一元一次不等式yīyuán yīcì bùděngshì

核心概念

一元一次不等式是可以写成以下形式的不等式：

$ax + b > 0, \quad ax + b < 0, \quad ax + b \geq 0, \quad \text{或} \quad ax + b \leq 0$

其中 $a \neq 0$，$a$、$b$ 是常数。

标准形式

• $ax + b > 0$（严格大于）
• $ax + b < 0$（严格小于）
• $ax + b \geq 0$（大于或等于）
• $ax + b \leq 0$（小于或等于）

不等式的性质

1. 加减性质

若 $a > b$，则对于任意实数 $c$，有 $a + c > b + c$。

两边同时加减相同的数，不等号方向不变。

2. 乘除性质

正数乘法：若 $a > b$ 且 $c > 0$，则 $ac > bc$。

负数乘法：若 $a > b$ 且 $c < 0$，则 $ac < bc$。

关键规则：乘以或除以负数时，不等号方向要改变。

3. 传递性

若 $a > b$ 且 $b > c$，则 $a > c$。

解法步骤

分步求解过程

1. 化简两边（展开、合并同类项）
2. 移项：含 $x$ 的项移到一边
3. 移项：常数项移到另一边
4. 系数化为 1（除以 $x$ 的系数）
5. 若除以负数，翻转不等号
6. 用区间记号表示解集

例题

解：$3x - 7 \leq 2x + 5$

步骤1：两边减 $2x$ $3x - 2x - 7 \leq 5$ $x - 7 \leq 5$

步骤2：两边加 7 $x \leq 12$

解集：$(-\infty, 12]$

符号翻转的例子

例：负系数

解：$-2x + 6 > 10$

步骤1：减 6 $-2x > 4$

步骤2：除以 -2（翻转符号！） $x < -2$

解集：$(-\infty, -2)$

CSCA练习题

💡 注：以下练习题基于CSCA考试大纲设计。

例题1：基础题（难度 ★☆☆☆☆）

解不等式 $2x - 5 > 7$。

选项：

• A. $x > 6$
• B. $x < 6$
• C. $x > 1$
• D. $x < 1$

解法： $2x - 5 > 7$ $2x > 12$ $x > 6$

答案：A

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例题2：中级（难度 ★★★☆☆）

解不等式 $\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{2} \geq 1$。

解法：

乘以最小公倍数 6： $2(2x - 1) - 3(x + 2) \geq 6$ $4x - 2 - 3x - 6 \geq 6$ $x - 8 \geq 6$ $x \geq 14$

答案：$[14, +\infty)$

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例题3：不等式组（难度 ★★★☆☆）

求不等式组的解集： $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 4 \leq 10 \end{cases}$

解法：

由第一个不等式：$2x > 4$，所以 $x > 2$ 由第二个不等式：$x \leq 6$

综合：$2 < x \leq 6$

答案：$(2, 6]$

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例题4：高级（难度 ★★★★☆）

对于什么值的 $a$，不等式 $ax - 2 > ax + 1$ 无解？

解法：

两边减 $ax$： $-2 > 1$

这永远为假，与 $a$ 的值无关。

因此，对于所有实数 $a$，该不等式都无解。

答案：$a \in \mathbb{R}$（全体实数）

复合不等式

"且"型（交集）

$a < x$ 且 $x < b$ 意味着 $a < x < b$

例：$-3 < 2x + 1 < 7$

分解为：$-3 < 2x + 1$ 且 $2x + 1 < 7$

• $-4 < 2x$ → $x > -2$
• $2x < 6$ → $x < 3$

解集：$-2 < x < 3$，即 $(-2, 3)$

"或"型（并集）

$x < a$ 或 $x > b$

例：$3x - 2 < 1$ 或 $3x - 2 > 7$

分别求解：

• $3x < 3$ → $x < 1$
• $3x > 9$ → $x > 3$

解集：$x < 1$ 或 $x > 3$，即 $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$

常见错误

❌ 错误1：忘记翻转符号

错误：$-3x > 6 \Rightarrow x > -2$ ✗

正确：$-3x > 6 \Rightarrow x < -2$ ✓

❌ 错误2：分数运算错误

错误：$\dfrac{x}{2} > 3$ 乘以 2 得 $x > 1.5$ ✗

正确：$\dfrac{x}{2} > 3 \Rightarrow x > 6$ ✓

❌ 错误3：区间记号错误

错误：$x > 3$ 表示 $(3, \infty]$ ✗

正确：$x > 3$ 表示 $(3, +\infty)$ ✓

学习要点

1. ✅ 标记不等号方向：每一步都要注意
2. ✅ 突出负数乘除：需要翻转符号
3. ✅ 代入检验：验证答案使原不等式成立
4. ✅ 画数轴：直观展示解集

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💡 考试要点：最常见的错误是除以负数时忘记翻转不等号。务必在这一步特别标注！