正弦函数zhèngxián hánshù

核心理念

正弦函数**是基本三角函数之一，描述了直角三角形中一个角与对边和斜边之比之间的关系。在单位圆上，正弦函数表示一个点的 y 坐标。

数学定义

在直角三角形中，对于锐角 $\alpha$： $\sin \alpha = \frac{\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}$_

在单位圆上，如果角 $\alpha$ 终止于点 $P(x, y)$： $\sin \alpha = y$

函数形式

$y = \sin x, \quad x \in \mathbb{R}$

图形和性质

基本性质

1. 域：$\mathbb{R}$（全部实数）
2. 范围**：$[-1, 1]$（所有实数
3. 周期：$T = 2\pi$_
4. 极性：奇函数，$\sin(-x) = -\sin x$
5. 对称性：
   • 关于原点对称
   • 关于直线的对称 $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)

单调性

• ** 递增区间**：$\left[-\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{\pi}{2} + 2k\pi\right]$ ($k \in \mathbb{Z}$)
• ** 递减区间**：$\left[\frac{\pi}{2} + 2k\pi, \frac{3\pi}{2} + 2k\pi\right]$ ($k \in \mathbb{Z}$)

特殊值

| 角 | $0$ | $\frac{\pi}{6}$ | $\frac{\pi}{4}$ | $\frac{\pi}{3}$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\pi$ | $\pi$ |-------|-----|----------------|----------------|----------------|----------------|------| | $\sin$ | $0$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $1$ | $0$ | $0$

###极值

• ** 最大值**：$1$, at $x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi$ ($k \in \mathbb{Z}$)
• Minimum：$-1$，在$x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi$处 ($k \in \mathbb{Z}$_)。

重要公式

基本特性

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

还原公式

• $\sin(\pi - x) = \sin x$
• $\sin(\pi + x) = -\sin x$__数学公式
• $\sin(2\pi - x) = -\sin x$
• _$\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x$
• $\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x$

和差公式

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

倍角公式

$\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$

CSCA 练习题

💡 注意：以下练习题根据 CSCA 考试大纲和中国标准化考试形式设计，帮助学生熟悉考试题型和解题策略。

###[Example 1] Basic (Difficulty ★★★☆☆)

已知 $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ 和 $\alpha$ 在第二象限，求 $\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$.

解：

由 $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$： $\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$_

因为$\alpha$在第二象限，所以$\cos \alpha < 0$： $\cos \alpha = -\frac{4}{5}$_

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{3/5}{-4/5} = -\frac{3}{4}$

答案：$\cos \alpha = -\frac{4}{5}$, $\tan \alpha = -\frac{3}{4}$

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###[Example 2] Intermediate (Difficulty ★★★☆)

求$y = 2\sin x + 1$在$[0, 2\pi]$上的最大值和最小值。

解：

因为$\sin x \in [-1, 1]$：

最大：当$\sin x = 1$（在$x = \frac{\pi}{2}$处），$y_{max} = 2 \times 1 + 1 = 3$时

最小：当$\sin x = -1$（在$x = \frac{3\pi}{2}$处），$y_{min} = 2 \times (-1) + 1 = -1$时

答案：最大值是$3$，最小值是$-1$。

常见误解

❌ 误解 1：混淆句号

错误：认为正弦函数有周期 $\pi$

正确：正弦函数的周期是$2\pi$, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$_。

❌ 错误概念 2：忘记考虑象限

错：从$\sin \alpha = \frac{3}{5}$直接得出$\cos \alpha = \frac{4}{5}$的结论

正确：必须根据象限确定$\cos \alpha$的符号

学习提示

1.✅ 记忆特殊值：$0°, 30°, 45°, 60°, 90°$的正弦值 2.✅ 理解图形：绘制并理解周期性和对称性 3.✅ 掌握公式：还原、和/差、双角公式 4.✅ 区分象限：正弦值在不同象限有不同符号

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💡 考试提示：正弦函数是三角函数的核心，约占 CSCA 考试中三角函数问题的 40%。必须彻底理解和掌握！