平面解析几何

Question 1

Question 1: 1 ．已知点 $A ( 1,0 ) , B ( 3,1 )$ ，若直线 $A B$ 与直线 $x - m y + 1 = 0$ 垂直，则 $m =$

1 ．已知点 $A ( 1,0 ) , B ( 3,1 )$ ，若直线 $A B$ 与直线 $x - m y + 1 = 0$ 垂直，则 $m =$

A. A. - 2
B. B. $- \frac { 1 } { 2 }$
C. C. $\frac { 1 } { 2 }$
D. D. 2

Answer

Answer: B

Solution: 依题意可得直线 $A B$ 的斜率为 $\frac { 1 - 0 } { 3 - 1 } = \frac { 1 } { 2 }$ ，因为直线 $A B$ 与直线 $x - m y + 1 = 0$ 垂直，且直线 $x - m y + 1 = 0$ 的斜率为 - 2 ，所以 $\frac { 1 } { m } = - 2$ ，解得 $m = - \frac { 1 } { 2 }$ ．

Question 2

Question 2: 2．已知抛物线 $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }$ ，其准线方程为

2．已知抛物线 $y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 }$ ，其准线方程为

A. A. $x = - \frac { 1 } { 8 }$
B. B. $x = \frac { 1 } { 8 }$
C. C. $y = \frac { 1 } { 2 }$
D. D. $y = - \frac { 1 } { 2 }$

Answer

Answer: D

Question 3

Question 3: 3．抛物线 $x ^ { 2 } = - 4 y$ 的准线方程为

3．抛物线 $x ^ { 2 } = - 4 y$ 的准线方程为

A. A. $x = \frac { 1 } { 16 }$
B. B. $x = 1$
C. C. $y = 1$
D. D. $y = 2$

Answer

Answer: C

Solution: 因为 $x ^ { 2 } = - 4 y$ ，其为开口向下的抛物线，故其准线方程为 ${ } ^ { y = 1 }$ ．

Question 4

Question 4: 4．若直线 $y = k x - 2$ 与直线 $y = 3 x$ 垂直，则 $k =$

4．若直线 $y = k x - 2$ 与直线 $y = 3 x$ 垂直，则 $k =$

A. A. 3
B. B. $\frac { 1 } { 3 }$
C. C. - 3
D. D. $- \frac { 1 } { 3 }$

Answer

Answer: D

Solution: 解：由两直线相互垂直，其斜率分别为 $\mathrm { k } _ { 1 } , \mathrm { k } _ { 2 } , \mathrm { C } ^ { \mathrm { k } _ { 1 } } \mathrm { x } _ { 2 } = - 1$ ，可得：$k : 3 = - 1$ ，解得：$k = - \frac { 1 } { 3 }$ ，

Question 5

Question 5: 5．直线 $y = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x + 7$ 的倾斜角为

5．直线 $y = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x + 7$ 的倾斜角为

A. A. $\frac { \pi } { 3 }$
B. B. $\frac { \pi } { 4 }$
C. C. $\frac { \pi } { 6 }$
D. D. $\frac { \pi } { 2 }$

Answer

Answer: C

Solution: 直线 $y = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x + 7$ 的斜率是 $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ，设倾斜角为 $\alpha ( 0 \leq \alpha < \pi )$ ，则 $\tan \alpha = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ， $\therefore \alpha = \frac { \pi } { 6 }$ ．

Question 6

Question 6: 7．若两圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 \sqrt { m } x + m - 4 = 0 ( m > 0 )$ 和 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 \...

7．若两圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 2 \sqrt { m } x + m - 4 = 0 ( m > 0 )$ 和 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 \sqrt { n } y - 1 + 4 n = 0 ( n > 0 )$ 恰有三条公切线，则 $\frac { 1 } { m } + \frac { 1 } { n }$ 的最小值为

A. A. $\frac { 1 } { 9 }$
B. B. $\frac { 4 } { 9 }$
C. C. 1
D. D. 3

Answer

Answer: C

Solution: 解：由题意可得两圆相外切两圆的标准方程分别为 $( x + \sqrt { m } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 , x ^ { 2 } + ( y - 2 \sqrt { n } ) ^ { 2 } = 1$ 圆心分别为 $( - \sqrt { m } , 0 ) , ( 0,2 \sqrt { n } )$ ，半径分别为 2 和 1 故有 $\sqrt { m + 4 n } = 3$ ， $\therefore m + 4 n = 9$ $\therefore \frac { m + 4 n } { 9 } = 1$ $\therefore \frac { 1 } { m } + \frac { 1 } { n } = \frac { m + 4 n } { 9 m } + \frac { m + 4 n } { 9 n }$ $= \frac { 1 } { 9 } + \frac { 4 } { 9 } + \frac { 4 n } { 9 m } + \frac { m } { 9 n } \geq \frac { 5 } { 9 } + 2 \sqrt { \frac { 4 } { 81 } } = 1$ 当且仅当 $\frac { 4 n } { 9 m } = \frac { m } { 9 n }$ ，即 $m = 2 n = 3 ^ { \text {时，等号成立．} }$

Question 7

Question 7: 8．某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为 21.6 m ，拱顶距水面 10.9 m ，路面厚度约 1 m 。若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落...

8．某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为 21.6 m ，拱顶距水面 10.9 m ，路面厚度约 1 m 。若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是 ![](/images/questions/analytic-geometry/image-001.jpg)

A. A. 3 m
B. B. 4 m
C. C. 5 m
D. D. 6 m

Answer

Answer: B

Solution: 以拱形部分的顶点为坐标原点，水平线为 $x$ 轴，垂直于 $x$ 轴，且方向向上，建立平面直角坐标系。 ![](/images/questions/analytic-geometry/image-002.jpg) 设抛物线的方程为 $x ^ { 2 } = - 2 p y ( p > 0 )$ ．易知抛物线过点 $( 10.8 , - 10.9 )$ ，则 $10.8 ^ { 2 } = 21.8 p$ ，得 $p = \frac { 10.8 ^ { 2 } } { 21.8 }$ ，所以 $\frac { p } { 2 } = \frac { 5.4 ^ { 2 } } { 10.9 } \approx 2.7$ ，所以 $\frac { p } { 2 } + 1 \approx 3.7$ 。

Question 8

Question 8: 9．若方程 $\frac { x ^ { 2 } } { m } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 - m } = 1$ 表示双曲线，则实数 $m$ 的取值范围为

9．若方程 $\frac { x ^ { 2 } } { m } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 - m } = 1$ 表示双曲线，则实数 $m$ 的取值范围为

A. A. $( 0,2 )$
B. B. $( 0,1 ) \cup ( 1,2 )$
C. C. $( - \infty , 0 ) \cup ( 2 , + \infty )$
D. D. $( 2 , + \infty )$

Answer

Answer: C

Solution: 若方程 $\frac { x ^ { 2 } } { m } + \frac { y ^ { 2 } } { 2 - m } = 1$ 表示双曲线，则 $m ( 2 - m ) < 0$ ，解得：$m < 0$ 或 $m > 2$ ，即实数 $m$ 的取值范围为 $( - \infty , 0 ) \cup ( 2 , + \infty )$ ．

Question 9

Question 9: 10．设双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b >...

10．设双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的实轴长与焦距分别为 2,4 ，则双曲线 $C$ 的渐近线方程为

A. A. $y = \pm \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x$
B. B. $y = \pm \frac { 1 } { 3 } x$
C. C. $y = \pm \sqrt { 3 } x$
D. D. $y = \pm 3 x$

Answer

Answer: C

Solution: 因为 $2 a = 2,2 c = 4$ ，所以 $a = 1 , c = 2 , b = \sqrt { 3 }$ ，所以 $C$ 的渐近线方程为 $y = \pm \sqrt { 3 } x$ ．

Question 10

Question 10: 11．已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { 16 } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$ ，则双曲线的焦点坐标为

11．已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { 16 } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$ ，则双曲线的焦点坐标为

A. A. $( - \sqrt { 7 } , 0 ) , ( \sqrt { 7 } , 0 )$
B. B. $( - 5,0 ) , ( 5,0 )$
C. C. $( 0 , - 5 ) , ( 0,5 )$
D. D. $( 0 , - \sqrt { 7 } ) , ( 0 , \sqrt { 7 } )$

Answer

Answer: B

Solution: 根据双曲线方程 $\frac { x ^ { 2 } } { 16 } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$ 可知，焦点在 $x$ 轴上，$a ^ { 2 } = 16 , b ^ { 2 } = 9$ ， $\therefore c ^ { 2 } = a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = 16 + 9 = 25$ ，即 ${ } ^ { c = 5 }$ ，故焦点为 $( - 5,0 ) , ( 5,0 )$ ．

Question 11

Question 11: 12 ．平行直线 \$$l _ { 1 } : 2 x - y + 2 = 0 \text { 与 }$ l _ { 2 } : m x - y - 3 = 0$之间的距离为

12 ．平行直线 \$$l _ { 1 } : 2 x - y + 2 = 0 \text { 与 }$ l _ { 2 } : m x - y - 3 = 0$之间的距离为

A. A. 5
B. B. $\frac { 1 } { 5 }\$
C. C. $\sqrt { 5 }$
D. D. $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$

Answer

Answer: C

Solution: 因为 $l _ { 1 } \| l _ { 2 }$ ，所以 ${ } ^ { 2 \times ( - 1 ) - ( - 1 ) \times m = 0 }$ ，解得 $m = 2$ ，则 $l _ { 1 } , l _ { 2 }$ 之间的距离为 $\frac { | 2 + 3 | } { \sqrt { 2 ^ { 2 } + ( - 1 ) ^ { 2 } } } = \sqrt { 5 }$ 。

Question 12

Question 12: 13．对于圆 ${ } ^ { C : } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$ ，下列说法正确的为（）

13．对于圆 ${ } ^ { C : } x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$ ，下列说法正确的为（）

A. A. 点 ${ } ^ { A ( 1 , - 1 ) }$ 圆 $C$ 的内部
B. B. 圆 $C$ 的圆心为 $( - 2,0 )$
C. C. 圆 $C$ 的半径为 3
D. D. 圆 $C$ 与直线 $y = 3$ 相切

Answer

Answer: A

Solution: 对于 A ，将点 $A ( 1 , - 1 )$ 代入圆 $C$ 中，得 $1 ^ { 2 } + ( - 1 ) ^ { 2 } - 4 \times 1 + 1 = - 1 < 0$ ，所以点 $A ( 1 , - 1 )$圆 $C$ 的内部，故 A 正确；对于 $\mathrm { B } , \mathrm { C }$ ，由 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$ ，得 $( x - 2 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 3$ ，所以圆 $C$ 的圆心为 $( 2,0 )$ ，半径为 $r = \sqrt { 3 }$ ，故 B，C 错误；对于 D ，由圆心 $C ( 2,0 ) _ { \text {到直线 } } y = 3$ 的距离为 $d = | 3 - 0 | = 3$ ，所以 $3 > \sqrt { 3 }$ ，即 $d > r$ ，所以圆 $C _ { \text {与直线 } } { } ^ { y = 3 }$ 相离，故 D 错误．

Question 13

Question 13: 14．过拋物线 $y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A , B$ 两点，$M$ 为线段 $A B$ 的中点，则以线段 $A B$ 为直径的圆一定（）

14．过拋物线 $y ^ { 2 } = 4 x$ 的焦点 $F$ 的直线交抛物线于 $A , B$ 两点，$M$ 为线段 $A B$ 的中点，则以线段 $A B$ 为直径的圆一定（）

A. A. 经过原点
B. B. 经过点 $( - 1,0 )$
C. C. 与直线 $x = - 1$ 相切
D. D. 与直线 $y = - 1$ 相切

Answer

Answer: C

Solution: 设 $A \left( x _ { 1 } , y _ { 1 } \right) , B \left( x _ { 2 } , y _ { 2 } \right)$ ，利用焦半径公式可得： $| A B | = x _ { 1 } + x _ { 2 } + p$ ，又 $^ { M \left( \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } } { 2 } , \frac { y _ { 1 } + y _ { 2 } } { 2 } \right) }$ ，所以 $M$ 到直线 $x = - 1$ 距离为 $d = \frac { x _ { 1 } + x _ { 2 } + p } { 2 } = \frac { 1 } { 2 } | A B |$ ，所以以线段 $A B$ 为直径的圆一定直线 $x = - 1$ 相切．

Question 14

Question 14: 15 ．下列说法中，错误的是（）

15 ．下列说法中，错误的是（）

A. A. 直线 $y = 5 x - 3$ 在 $^ { y }$ 轴上的截距为 ${ } ^ { - 3 }$
B. B. 直线 $\sqrt { 3 } x - y + 1 = 0$ 的一个方向向量为 $( - \sqrt { 3 } , - 3 )$
C. C. 过点 ${ } ^ { ( 3,4 ) }$ 且在 $x , y _ { \text {轴上的截距相等的直线方程为 } } x + y - 7 = 0$
D. D. $A ( 1,3 ) , B ( 2,5 ) , C ( - 2 , - 3 )$ 三点共线

Answer

Answer: C

Question 15

Question 15: 16．方程 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + m x - 2 y + m + 4 = 0$ 表示圆，则 $m$ 的取值范围是（）

16．方程 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + m x - 2 y + m + 4 = 0$ 表示圆，则 $m$ 的取值范围是（）

A. A. $( - \infty , - 2 ) \cup ( 6 , + \infty )$
B. B. $( - 2,6 )$
C. C. $( - ¥ , - 6 ) \cup ( 2 , + ¥ )$
D. D. $( - 6,2 )$

Answer

Answer: A

Solution: 由题意可得 $m ^ { 2 } + ( - 2 ) ^ { 2 } - 4 ( m + 4 ) > 0$ ，即 $m ^ { 2 } - 4 m - 12 > 0$ ，解得 $m < - 2$ 或 $m > 6$ 。故选：A

Question 16

Question 16: 17．与椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$ 有相同的焦点，且经过点 $( 5,3 )$ 的椭圆的标准方程是（...

17．与椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$ 有相同的焦点，且经过点 $( 5,3 )$ 的椭圆的标准方程是（）

A. A. $\frac { x ^ { 2 } } { 24 } + \frac { y ^ { 2 } } { 40 } = 1$
B. B. $\frac { x ^ { 2 } } { 40 } + \frac { y ^ { 2 } } { 24 } = 1$
C. C. $\frac { x ^ { 2 } } { 36 } + \frac { y ^ { 2 } } { 20 } = 1$
D. D. $\frac { x ^ { 2 } } { 40 } + \frac { y ^ { 2 } } { 26 } = 1$

Answer

Answer: B

Solution: 解：根据题意，椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { 25 } + \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1$ 的焦点为 $( - 4,0 )$ 和 $( 4,0 )$ ，则要求椭圆的焦点在 $x$ 轴上，且 ${ } ^ { c = 4 }$ ；又由该椭圆经过点 $( 5,3 )$ ，则有 $2 a = \sqrt { 81 + 9 } = \sqrt { 1 + 9 } = 4 \sqrt { 10 }$ ，则 $a = 2 \sqrt { 10 }$ ，则 $b = \sqrt { a ^ { 2 } - c ^ { 2 } } = \sqrt { 40 - 16 } = \sqrt { 24 }$ ；故要求椭圆的标准方程为 $\frac { x ^ { 2 } } { 40 } + \frac { y ^ { 2 } } { 24 } = 1$ ；

Question 17

Question 17: 18．若双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )...

18．若双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 上的一点到焦点 $( - \sqrt { 5 } , 0 )$ 的距离比到焦点 $( \sqrt { 5 } , 0 )$ 的距离大 $b$ ，则该双曲线的方程为（）

A. A. $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1$
B. B. $\frac { x ^ { 2 } } { 2 } - y ^ { 2 } = 1$
C. C. $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 2 } = 1$
D. D. $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$

Answer

Answer: D

Solution: 由题知 $c = \sqrt { 5 }$ ，根据题意，由双曲线的定义知 $2 a = b$ ，又 $a ^ { 2 } + b ^ { 2 } = c ^ { 2 }$ ，所以 $5 a ^ { 2 } = 5$ ，得到 $a ^ { 2 } = 1 , b ^ { 2 } = 4$ ，所以双曲线的方程为 $x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ ，

Question 18

Question 18: 19．＂ $0 < a < 3$＂是＂双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 ( a > 0 )$ 的离心率大于 ...

19．＂ $0 < a < 3$＂是＂双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 ( a > 0 )$ 的离心率大于 2 ＂的（）

A. A. 充分不必要条件
B. B. 必要不充分条件
C. C. 充要条件
D. D. 既不充分也不必要条件

Answer

Answer: C

Solution: 若双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 ( a > 0 )$ 的离心率大于 ${ } _ { 2 }$ ，则 $\left\{ \begin{array} { l } e = \sqrt { \frac { a + 9 } { a } } > 2 \\ a > 0 \end{array} \right.$ ，解得 ${ } _ { 0 < a < 3 }$ ，所以＂ $0 < a < 3$＂是＂双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a } - \frac { y ^ { 2 } } { 9 } = 1 ( a > 0 )$ 的离心率大于 2 ＂的充要条件；

Question 19

Question 19: 20．圆 $C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 y = 1$ 的圆心到双曲线 $E : \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1$ 的...

20．圆 $C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 y = 1$ 的圆心到双曲线 $E : \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1$ 的渐近线的距离为（）

A. A. $\frac { \sqrt { 5 } } { 5 }$
B. B. $\frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$
C. C. $\frac { 3 \sqrt { 5 } } { 5 }$
D. D. $\frac { 4 \sqrt { 5 } } { 5 }$

Answer

Answer: B

Solution: 圆 $C : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 y = 1$ 的圆心 $( 0,1 )$ ，双曲线 $E : \frac { x ^ { 2 } } { 4 } - y ^ { 2 } = 1$ 的渐近线 $y = \pm \frac { 1 } { 2 } x$ ，即 $x \pm 2 y = 0$ 所以圆心到渐近线距离为 $\frac { | 2 | } { \sqrt { 5 } } = \frac { 2 \sqrt { 5 } } { 5 }$ ．

Question 20

Question 20: 21．直线 ${ } ^ { x + \sqrt { 3 } y + 2 = 0 }$ 的倾斜角为（）

21．直线 ${ } ^ { x + \sqrt { 3 } y + 2 = 0 }$ 的倾斜角为（）

A. A. $150 ^ { \circ }$
B. B. $120 ^ { \circ }$
C. C. $60 ^ { \circ }$
D. D. $- 30 ^ { \circ }$

Answer

Answer: A

Solution: 由题意直线 $x + \sqrt { 3 } y + 2 = 0$ 的斜率为 $k = - \frac { 1 } { \sqrt { 3 } } = - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ，所以直线 $x + \sqrt { 3 } y + 2 = 0$ 的倾斜角为 $150 ^ { \circ }$ 。

Question 21

Question 21: 22．若直线 ${ } ^ { x - y - 2 = 0 }$ 被圆 $^ { ( x - a ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 }$ 所截得的弦长为 ${ } ^ { 2 \sq...

22．若直线 ${ } ^ { x - y - 2 = 0 }$ 被圆 $^ { ( x - a ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4 }$ 所截得的弦长为 ${ } ^ { 2 \sqrt { 2 } }$ ，则实数 $a _ { \text {的值为（）} }$

A. A. － 1 或 3
B. B. 1或 3
C. C. 0 或 4
D. D. - 2 或 6

Answer

Answer: C

Solution: 解：由圆 $( x - a ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 4$ 得圆心 $( a , 0 )$ ，半径 $r = 2$ ，则圆心到直线的距离 $d = \frac { | a - 2 | } { \sqrt { 2 } }$ ，弦长 $= 2 \sqrt { r ^ { 2 } - d ^ { 2 } } = 2 \sqrt { 4 - \frac { ( a - 2 ) ^ { 2 } } { 2 } } = 2 \sqrt { 2 }$ ，解得：$a = 0 ^ { \text {或 } } 4$ ．

Question 22

Question 22: 23．已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 ...

23．已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的左、右焦点分别是 $F _ { 1 } , F _ { 2 } , P$ 是双曲线右支上一点，$P F _ { 2 } \perp F _ { 1 } F _ { 2 } , O H \perp P F _ { 1 } 于 _ { H } , O H = \frac { 1 } { 3 } O F _ { 1 }$ ，则双曲线的渐近线方程为

A. A. $y = \pm 4 x$
B. B. $y = \pm 3 x$
C. C. $y = \pm 2 x$
D. D. $y = \pm x$

Answer

Answer: D

Solution: 解：当 $x = c$ 时，代入双曲线可得 $y = \pm \frac { b ^ { 2 } } { a }$ ，所以 $\left| P F _ { 2 } \right| = \frac { b ^ { 2 } } { a }$ ，又 $\left| P F _ { 1 } \right| - \left| P F _ { 2 } \right| = 2 a$ ，所以 $\left| P F _ { 1 } \right| = 2 a + \frac { b ^ { 2 } } { a }$ 因为 $P F _ { 2 } \perp F _ { 1 } F _ { 2 } , ~ O H \perp P F _ { 1 }$ ，所以 $\triangle F _ { 1 } O H \sim \triangle F _ { 1 } P F _ { 2 }$ 由相似三角形可知，$\frac { | O H | } { \left| P F _ { 2 } \right| } = \frac { \left| O F _ { 1 } \right| } { \left| P F _ { 1 } \right| }$ ，因为 $O H = \frac { 1 } { 3 } O F _ { 1 }$ 所以 $\frac { 1 } { 3 } = \frac { \frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } { 2 a + \frac { b ^ { 2 } } { a } }$ ， $\therefore \frac { 2 } { 3 } a ^ { 2 } + \frac { 1 } { 3 } b ^ { 2 } = b ^ { 2 }$ ，则 $a = b$ ，所以双曲线的渐近线方程为 $y = \pm x$ ；

Question 23

Question 23: 24．若 $\odot C _ { 1 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x - 2 y - 14 = 0 , \odot C _ { 2 } : x ^ { 2 } + y...

24．若 $\odot C _ { 1 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x - 2 y - 14 = 0 , \odot C _ { 2 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x + 6 y + 4 = 0$ ，则 $\oplus C _ { 1 }$ 与 $\odot C _ { 2 }$ 公切线的条数为

A. A. 1
B. B. 2
C. C. 3
D. D. 4

Answer

Answer: B

Solution: $\odot C _ { 1 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 2 x - 2 y - 14 = 0$ ，即 $\odot C _ { 1 } : ( x - 1 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = 16$ ，圆心 $C _ { 1 } ( 1,1 ) , r _ { 1 } = 4$ ， $\odot C _ { 2 } : x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x + 6 y + 4 = 0$ 即 $\odot C _ { 2 } : ( x + 2 ) ^ { 2 } + ( y + 3 ) ^ { 2 } = 9$ ，圆心 $C _ { 2 } ( - 2 , - 3 ) , r _ { 1 } = 3$ ，则 $\left| C _ { 1 } C _ { 2 } \right| = \sqrt { 3 ^ { 2 } + 4 ^ { 2 } } = 5$ ，所以 $r _ { 1 } - r _ { 2 } < 5 < r _ { 1 } + r _ { 2 }$ ，所以两圆相交，有 2 条公切线．

Question 24

Question 24: 25．已知圆的一般方程为 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x - 2 y - 4 = 0$ ，则圆的半径为

25．已知圆的一般方程为 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x - 2 y - 4 = 0$ ，则圆的半径为

A. A. 1
B. B. 2
C. C. 3
D. D. 4

Answer

Answer: C

Solution: 由 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } + 4 x - 2 y - 4 = 0$ 可得圆的标准方程： $( x + 2 ) ^ { 2 } + ( y - 1 ) ^ { 2 } = 9$ ，故圆的半径为 3 ．

Question 25

Question 25: 26．已知椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \quad ( a > b...

26．已知椭圆 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } + \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 \quad ( a > b > 0 )$ 的左右焦点分别为 $F _ { 1 } 、 F _ { 2 } , P$ 为椭圆上一点， $\angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 60 ^ { \circ }$ ，若坐标原点 $O$ 到 $P F _ { 1 }$ 的距离为 $\frac { \sqrt { 3 } } { 6 } a$ ，则椭圆离心率为

A. A. $\frac { \sqrt { 2 } } { 5 }$
B. B. $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$
C. C. $\frac { \sqrt { 7 } } { 3 }$
D. D. $\frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$

Answer

Answer: D

Solution: 设 $\left| P F _ { 1 } \right| = m , \left| P F _ { 2 } \right| = n$ ，作 ${ } ^ { O N \perp P F _ { 1 } } , \quad F _ { 2 } M \perp P F _ { 1 }$ ， ![](/images/questions/analytic-geometry/image-003.jpg) 由题意可得 $| O N | = \frac { \sqrt { 3 } } { 6 } a , \left| F _ { 2 } M \right| = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } a , \angle F _ { 1 } P F _ { 2 } = 60 ^ { \circ }$ ，即有 $| P M | = \frac { 1 } { 3 } a , \left| P F _ { 2 } \right| = \frac { 2 } { 3 } a$ ，由 $m + n = 2 a$ ，可得 $\left| M F _ { 1 } \right| = a$ ，因为 $\left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| = 2 c$ ，在直角三角形 $F _ { 1 } M F _ { 2 }$ 中，由勾股定理得 $a ^ { 2 } + \left( \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } a \right) ^ { 2 } = 4 c ^ { 2 }$ ，可得 $e = \frac { c } { a } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 }$ ．

Question 26

Question 26: 27．已知 $a _ { 1 } , a _ { 2 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } \in \mathbf { R }$ ，直线 ...

27．已知 $a _ { 1 } , a _ { 2 } , b _ { 1 } , b _ { 2 } , c _ { 1 } , c _ { 2 } \in \mathbf { R }$ ，直线 ${ } ^ { l } : a _ { 1 } x + b _ { 1 } y + c _ { 1 } = 0 , l _ { 2 } : a _ { 2 } x + b _ { 2 } y + c _ { 2 } = 0$ ，则＂$\frac { a _ { 1 } } { a _ { 2 } } = \frac { b _ { 1 } } { b _ { 2 } }$＂是＂直线 $l _ { 1 }$ 与 $l _ { 2 }$ 平行＂的

A. A. 充分非必要条件
B. B. 必要非充分条件
C. C. 充要条件
D. D. 既非充分又非必要条件

Answer

Answer: D

Solution: 当 $\frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } = \frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } }$ 时，两直线可能平行，也可能重合，故充分性不成立；当 $l _ { 1 } / / l _ { 2 }$ 时，$b _ { 1 }$ 与 $b _ { 2 }$ 可能都等于 0 ，故 $\frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } = \frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } }$ 不一定成立，故必要性不成立；综上所述，$\frac { a _ { 1 } } { b _ { 1 } } = \frac { a _ { 2 } } { b _ { 2 } }$ 是 $l _ { 1 } / / l _ { 2 }$ 的既非充分又非必要条件．

Question 27

Question 27: 29．已知抛物线 $C : y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 }$ 的焦点为 $F , P$ 是抛物线 $C$ 上的一点，且 $| P F | = 3$ ，则点 ${ } _...

29．已知抛物线 $C : y = \frac { 1 } { 4 } x ^ { 2 }$ 的焦点为 $F , P$ 是抛物线 $C$ 上的一点，且 $| P F | = 3$ ，则点 ${ } _ { P }$ 到坐标原点 $O$ 的距离是（）

A. A. 2
B. B. $2 \sqrt { 2 }$
C. C. $2 \sqrt { 3 }$
D. D. 4

Answer

Answer: C

Solution: $4 y = x ^ { 2 }$ ，则准线方程为 ${ } ^ { y = - 1 }$ ，设 $P ( m , n )$ ，由题意可得 $n + 1 = 3$ ，解得 $n = 2$ ，则 $m ^ { 2 } = 8$ ，故点 $P$ 到坐标原点 $O$ 的距离是 $\sqrt { m ^ { 2 } + n ^ { 2 } } = \sqrt { 8 + 4 } = 2 \sqrt { 3 }$ ．

Question 28

Question 28: 30．已知双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a , b > 0 ...

30．已知双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a , b > 0 )$ 的左右焦点分别为 $F _ { 1 } ( - c , 0 ) , F _ { 2 } ( c , 0 )$ ，若双曲线左支上存在点 $P$ 使得 $\left| P F _ { 2 } \right| = \frac { 3 } { 2 } C - 2 a$ ，则离心率的取值范围为（）

A. A. $( 1,4 ]$
B. B. $[ 6 , + \infty )$
C. C. $[ 4 , + \infty )$
D. D. $[ 2 , + \infty )$

Answer

Answer: B

Question 29

Question 29: 31．设 $F$ 是椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1$ 的右焦点，椭圆上的点与点 $F$ 的最大距离为 $M$ ，最小距离是 $m$ ，则椭圆...

31．设 $F$ 是椭圆 $\frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1$ 的右焦点，椭圆上的点与点 $F$ 的最大距离为 $M$ ，最小距离是 $m$ ，则椭圆上与点 ${ } _ { F }$ 的距离等于 $\frac { 1 } { 2 } ( M + m )$ 的点的坐标是（）

A. A. $( 0 , \pm 2 )$
B. B. $( 0 , \pm 1 )$
C. C. $\left( \sqrt { 3 } , \pm \frac { 1 } { 2 } \right)$
D. D. $\left( \sqrt { 2 } , \pm \frac { \sqrt { 2 } } { 2 } \right)$

Answer

Answer: B

Solution: 解：$\because \frac { x ^ { 2 } } { 4 } + y ^ { 2 } = 1$ ，所以 $a = 2 , b = 1 , c = \sqrt { a ^ { 2 } - b ^ { 2 } } = \sqrt { 3 }$ ，又粗圆上的点与右焦点 $F$ 的最大距离为 $M$ ，最小距离是 $m$ ， $\therefore M = a + c , n = a - c$ ， $\therefore \frac { 1 } { 2 } ( M + m ) = a = 2$ ，则椭圆上与右焦点 $F$ 的距离等于 $\frac { 1 } { 2 } ( M + m )$ 的点是短轴的两个顶点，其坐标为 $( 0 , \pm 1 )$ ．

Question 30

Question 30: 32．$M \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ 为圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 内异于圆心的一点，则直线 $x _ { 0 } x...

32．$M \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ 为圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 内异于圆心的一点，则直线 $x _ { 0 } x + y _ { 0 } y = 1$ 与该圆的位置关系为

A. A. 相切
B. B. 相交
C. C. 相离
D. D. 相切或相交

Answer

Answer: C

Solution: 由题意知 $M \left( x _ { 0 } , y _ { 0 } \right)$ 为圆 $x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 内异于圆心的一点，则 $x _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } < 1$ ，而圆：$x ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 1$ 的圆心到直线 $x _ { 0 } x + y _ { 0 } y = 1$ 的距离为 $d = \frac { 1 } { \sqrt { x _ { 0 } ^ { 2 } + y _ { 0 } ^ { 2 } } } > 1 = r$ ，故直线 $x _ { 0 } x + y _ { 0 } y = 1$ 与该圆的位置关系为相离，

Question 31

Question 31: 33．已知双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { 12 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ ，点 $F$ 是 $C$ 的右焦点，若点 $P$ 为...

33．已知双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { 12 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ ，点 $F$ 是 $C$ 的右焦点，若点 $P$ 为 $C$ 左支上的动点，设点 $P$ 到 $C$ 的一条渐近线的距离为 $d$ ，则 $d + | P F |$ 的最小值为（）

A. A. $2 + 4 \sqrt { 3 }$
B. B. $6 \sqrt { 3 }$
C. C. 8
D. D. 10

Answer

Answer: A

Solution: 由双曲线 $C : \frac { x ^ { 2 } } { 12 } - \frac { y ^ { 2 } } { 4 } = 1$ ，可得 $a = 2 \sqrt { 3 } , b = 2 , F ( 40 )$ ，设双曲线左焦点为 $F ^ { \prime } ( - 40 )$ ，不妨设一条渐近线为 $l : y = - \frac { b } { a } x = - \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } x$ ，即 $x + \sqrt { 3 } y = 0$ ，作 $P E \perp l$ ，垂足为 $E$ ，即 $| P E | = d$ ，作 $_ { F \prime } H \perp l$ ，垂足为 $H$ ，则 $\left| F ^ { \prime } H \right| = \frac { | - 4 | } { \sqrt { 1 ^ { 2 } + ( \sqrt { 3 } ) ^ { 2 } } } = 2$ ， ![](/images/questions/analytic-geometry/image-004.jpg) 因为点 $P$ 为 $C$ 左支上的动点，所以 $| P F | - \left| P F ^ { \prime } \right| = 2 a$ ，可得 $| P F | = 2 a + \left| P F ^ { \prime } \right|$ ，故 ${ } ^ { d + | F P | = | P E | + 2 a + \left| P F ^ { \prime } \right| = 2 a + | P E | + \left| P F ^ { \prime } \right| \text { ，} }$ 由图可知，当 $P , F ^ { \prime } , E$ 三点共线时，即 $E$ 和 $H$ 点重合时， $2 a + | P E | + \left| P F ^ { \prime } \right| _ { \text {取得最小值，} }$最小值为 $2 \times 2 \sqrt { 3 } + \left| F ^ { \prime } H \right| = 4 \sqrt { 3 } + 2$ ，即 $d + | P F | _ { \text {的最小值为 } } 4 \sqrt { 3 } + 2$ ，

Question 32

Question 32: 34．设 $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ 分别是双曲线 $C : x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ 的左、右焦点，过...

34．设 $F _ { 1 } , F _ { 2 }$ 分别是双曲线 $C : x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ 的左、右焦点，过 $F _ { 2 }$ 作 $x$ 轴的垂线与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\triangle A B F _ { 1 }$ 为正三角形，则（）

A. A. $b = 2$
B. B. $C$ 的焦距为 $2 \sqrt { 3 }$
C. C. $C$ 的离心率为 $\frac { \sqrt { 6 } } { 3 }$
D. D. $\triangle A B F _ { 1 }$ 的面积为 $2 \sqrt { 2 }$

Answer

Answer: B

Solution: 由双曲线 $C : x ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ ，可得 $c = \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , ~ \therefore F _ { 1 } \left( - \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , ~ 0 \right) , ~ F _ { 2 } \left( \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , ~ 0 \right)$ ，把 $x = \sqrt { 1 + b ^ { 2 } }$ ，代入双曲线方程可得： $1 + b ^ { 2 } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1$ ，解得 $y = \pm b ^ { 2 }$ ，不妨取 $A \left( \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , b ^ { 2 } \right) , B \left( \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } , - b ^ { 2 } \right)$ ， $\triangle A B F _ { 1 }$ 为正三角形， $\tan \angle A F _ { 1 } F _ { 2 } = \tan 30 ^ { \circ } = \frac { \sqrt { 3 } } { 3 } = \frac { \left| A F _ { 2 } \right| } { \left| F _ { 1 } F _ { 2 } \right| } = \frac { b ^ { 2 } } { 2 \sqrt { 1 + b ^ { 2 } } }$, 解得 $b ^ { 2 } = 2$ ， $\therefore b = \sqrt { 2 } , ~ c = \sqrt { 3 } , ~ 2 c = 2 \sqrt { 3 } , e = \frac { c } { a } = \sqrt { 3 }$ ， $S _ { \triangle A B F _ { 1 } } = \frac { 1 } { 2 } \times 2 c \times 2 b ^ { 2 } = 4 \sqrt { 3 }$.

Question 33

Question 33: 35．已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 ...

35．已知双曲线 $\frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a > 0 , b > 0 )$ 的左、右焦点 $F _ { 1 } , F _ { 2 } , c$ 是半焦距，$P$ 是双曲线上异于实轴端点的点，满足 $c \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = a \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 }$ ，则双曲线的离心率 $e$ 的取值范围是

A. A. $( 1 + \sqrt { 2 } , 1 + \sqrt { 3 } )$ B． $( 1 + \sqrt { 2 } , + \infty )$
B. B. $( 1 + \sqrt { 2 } , 1 + \sqrt { 3 } )$ B． $( 1 + \sqrt { 2 } , + \infty )$
C. C. $( \sqrt { 2 } , 1 + \sqrt { 2 } )$
D. D. $( 1,1 + \sqrt { 2 } )$

Answer

Answer: B

Solution: 因为 $c \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } = a \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 }$ ，所以 $e = \frac { c } { a } = \frac { \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 } } { \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } }$ ，设 $P ( m , n ) , F _ { 1 } ( - c , 0 ) , F _ { 2 } ( c , 0 )$ ，所以 $e = \frac { \tan \angle P F _ { 2 } F _ { 1 } } { \tan \angle P F _ { 1 } F _ { 2 } } = - \frac { n } { m - c } \cdot \frac { m + c } { n } = - \frac { m + c } { m - c } = - 1 - \frac { 2 c } { m - c }$ ，因为 $m > a$ ，所以 $- 1 - \frac { 2 c } { m - c } > - 1 + \frac { - 2 c } { a - c } = - 1 + \frac { 2 e } { e - 1 }$ ，所以 $e + 1 > \frac { 2 e } { e - 1 }$ ，即 $e ^ { 2 } - 2 e - 1 > 0$ ，解得 $e > 1 + \sqrt { 2 }$ ．

Question 34

Question 34: 36．设直线 $2 x + ( k - 3 ) y - 2 k + 6 = 0$ 过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标为（）

36．设直线 $2 x + ( k - 3 ) y - 2 k + 6 = 0$ 过定点 $P$ ，则点 $P$ 的坐标为（）

A. A. $( 3,0 )$
B. B. $( 0,2 )$
C. C. $( 0,3 )$
D. D. $( 2,0 )$

Answer

Answer: B

Solution: 将直线方程化为 $( 2 x - 3 y + 6 ) + k ( y - 2 ) = 0$ ，当时 $\left\{ \begin{array} { l } y - 2 = 0 \\ 2 x - 3 y + 6 = 0 \text { 即 } \end{array} \left\{ \begin{array} { l } x = 0 \\ y = 2 \text { ，直线 } 2 x + ( k - 3 ) y - 2 k + 6 = 0 \text { 恒过定点 } ( 0,2 ) \text { ，} \end{array} \right. \right.$

Question 35

Question 35: 37．已知命题 $p :$ 直线 $l : y = m x - 2$ 过定点 $( 0,2 )$ ，命题 $q : n = 1$ 是直线 $l _ { 1 } : x + n y - 1 = 0$ 与...

37．已知命题 $p :$ 直线 $l : y = m x - 2$ 过定点 $( 0,2 )$ ，命题 $q : n = 1$ 是直线 $l _ { 1 } : x + n y - 1 = 0$ 与直线 $l _ { 2 } : y = n x + 1$ 垂直的充要条件，则下列命题为真命题的是

A. A. $p ^ { \wedge } q$
B. B. $p ^ { \wedge } \neg q$
C. C. $\neg p ^ { \wedge } q$
D. D. $\neg p ^ { \vee } q$

Answer

Answer: D

Solution: 解：命题 $p$ ：直线 $^ { l : y = m x - 2 }$ 过定点 $^ { ( 0 , - 2 ) }$ ，故命题 $p$ 为假命题，$\neg p$ 为真命题，由于 ${ } ^ { n - n } = 0$ 恒成立，故对任意的 ${ } ^ { n \in \mathrm { R } }$ ，直线 ${ } ^ { l }$ 与直线 ${ } ^ { l }$ 均垂直，所以命题 $q : n = 1$ 是直线 $l _ { 1 } : x + n y - 1 = 0$ 与直线 $l _ { 2 } : y = n x + 1$ 垂直的充分不必要条件，故命题 $q$ 为假命题，$\neg q$ 为真命题，所以 $p ^ { \wedge } q , p ^ { \wedge } \neg q , ~ \neg p ^ { \wedge } q$ 均为假命题，$\neg p ^ { \wedge } q$ 为真命题，

Question 36

Question 36: 38 ．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A ( - 3,0 ) , B ( 1,0 ) , P$ 为圆 $C : ( x - 3 ) ^ { 2 } + ( y - 3 ) ^ { 2 ...

38 ．在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知 $A ( - 3,0 ) , B ( 1,0 ) , P$ 为圆 $C : ( x - 3 ) ^ { 2 } + ( y - 3 ) ^ { 2 } = 1$ 上动点，则 $| P A | ^ { 2 } + | P B | ^ { 2 }$ 的最小值为（）

A. A. 34
B. B. 40
C. C. 44
D. D. 48

Answer

Answer: B

Solution: 设 $P ( x , y )$ ，则 $| P A | ^ { 2 } + | P B | ^ { 2 } = ( x + 3 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } + ( x - 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } = 2 x ^ { 2 } + 2 y ^ { 2 } + 4 x + 10$ $= 2 \left[ ( x + 1 ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } \right] + 8$, 即 $| P A | ^ { 2 } + | P B | ^ { 2 }$ 等价于点 $P$ 到点 $Q ( - 1,0 )$ 的距离的平方的两倍加八，又 $| P Q | \geq | Q C | - | P C | = \sqrt { ( 3 + 1 ) ^ { 2 } + 3 ^ { 2 } } - 1 = 5 - 1 = 4$ ，即 $| P A | ^ { 2 } + | P B | ^ { 2 } \geq 2 \times 4 ^ { 2 } + 8 = 40$ ．

Question 37

Question 37: 39．已知椭圆 $C _ { 1 } : \frac { x ^ { 2 } } { 13 } + y ^ { 2 } = 1$ ，双曲线 $C _ { 2 } : \frac { x ^ { 2 }...

39．已知椭圆 $C _ { 1 } : \frac { x ^ { 2 } } { 13 } + y ^ { 2 } = 1$ ，双曲线 $C _ { 2 } : \frac { x ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } - \frac { y ^ { 2 } } { b ^ { 2 } } = 1 ( a , b > 0 )$ ，若以 $C _ { 1 }$ 的长轴为直径的圆与 ${ } ^ { C _ { 2 } }$ 的一条渐近线交于 $A 、 B$ 两点，且椭圆 ${ } ^ { C _ { 1 } }$ 与该渐近线的两交点将线段 $A B$ 三等分，则 $C _ { 2 }$ 的离心率是

A. A. $\sqrt { 3 }$
B. B. 3
C. C. $\sqrt { 5 }$
D. D. 5

Answer

Answer: A

Solution: 设 $O A _ { \text {的方程为 } } y = k x \left( k > 0 , x _ { 0 } > 0 \right)$ ， $\therefore _ { \text {设 } } A \left( x _ { 0 } , k x _ { 0 } \right)$ ，由已知得 $| O A | = \sqrt { 13 }$ 即 $\sqrt { 1 + k ^ { 2 } } x _ { 0 } = \sqrt { 13 }$ ，解得 $x _ { 0 } = \frac { \sqrt { 13 } } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } }$ ，故 $A \left( \frac { \sqrt { 13 } } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } , \frac { \sqrt { 13 } k } { \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right)$ ， $\therefore A B$ 的一个三分点坐标为 $\left( \frac { \sqrt { 13 } } { 3 \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } , \frac { \sqrt { 13 } k } { 3 \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right)$ ，该点在椭圆上， $\therefore \frac { \left( \frac { \sqrt { 13 } } { 3 \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } } { 13 } + \left( \frac { \sqrt { 13 } k } { 3 \sqrt { 1 + k ^ { 2 } } } \right) ^ { 2 } = 1$ ，即 $1 + 13 k ^ { 2 } = 9 \left( 1 + k ^ { 2 } \right)$ ，解得 $k ^ { 2 } = 2$ ，从而有 $\frac { b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } = 2 , b ^ { 2 } = 2 a ^ { 2 }$ ，解得 $e = \frac { c } { a } = \sqrt { \frac { a ^ { 2 } + b ^ { 2 } } { a ^ { 2 } } } = \sqrt { 3 }$ ，

Question 38

Question 38: 40．正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$的棱长为 5 ，点 $M$ 在棱 $A B$ 上，且 $A M = 2$ ，点 $P...

40．正方体 $A B C D - A _ { 1 } B _ { 1 } C _ { 1 } D _ { 1 }$的棱长为 5 ，点 $M$ 在棱 $A B$ 上，且 $A M = 2$ ，点 $P$ 是正方体下底面 $A B C D$ 内（含边界）的动点，且动点 $P$ 到直线 ${ } ^ { A _ { 1 } D _ { 1 } }$ 的距离与点 $P$ 到点 $M$ 的距离的平方差为 25 ，则动点 $P$ 到 $B$ 点的最小值是《2025年10月29日高中数学作业》

A. A. $\frac { 7 } { 2 }$
B. B. $2 \sqrt { 3 }$
C. C. $\sqrt { 6 }$
D. D. $\sqrt { 2 }$

Answer

Answer: B

Solution: ![](/images/questions/analytic-geometry/image-005.jpg) 如图所示，作 ${ } ^ { P Q \perp A D } , Q$ 为垂足，则 ${ } ^ { P Q \perp }$ 平面 $^ { A D D _ { 1 } A _ { 1 } }$ ，过点 $Q$ 作 ${ } ^ { Q R \perp A D }$ ，交 ${ } ^ { A } D _ { 1 }$ 于 $R$ ，则 ${ } ^ { A } D _ { 1 } \perp$ 平面 $P Q R$ ，所以 $P R$ 即为 $P$ 到直线 ${ } ^ { A } D _ { 1 }$ 的距离．因为 $P R ^ { 2 } - P M ^ { 2 } = 25$ ，且 $P R ^ { 2 } - P Q ^ { 2 } = R Q ^ { 2 } = 25$ ，所以 $P M = P Q$ ．所以点 $P$ 的轨迹是以 $A D$ 为准线，点 $M$ 为焦点的抛物线． ![](/images/questions/analytic-geometry/image-006.jpg) 如图建立直角坐标系，则点 $P$ 的轨迹方程是 $y ^ { 2 } = 4 x ( 0 \leq y \leq 4 )$ ，点 $_ { A ( - 1,0 ) , B ( 4,0 ) }$ ，设 $P \left( \frac { y ^ { 2 } } { 4 } , y \right)$ ，所以 $| P B | = \sqrt { \left( \frac { y ^ { 2 } } { 4 } - 4 \right) ^ { 2 } + y ^ { 2 } } = \sqrt { \frac { y ^ { 4 } } { 16 } - y ^ { 2 } + 16 }$ $= \sqrt { \frac { 1 } { 16 } \left( y ^ { 2 } - 8 \right) ^ { 2 } + 12 }$ ，所以当 $y ^ { 2 } = 8 , | P B |$ 取得最小值 $2 \sqrt { 3 }$ ．

平面解析几何

知识点概述

重点内容

学习建议

会做单题 ≠ 会考试

相关学习资源