绝对值不等式juéduìzhí bùděngshì

核心概念

绝对值不等式包含绝对值符号。求解需基于定义进行分情况分析，或运用绝对值的几何意义。

定义

$|x| = \begin{cases} x, & x \geq 0 \\ -x, & x < 0 \end{cases}$

几何

$|x|$ 意义表示数轴上点$x$ 到原点的距离。 $|x - a|$ 表示点$x$ 到点 的$a$ 距离。

基本类型

第一类：

**$|x| < a$

$|x| < a \Leftrightarrow -a < x < a \quad (a > 0)$ 例题**：求解$|x - 2| < 3$ 解法：

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$-3 < x - 2 < 3 \Rightarrow -1 < x < 5$

第二类：

**$|x| > a$

$|x| > a \Leftrightarrow x < -a \text{ or } x > a \quad (a > 0)$ 例题**：求解$|2x + 1| > 5$ 解法： $2x + 1 < -5 \text{ or } 2x + 1 > 5$ $x < -3 \text{ or } x > 2$

第三类：距离之和

当$x$ 介于$a$

$|x - a| + |x - b| \geq |a - b|$ 与 之间$b$ 时，等式成立。

三角不等式

$|a + b| \leq |a| + |b|$ 当 时$ab \geq 0$ ，等式成立。

常见误区

❌ 误区1：对$|x| < a$

的错误解法

错误：$|x| < 2 \Rightarrow x < -2$ 或

$x < 2$ 正确： $|x| < 2 \Rightarrow -2 < x < 2$

❌ 误区2：并集与交集的混淆

错误：

$|x| > 2 \Rightarrow -2 < x < 2$ 正确：$|x| > 2 \Rightarrow x < -2$ 或 $x > 2$

学习要点

1. ✅ 掌握基础公式：$|x| < a$ 和 $|x| > a$
2. ✅ 理解几何原理：距离概念
3. ✅ 练习案例分析：零点法
4. ✅ 牢记三角不等式：$|a + b| \leq |a| + |b|$

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💡 考试提示：绝对值不等式是CSCA考试高频考点！