并集bìngjí

แนวคิดหลัก

ยูเนียน (ส่วนรวม) ของสองเซต A และ B เขียนแทนด้วย A ∪ B คือเซตที่ประกอบด้วยสมาชิกทั้งหมดที่อยู่ใน A หรือ B (หรือทั้งสอง)

นิยามทางคณิตศาสตร์

$A \cup B = \{x | x \in A \text{ หรือ } x \in B\}$

สมาชิกจะอยู่ในยูเนียนก็ต่อเมื่อมันอยู่ใน อย่างน้อยหนึ่ง เซต

สมบัติสำคัญ

1. สมบัติการสลับที่

$A \cup B = B \cup A$

2. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

3. สมบัติเอกลักษณ์

$A \cup \emptyset = A$ (เซตว่างเป็นเอกลักษณ์)

4. สมบัติ Idempotent

$A \cup A = A$

5. ยูเนียนกับเอกภพสัมพัทธ์

$A \cup U = U$ (โดยที่ U คือเอกภพสัมพัทธ์)

สูตรจำนวนสมาชิก

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

สูตรนี้ทำให้แน่ใจว่าสมาชิกร่วมจะไม่ถูกนับซ้ำ

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1: เซตจำกัด

กำหนดให้: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

หา: A ∪ B

วิธีทำ: สมาชิกทั้งหมดจากทั้งสองเซต: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

คำตอบ: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

ตัวอย่างที่ 2: ยูเนียนของช่วง

กำหนดให้: A = [-2, 3], B = [1, 5]

หา: A ∪ B

วิธีทำ: ยูเนียนของทั้งสองช่วงคือ [-2, 5]

คำตอบ: A ∪ B = [-2, 5]

โจทย์ฝึกหัด CSCA

ตัวอย่างที่ 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★☆☆☆☆)

ถ้า A = {a, b, c, d} และ B = {c, d, e, f} จงหา A ∪ B

วิธีทำ: สมาชิกทั้งหมด: a, b, c, d, e, f

คำตอบ: {a, b, c, d, e, f}

ตัวอย่างที่ 2: ระดับกลาง (ระดับความยาก ★★★☆☆)

ถ้า |A| = 5, |B| = 4 และ |A ∩ B| = 2 จงหา |A ∪ B|

วิธีทำ: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 5 + 4 - 2 = 7$

คำตอบ: 7

ตัวอย่างที่ 3: ขั้นสูง (ระดับความยาก ★★★★☆)

ถ้า A ∪ B = A ความสัมพันธ์ระหว่างเซต A และ B คืออะไร?

วิธีทำ: ถ้า A ∪ B = A แล้วทุกสมาชิกของ B ต้องอยู่ใน A ด้วย

คำตอบ: B ⊆ A (B เป็นสับเซตของ A)

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ข้อผิดพลาดที่ 1: สับสนระหว่างยูเนียนกับอินเตอร์เซกชัน

ผิด: A ∪ B รวมเฉพาะสมาชิกร่วมเท่านั้น

ถูก: A ∪ B รวมสมาชิกทั้งหมดจากทั้งสองเซต

ข้อผิดพลาดที่ 2: นับจำนวนสมาชิกซ้ำ

ผิด: |A ∪ B| = |A| + |B|

ถูก: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

เคล็ดลับการเรียน

1. คิดแบบ "หรือ": ยูเนียนหมายถึง OR - สมาชิกต้องอยู่ในอย่างน้อยหนึ่งเซต
2. วาดแผนภาพเวนน์: การแสดงภาพช่วยหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด
3. จำสูตรจำนวนสมาชิก: ต้องลบอินเตอร์เซกชันเสมอ!

---

เคล็ดลับสอบ: สำหรับโจทย์จำนวนสมาชิก ใช้สูตร |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B| เสมอ!