绝对值不等式juéduìzhí bùděngshì

核心理念

绝对值不等式**包含绝对值符号。解题时需要根据绝对值的定义或利用绝对值的几何意义进行案例分析。

定义

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

几何意义

$|x|$表示数线上$x$点到原点的距离。 $|x - a|$ 表示从点 $x$ 到点 $a$ 的距离。

基本类型

类型 1: $|x| < a$

$|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a \quad (a > 0)$_

例：求解 $|x - 2| < 3$

解： $-3 < x - 2 < 3 \Rightarrow -1 < x < 5$_

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类型 2: $|x| > a$

$|x| > a \Leftrightarrow x < -a \text{ or } x > a \quad (a > 0)$_

例：求解 $|2x + 1| > 5$

解： $2x + 1 < -5 \text{ or } 2x + 1 > 5$_ $x < -3 \text{ or } x > 2$_

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类型 3：距离之和

_$|x - a| + |x - b| \geq |a - b|$

当$x$在$a$与$b$之间时，相等成立。

三角形不等式

$|a + b| \leq |a| + |b|$

当$ab \geq 0$时，等式成立。

常见误解

❌ 误解 1：$|x| < a$的解法错误

错误：$|x| < 2 \Rightarrow x < -2$或 $x < 2$_。

正确：$|x| < 2 \Rightarrow -2 < x < 2$_

❌ 误解 2：联合与相交

错误：$|x| > 2 \Rightarrow -2 < x < 2$

正确：$|x| > 2 \Rightarrow x < -2$或 $x > 2$_。

学习提示

1.✅ 掌握基本公式：$|x| < a$ 和 $|x| > a$ 2.✅ ** 理解几何**：距离概念 3.✅ 练习案例分析：零点法 4.✅ 记住三角形不等式：$|a + b| \leq |a| + |b|$_

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💡 考试提示：绝对值不等式是 CSCA 考试的高频考点！