余弦定理yúxián dìnglǐ

核心理念

余弦定理**是解三角形的基本工具，它描述了三条边与角的余弦之间的关系。它是勾股定理的概括。

###定理说明

在 $\triangle ABC$ 中，设 $a, b, c$ 分别是与角 $A, B, C$ 相对的边：

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$_ $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$ $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

推论 （求解角度）： $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

应用

1.给定两边并包含角 (SAS)

例：在$\triangle ABC$，$b = 3$，$c = 4$，$A = 60°$中，求$a$。

解： $a^2 = 9 + 16 - 2(3)(4)\cos 60° = 25 - 12 = 13$_ $a = \sqrt{13}$。

2.给定三边 (SSS)，求角

例：在 $\triangle ABC$, $a = 5$, $b = 7$, $c = 8$ 中，求 $\cos A$.

解： $\cos A = \frac{49 + 64 - 25}{112} = \frac{11}{14}$_

与勾股定理的关系

当$A = 90°$时，$\cos A = 0$： $a^2 = b^2 + c^2$

这就是毕达哥拉斯定理。因此，余弦定理概括了勾股定理。

常见误解

❌ 误解 1：公式中的符号错误

错误：$a^2 = b^2 + c^2 + 2bc\cos A$

正确：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$（减号）

学习提示

1.✅ 理解本质：余弦定理概括勾股定理 2.✅ 记忆公式：$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$_ 3.✅ 掌握应用：SAS 和 SSS 案例 4.✅ 结合正弦定律：灵活使用

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💡 考试提示：余弦定律与正弦定律同样重要，是 CSCA 考试的必考内容！