正弦定理zhèngxián dìnglǐ

核心理念

正弦**法则是解三角形的基本工具，它描述了三角形边长与对角正弦之间的比例关系。

###定理说明

在 $\triangle ABC$ 中，设 $a, b, c$ 分别是与角 $A, B, C$ 相对的边，且 $R$ 是圆周率：

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$_

定理证明

方法 1：面积法

设 $S$ 是 $\triangle ABC$ 的面积：

$S = \frac{1}{2}bc\sin A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}ab\sin C$

由前两个表达式 $bc\sin A = ac\sin B$_ $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

其他关系也可以用类似的方法证明。

方法 2：圆周法

设 $R$ 为 $\triangle ABC$ 的圆周率。过点 $A$ 画直径 $AD$ ，连接 $BD$.

因为$\angle ABD = 90°$（半圆上的角）和$\angle D = \angle C$（同弧所对的角）：

$\sin C = \sin D = \frac{AB}{AD} = \frac{c}{2R}$_

因此 $\frac{c}{\sin C} = 2R$_

其他关系与此类似。

应用

1.给定两个角和一条边 (AAS/ASA)

例：在$\triangle ABC$，$A = 60°$，$B = 45°$，$a = \sqrt{3}$中，求$b$。

解： $\frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A}$_ $b = \frac{a \cdot \sin B}{\sin A} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sin 45°}{\sin 60°} = \sqrt{2}$。

2.给定两个边和一个角 (SSA)

例：在$\triangle ABC$，$a = 8$，$b = 7$，$A = 60°$中，求$B$。

解： $\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{7 \cdot \sin 60°}{8} = \frac{7\sqrt{3}}{16}$。

注：本例可能有两种解法（模棱两可的情况）

3.侧角转换

来自$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$： $a : b : c = \sin A : \sin B : \sin C$_

解的个数（SSA 案例）

给定$a, b, A$，求$B$，其中$\sin B = \frac{b\sin A}{a}$：

1. 无解：$\frac{b\sin A}{a} > 1$_
2. 一个解：
   • $\frac{b\sin A}{a} = 1$（当$B = 90°$时）
   • $b \geq a$（B 是唯一的）
3. 两种解法：$\frac{b\sin A}{a} < 1$和$b < a$ (一个锐角，一个钝角)

CSCA 练习题

💡 注意：以下问题是根据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试形式设计的。

###[Example 1] Basic (Difficulty ★★★☆)

在 $\triangle ABC$, $a = 3$, $b = 5$, $\sin A = \frac{1}{3}$ 中，找出 $\sin B$.

解：

根据正弦定律 $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$__。

$\sin B = \frac{b \cdot \sin A}{a} = \frac{5 \cdot \frac{1}{3}}{3} = \frac{5}{9}$_

答案：_$\sin B = \frac{5}{9}$

常见误解

❌ 误解 1：忘记检查解的数目

错误：在 SSA 案例中不检查是否有 0、1 或 2 个解

正确：必须分析条件以确定解的数量

❌ 误区 2：圆周率公式错误

错误：$\frac{a}{\sin A} = R$

正确：$\frac{a}{\sin A} = 2R$_

学习提示

1.✅ 理解本质：边与对角的正弦成正比 2.✅ 记忆公式：$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$_ 3.✅ 掌握应用：AAS、ASA、SSA 案例 4.✅ 检查解数：特别是 SSA 案例

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💡 考试提示：正弦定理是解三角形的核心工具，是 CSCA 考试的必考题型！约占三角形解题的 50%。