( a + b ) \cdot b = 2$ ,得 $a \cdot b + b ^ { 2 } = 2$ ,变形得 $| \vec { a } | | b | \cos \langle a , b \rangle + | b | ^ { 2 } = 2$ , 设 $| b | = t ( t > 0 )$ ,则 $t \cos < a , b > + t ^ { 2 } = 2$ ,变形得 $\cos \langle \vec { a } , \vec { b } \rangle = \frac { 2 - t ^ { 2 } } { t }$ , 因为 $- 1 \leq \cos \langle a , b \rangle \leq 1$ ,所以 $- 1 \leq \frac { 2 - t ^ { 2 } } { t } \leq 1$ ,因为 $t > 0$ ,所以 $t \leq 2 - t ^ { 2 } \leq t$ , 解不等式组 $\left\{ \begin{array} { l } - t \leq 2 - t ^ { 2 } \\ 2 - t ^ { 2 } \leq t \end{array} \right.$ ,当 $t > 0$ 时,解得 $1 \leq t \leq 2$ .

Question 17: 在 $\mathrm { VABC } _ { \text {中 } } , A B = a , \stackrel { \mathrm { un } } { \mathrm { CB } } = \...

在 $\mathrm { VABC } _ { \text {中 } } , A B = a , \stackrel { \mathrm { un } } { \mathrm { CB } } = \stackrel { \prime } { b }$ ,则 $C A$ 等于

  • A. A. $a + b$
  • B. B. $b - a$
  • C. C. $a - b$
  • D. D. $- a - b$

Answer: B

Solution: 【知识点】向量减法的法则 【分析】由向量的线性运算即可求解. 【详解】由题意 $C A = C B + B A = C B - A B = b - a$ .

Question 18: $( 2 a - b ) - ( a - 2 b ) =$

$( 2 a - b ) - ( a - 2 b ) =$

  • A. A. $3 a + 3 b$
  • B. B. $a - 3 b$
  • C. C. $a + b$
  • D. D. $3 a - b$

Answer: C

Solution: 【知识点】平面向量的混合运算 【分析】利用平面向量的线性运算化简可得结果. 【详解】由平面向量的线性运算可得 $( 2 a - b ) - ( a - 2 b ) = a + b$ .

Question 19: 若向量 $a , b$ 满足 $| a | = 2 , | b | = 2 , a \cdot b = 2$ ,则 $| a - b | =$

若向量 $a , b$ 满足 $| a | = 2 , | b | = 2 , a \cdot b = 2$ ,则 $| a - b | =$

  • A. A. $\sqrt { 2 }$
  • B. B. 2
  • C. C. $2 \sqrt { 3 }$
  • D. D. 4

Answer: B

Solution: 【知识点】已知数量积求模 【分析】将 $| a - b | _ { \text {平方,利用数量积的运算律即可求解.} }$ 【详解】$\because | a | = 2 , | b | = 2 , a \cdot b = 2$ , $\therefore | \vec { a } - b | ^ { 2 } = ( a - b ) ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 2 a \cdot b = | a | ^ { 2 } + | b | ^ { 2 } - 2 a \cdot b = 4 + 4 - 4 = 4$ , $\therefore | a - b | = 2$ .

Question 20: 已知向量 $a , b$ 满足 $| a | = 1 , | b | = \sqrt { 3 } , a \cdot b = 1$ ,则 $| a + b | =$

已知向量 $a , b$ 满足 $| a | = 1 , | b | = \sqrt { 3 } , a \cdot b = 1$ ,则 $| a + b | =$

  • A. A. $\sqrt { 3 }$
  • B. B. 2
  • C. C. $\sqrt { 5 }$
  • D. D. $\sqrt { 6 }$

Answer: D

Solution: 【知识点】已知数量积求模,数量积的运算律 【分析】根据题意可得 $| \overrightarrow { a + b } | ^ { 2 } = | a | ^ { 2 } + 2 a \cdot b + | b | ^ { 2 }$ ,再根据模长关系运算求解. 【详解】$\because | \overrightarrow { a + b } | ^ { 2 } = | a | ^ { 2 } + 2 a \cdot b + | b | ^ { 2 }$ ,又 $| a | = 1 , | b | = \sqrt { 3 } , a \cdot b = 1$ , 则 $\left| \overrightarrow { \left. a \right| ^ { 2 } } + 2 a \cdot b + | b | ^ { 2 } = 1 + 2 + 3 \right.$ ,所以 $| a + b \mid = \sqrt { 6 }$ .

Question 21: 已知 $| a | = 2 , | b | = 4$ 且 $( a + b ) \perp a$ ,则向量 $a$ 与 $b$ 的夹角是

已知 $| a | = 2 , | b | = 4$ 且 $( a + b ) \perp a$ ,则向量 $a$ 与 $b$ 的夹角是

  • A. A. $\frac { 2 \pi } { 3 }$
  • B. B. $\frac { \pi } { 3 }$
  • C. C. $- \frac { \pi } { 3 }$
  • D. D. $- \frac { 2 \pi } { 3 }$

Answer: A

Solution: 【知识点】垂直关系的向量表示,向量夹角的计算 【分析】由已知条件得出 $( a + b ) \cdot a = 0$ ,结合平面向量数量积的运算性质和定义可求出 $\cos \langle a , b \rangle _ { \text {的值,结合平面向量夹角的取值范围可得出向量 } a \text { 与 } b \text { 的夹角.} }$ 【详解】因为 $| a | = 2 , | b | = 4$ 且 $( a + b ) \perp a$ ,则 $( a + b ) \cdot a = a ^ { 2 } + a \cdot b = | a | ^ { 2 } + | a | \cdot | b | \cos \langle a , b \rangle$ $= 4 + 8 \cos \langle a , b \rangle = 0$ ,所以 $\cos \langle \vec { a } , b \rangle = - \frac { 1 } { 2 }$ , 因为 $0 \leq \langle a , b \rangle \leq \pi$ ,故 $\langle \vec { a } , b \rangle = \frac { 2 \pi } { 3 }$ ,即向量 $a$ 与 $_ { b }$ 的夹角是 $\frac { 2 \pi } { 3 }$ .

Question 22: 已知平面向量 ${ } ^ { a , b }$ 满足 $| a | = 2 , a \perp ( a + b )$ ,则 $a \cdot b =$

已知平面向量 ${ } ^ { a , b }$ 满足 $| a | = 2 , a \perp ( a + b )$ ,则 $a \cdot b =$

  • A. A. - 2
  • B. B. 2
  • C. C. - 4
  • D. D. 4

Answer: C

Solution: 【知识点】数量积的运算律 【分析】根据给定条件,利用垂直关系的向量表示,数量积的运算律求解. 【详解】由 $a \perp ( a + b )$ ,得 $a \cdot ( a + b ) = a ^ { 2 } + a \cdot b = 0$ ,所以 $a \cdot b = - a ^ { 2 } = - 4$ .
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22 练习题

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