一元一次不等式yīyuán yīcì bùděngshì

แนวคิดหลัก

ความไม่เท่ากันเชิงเส้นในตัวแปรเดียว คือความไม่เท่ากันที่สามารถเขียนได้ในรูปแบบ:

$ax + b > 0, \quad ax + b < 0, \quad ax + b \geq 0, \quad \text{or} \quad ax + b \leq 0$

โดยที่ $a \neq 0$, $a$ และ $b$ เป็นค่าคงที่

แบบฟอร์มมาตรฐาน

• $ax + b > 0$ (ใหญ่กว่าอย่างเคร่งครัด)
• $ax + b < 0$ (น้อยกว่าอย่างเคร่งครัด)
• $ax + b \geq 0$ (มากกว่าหรือเท่ากับ)
• $ax + b \leq 0$ (น้อยกว่าหรือเท่ากับ)

คุณสมบัติของความไม่เท่ากัน

1. คุณสมบัติของการบวก/การลบ

หาก $a > b$ แล้ว $a + c > b + c$ สำหรับจำนวนจริงใดๆ $c$

การบวกหรือลบจำนวนเดียวกันจากทั้งสองข้างจะรักษาทิศทางของความไม่เท่ากันไว้

2. คุณสมบัติของการคูณ/การหาร

ตัวคูณเชิงบวก: หาก $a > b$ และ $c > 0$ ก็จะมี $ac > bc$

ตัวคูณเชิงลบ: หาก $a > b$ และ $c < 0$ ก็จะเป็น $ac < bc$

กฎสำคัญ: เมื่อคูณหรือหารด้วยจำนวนลบ ให้ เปลี่ยนเครื่องหมายไม่เท่า

3. ความถ่ายโอน

หากเป็น $a > b$ และ $b > c$ ก็จะเป็น $a > c$

วิธีแก้ปัญหา

ขั้นตอนการทำงานทีละขั้นตอน

1. ทำให้ทั้งสองข้างง่ายขึ้น (แจกแจง, รวมตัวประกอบที่เหมือนกัน)
2. ย้ายตัวแปรไปด้านหนึ่ง
3. ย้ายตัวคงที่ไปยังด้านอีกข้าง
4. หารด้วยสัมประสิทธิ์ของ $x$
5. หากหารด้วยจำนวนลบ ให้กลับเครื่องหมายไม่เท่า
6. แสดงคำตอบในรูปแบบช่วง

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

คำตอบ: $3x - 7 \leq 2x + 5$

ขั้นตอนที่ 1: ลบ $2x$ จากทั้งสองข้าง $3x - 2x - 7 \leq 5$ $x - 7 \leq 5$

ขั้นตอนที่ 2: เพิ่ม 7 เข้าไปทั้งสองข้าง $x \leq 12$

คำตอบ: $(-\infty, 12]$

ตัวอย่างที่มีเครื่องหมายกลับด้าน

ตัวอย่าง: ค่าสัมประสิทธิ์ลบ

คำตอบ: $-2x + 6 > 10$

ขั้นตอนที่ 1: ลบ 6 $-2x > 4$

ขั้นตอนที่ 2: แบ่งด้วย -2 (เปลี่ยนเครื่องหมาย!) $x < -2$

คำตอบ: $(-\infty, -2)$

ข้อฝึกทำของ CSCA

💡 หมายเหตุ: ข้อฝึกฝนต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามเนื้อหาของหลักสูตรสอบ CSCA

ตัวอย่าง 1: ระดับพื้นฐาน (ระดับความยาก ★☆☆☆☆)

แก้สมการ $2x - 5 > 7$.

ตัวเลือก:

• A. $x > 6$
• B. $x < 6$
• C. $x > 1$
• D. $x < 1$

วิธีแก้ปัญหา: $2x - 5 > 7$ $2x > 12$ $x > 6$

คำตอบ: A

---

ตัวอย่างที่ 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

แก้สมการ $\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{2} \geq 1$.

วิธีแก้ปัญหา:

คูณด้วย LCD = 6: $2(2x - 1) - 3(x + 2) \geq 6$ $4x - 2 - 3x - 6 \geq 6$ $x - 8 \geq 6$ $x \geq 14$

คำตอบ: $[14, +\infty)$

---

ตัวอย่าง 3: ระบบไม่เท่ากัน (ระดับความยาก ★★★☆☆)

หาชุดคำตอบของระบบสมการต่อไปนี้: $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 4 \leq 10 \end{cases}$

วิธีแก้ปัญหา:

จากความไม่เท่ากันแรก: $2x > 4$ ดังนั้น $x > 2$ จากความไม่เท่ากันข้อที่สอง: $x \leq 6$

รวม: $2 < x \leq 6$

คำตอบ: $(2, 6]$

---

ตัวอย่าง 4: ระดับสูง (ระดับความยาก ★★★★☆)

สำหรับค่าของ $a$ ใด ที่ $ax - 2 > ax + 1$ ไม่มีคำตอบ?

วิธีแก้ปัญหา:

หัก $ax$ จากทั้งสองข้าง: $-2 > 1$

สิ่งนี้ผิดเสมอ ไม่ว่า $a$ จะเป็นอย่างไร

ดังนั้น ความไม่เท่ากันนี้จึงไม่มีคำตอบสำหรับ ทุกค่าจริงของ $a$

คำตอบ: $a \in \mathbb{R}$ (ทั้งหมดเป็นตัวเลขจริง)

ความไม่เท่ากันแบบผสม

ประเภท "And" (การตัดกัน)

$a < x$ และ $x < b$ หมายถึง $a < x < b$

ตัวอย่าง: $-3 < 2x + 1 < 7$

แก้เป็น: $-3 < 2x + 1$ และ $2x + 1 < 7$

• $-4 < 2x$ → $x > -2$
• $2x < 6$ → $x < 3$

วิธีแก้ไข: $-2 < x < 3$ หรือ $(-2, 3)$

ประเภท "หรือ" (Union)

$x < a$ หรือ $x > b$

ตัวอย่าง: $3x - 2 < 1$ หรือ $3x - 2 > 7$

แก้แต่ละข้อ:

• $3x < 3$ → $x < 1$
• $3x > 9$ → $x > 3$

วิธีแก้ไข: $x < 1$ หรือ $x > 3$ หรือ $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย

ผิด: $-3x > 6 \Rightarrow x > -2$ ✗

ถูกต้อง: $-3x > 6 \Rightarrow x < -2$ ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: การคำนวณเศษส่วนผิด

ผิด: นำ $\dfrac{x}{2} > 3$ คูณด้วย 2 เพื่อได้ $x > 1.5$ ✗

ถูกต้อง: $\dfrac{x}{2} > 3 \Rightarrow x > 6$ ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: การเขียนสัญลักษณ์ช่วงผิด

ผิด: $x > 3$ หมายถึง $(3, \infty]$ ✗

ถูกต้อง: $x > 3$ หมายถึง $(3, +\infty)$ ✓

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ ทำเครื่องหมายทิศทางของความไม่เท่ากัน: ติดตามไว้ตลอดทุกขั้นตอน
2. ✅ เน้นตัวคูณเชิงลบ: ตัวคูณเหล่านี้ต้องเปลี่ยนเครื่องหมาย
3. ✅ ตรวจสอบด้วยค่าทดสอบ: ตรวจสอบว่าคำตอบของคุณทำให้ประโยคต้นเดิมเป็นจริง
4. ✅ วาดเส้นจำนวน: แสดงชุดคำตอบให้เห็นได้ชัดเจน

---

💡 เคล็ดลับในการสอบ: ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการลืมกลับเครื่องหมายไม่เท่าเมื่อหารด้วยจำนวนลบ ให้เน้นขั้นตอนนี้เสมอ!