三角恒等式sānjiǎo héngděngshì

核心理念

三角恒等式是涉及三角函数的等式，对其域中的所有值都成立。掌握这些等式是学习三角函数的关键。

基本等式

勾股定理

$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$ $1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$

商等式

$\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$

还原公式

负角

$\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ $\cos(-\alpha) = \cos\alpha$

互补角

$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos\alpha$ $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin\alpha$

补充角

$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$ $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$

和与差公式

正弦

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

余弦

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

正切

$\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$

双角公式

正弦

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$

余弦

$\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 = 1 - 2\sin^2\alpha$

幂减式： $\cos^2\alpha = \frac{1 + \cos 2\alpha}{2}$ $\sin^2\alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$

正切

$\tan 2\alpha = \frac{2\tan\alpha}{1 - \tan^2\alpha}$

辅助角公式

$a\sin x + b\cos x = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(x + \varphi)$

其中 $\tan\varphi = \frac{b}{a}$

CSCA 练习题

###[Example 1] Basic (Difficulty ★★☆☆)

化简：$\sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \tan^2\alpha$_

解： $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha + \tan^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha = \sec^2\alpha$_

答案**：$\sec^2\alpha$_

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###[Example 2] Intermediate (Difficulty ★★★☆)

已知$\sin\alpha = \frac{3}{5}$，$\alpha \in (0, \frac{\pi}{2})$，求$\sin 2\alpha$。

解：

$\cos\alpha = \sqrt{1 - \sin^2\alpha} = \frac{4}{5}$_

$\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha = 2 \times \frac{3}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{24}{25}$_

答案：$\frac{24}{25}$_

常见误解

❌ 误解 1：还原公式错误

错误：$\sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha$

正确：$\sin(\pi - \alpha) = \sin\alpha$_

❌ 误解 2：混淆和公式

错误：$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha + \sin\beta$

正确：$\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$_

学习提示

1.✅ 分类：基本、还原、和/差、双角 2.✅ 理解推导：不要死记硬背 3.✅ 练习：通过练习巩固 4.✅ 连接公式：许多公式可以相互推导

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💡 考试提示：三角恒等式是三角学的核心，也是 CSCA 的必修课！掌握公式是解决问题的关键。