半角公式

真题怎么考

下面是考过这个概念的 CSCA 真题。先自己做一遍，再展开看答案和解析。

1. CSCA 2025年12月数学真题
   已知 $\cos\alpha=-\frac{1}{2}$，$\alpha\in\left(\frac{\pi}{2},\pi\right)$，则 $\sin\frac{\alpha}{2}$ 的值是（ ）。
   • A．$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • B．$\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • C．$\frac{1}{2}$
   • D．$-\frac{1}{2}$
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   答案：B

   答案：B $\alpha/2\in(\pi/4,\pi/2)$，$\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。因此选 B。
   在整卷中查看：CSCA 2025年12月数学真题
2. CSCA 2026年4月数学真题
   $\cos \alpha = - \frac { 7 } { 25 } , \frac { \pi } { 2 } < \alpha < \pi$ ，则 $\cos \frac { \alpha } { 2 } =$
   • A．$- \frac { 4 } { 5 }$
   • B．$\frac { 4 } { 5 }$
   • C．$\frac { 3 } { 5 }$
   • D．$- \frac { 3 } { 5 }$
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   答案：C

   $\alpha \in \left( \frac { \pi } { 2 } , \pi \right) \Rightarrow \frac { \alpha } { 2 } \in \left( \frac { \pi } { 4 } , \frac { \pi } { 2 } \right)$ ，故 $\cos \frac { \alpha } { 2 } > 0$ 。半角公式： $\cos \frac { \alpha } { 2 } = \sqrt { \frac { 1 + \cos \alpha } { 2 } } = \sqrt { \frac { 1 - 7 / 25 } { 2 } } = \sqrt { \frac { 9 } { 25 } } = \frac { 3 } { 5 }$ 。
   计时做完整套：CSCA 2026年4月数学真题
3. CSCA 2026年6月数学真题
   若 $\alpha \in \left[ \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]$ 且 $\cos \alpha = \frac{3}{5}$，则 $\sin \frac{\alpha}{2} =$
   • A．$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
   • B．$\frac{\sqrt{5}}{5}$
   • C．$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
   • D．$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
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   答案：B

   $\alpha \in \left[ \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right] \Rightarrow \frac{\alpha}{2} \in \left[ \frac{3\pi}{4}, \pi \right]$，故 $\sin \frac{\alpha}{2} \geq 0$。由半角公式 $\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$，故选 B。
   计时做完整套：CSCA 2026年6月数学真题