Half-Angle Formulas

Đề thi thật hỏi khái niệm này thế nào

Các câu hỏi trong đề thi CSCA thật có kiểm tra khái niệm này. Hãy tự làm trước khi mở đáp án.

1. CSCA Math December 2025 Past Paper
   Given $\cos\alpha=-\frac{1}{2}$ and $\alpha\in(\frac{\pi}{2},\pi)$, find $\sin\frac{\alpha}{2}$.
   • A．$-\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • B．$\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • C．$\frac{1}{2}$
   • D．$-\frac{1}{2}$
   Xem đáp án và lời giải

   Đáp án: B

   Answer: B Since $\alpha/2\in(\pi/4,\pi/2)$, $\sin\frac{\alpha}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos\alpha}{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Choose B.
   Xem trong toàn bộ CSCA Math December 2025 Past Paper
2. CSCA Math April 2026 Past Paper
   If $\cos \alpha = - \frac { 7 } { 25 }$ and $\frac { \pi } { 2 } < \alpha < \pi$, then $\cos \frac { \alpha } { 2 } =$
   • A．$- \frac { 4 } { 5 }$
   • B．$\frac { 4 } { 5 }$
   • C．$\frac { 3 } { 5 }$
   • D．$- \frac { 3 } { 5 }$
   Xem đáp án và lời giải

   Đáp án: C

   $\frac { \alpha } { 2 } \in \left( \frac { \pi } { 4 } , \frac { \pi } { 2 } \right)$, so $\cos \frac { \alpha } { 2 } > 0$. Half-angle: $\cos \frac { \alpha } { 2 } = \sqrt { \frac { 1 + \cos \alpha } { 2 } } = \sqrt { \frac { 18 / 25 } { 2 } } = \sqrt { \frac { 9 } { 25 } } = \frac { 3 } { 5 }$.
   Làm trọn bộ CSCA Math April 2026 Past Paper — có bấm giờ và chấm điểm
3. CSCA Math June 2026 Past Paper
   If $\alpha \in \left[ \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right]$, and $\cos \alpha = \frac{3}{5}$, then $\sin \frac{\alpha}{2} =$
   • A．$-\frac{\sqrt{5}}{5}$
   • B．$\frac{\sqrt{5}}{5}$
   • C．$-\frac{2\sqrt{5}}{5}$
   • D．$\frac{2\sqrt{5}}{5}$
   Xem đáp án và lời giải

   Đáp án: B

   $\alpha \in \left[ \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right] \Rightarrow \frac{\alpha}{2} \in \left[ \frac{3\pi}{4}, \pi \right]$, so $\sin \frac{\alpha}{2} \geq 0$. By the half-angle formula, $\sin \frac{\alpha}{2} = \sqrt{\frac{1 - \cos \alpha}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{3}{5}}{2}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$. Choose (B).
   Làm trọn bộ CSCA Math June 2026 Past Paper — có bấm giờ và chấm điểm