区间qūjiān

แนวคิดหลัก

ช่วง แสดงถึงเซตย่อยต่อเนื่องของจำนวนจริง สัญกรณ์ช่วงเป็นวิธีที่กระชับในการอธิบายขอบเขตของตัวเลขบนเส้นจำนวน

คำจำกัดความ

ช่วงคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดระหว่างจุดปลายสองจุด $a$ และ $b$ โดยที่ $a \leq b$

สี่ประเภทพื้นฐาน

ประเภทที่ 1: ช่วงปิด $[a, b]$

$[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}$

รวมจุดปลายทั้งสอง

ตัวอย่าง: $[1, 5]$ ประกอบด้วย $1, 2, 3, 4, 5$ และจำนวนจริงทั้งหมดระหว่างนั้น

---

ประเภทที่ 2: ช่วงเปิด $(a, b)$

$(a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}$

ไม่รวมจุดปลายทั้งสอง

ตัวอย่าง: $(1, 5)$ ประกอบด้วยตัวเลขทั้งหมดระหว่าง $1$ และ $5$ แต่ไม่รวม $1$ และ $5$ เอง

---

ประเภทที่ 3: ช่วงกึ่งเปิด $[a, b)$

$[a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}$

รวมจุดปลายซ้าย ไม่รวมจุดปลายขวา

ตัวอย่าง: $[1, 5)$ รวม $1$ แต่ไม่รวม $5$

---

ประเภทที่ 4: ช่วงกึ่งเปิด $(a, b]$

$(a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}$

ไม่รวมจุดปลายซ้าย รวมจุดปลายขวา

ตัวอย่าง: $(1, 5]$ รวม $5$ แต่ไม่รวม $1$

ช่วงไม่จำกัด

ช่วงสามารถขยายไปถึงอนันต์:

สัญกรณ์	คำอธิบาย	สัญกรณ์เซต
$[a, +\infty)$	ทุก $x \geq a$	$\{x \in \mathbb{R} : x \geq a\}$
$(a, +\infty)$	ทุก $x > a$	$\{x \in \mathbb{R} : x > a\}$
$(-\infty, b]$	ทุก $x \leq b$	$\{x \in \mathbb{R} : x \leq b\}$
$(-\infty, b)$	ทุก $x < b$	$\{x \in \mathbb{R} : x < b\}$
$(-\infty, +\infty)$	จำนวนจริงทั้งหมด	$\mathbb{R}$

สำคัญ: อนันต์เขียนด้วยวงเล็บเสมอเพราะ $\infty$ ไม่ใช่จุดปลาย

กฎของวงเล็บ

วงเล็บ	ความหมาย	สัญลักษณ์
$[$ หรือ $]$	รวมจุดปลาย	จุดทึบ
$($ หรือ $)$	ไม่รวมจุดปลาย	จุดเปิด

การดำเนินการของช่วง

อินเตอร์เซกชัน (ส่วนร่วม)

$[1, 5] \cap [3, 7] = [3, 5]$

สมาชิกร่วมของทั้งสองช่วง

ยูเนียน (รวม)

$[1, 3] \cup [5, 7] = [1, 3] \cup [5, 7]$

สมาชิกทั้งหมดที่อยู่ในช่วงอย่างน้อยหนึ่งช่วง

คอมพลีเมนต์ (ส่วนเติมเต็ม)

$[1, 5]^c = (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$

จำนวนจริงทั้งหมดที่ไม่อยู่ในช่วง

โจทย์ฝึกหัด CSCA

1. เขียนเซตคำตอบของ $-2 < x \leq 5$ ในสัญกรณ์ช่วง

2. คำนวณ: $[0, 4] \cap (2, 6]$

3. หาคอมพลีเมนต์ของ $(1, 3)$ เทียบกับ $\mathbb{R}$

4. ถ้า $A = [-1, 3]$ และ $B = (0, 5)$ หา $A \cup B$ และ $A \cap B$

---

เฉลย:

1. $(-2, 5]$
2. $(2, 4]$
3. $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$
4. $A \cup B = [-1, 5)$, $A \cap B = (0, 3]$

---

เคล็ดลับการเรียน: สัญกรณ์ช่วงเป็นพื้นฐานสำหรับการเข้าใจโดเมนของฟังก์ชันและคำตอบของอสมการในข้อสอบ CSCA!