补集bǔjí

แนวคิดหลัก

คอมพลีเมนต์ (ส่วนเติมเต็ม) ของเซต A เขียนแทนด้วย $\complement_U A$ หรือ $\overline{A}$ หรือ $A^c$ คือเซตของสมาชิกทั้งหมดในเอกภพสัมพัทธ์ U ที่ไม่อยู่ใน A

นิยามทางคณิตศาสตร์

$\complement_U A = \{x | x \in U \text{ และ } x \notin A\}$

คอมพลีเมนต์ประกอบด้วยสมาชิกที่อยู่ในเอกภพสัมพัทธ์แต่ไม่อยู่ใน A อย่างแน่นอน

รูปแบบสัญลักษณ์

• $\complement_U A$ - สัญลักษณ์มาตรฐานที่เน้นเอกภพสัมพัทธ์
• $\overline{A}$ - สัญลักษณ์เส้นบน
• $A^c$ หรือ $A'$ - สัญลักษณ์ตัวยก
• $U - A$ - สัญลักษณ์ผลต่างของเซต

การแสดงด้วยภาพ

ในแผนภาพเวนน์ คอมพลีเมนต์คือบริเวณนอกเซต A แต่อยู่ภายในเอกภพสัมพัทธ์

  U: [#############]
     [####]  A  [  ]

บริเวณแรเงา [####] แทน $\complement_U A$

สมบัติสำคัญ

1. คอมพลีเมนต์ของคอมพลีเมนต์

$\complement_U(\complement_U A) = A$

2. คอมพลีเมนต์ของเอกภพสัมพัทธ์

$\complement_U U = \emptyset$

3. คอมพลีเมนต์ของเซตว่าง

$\complement_U \emptyset = U$

4. ยูเนียนกับคอมพลีเมนต์

$A \cup \complement_U A = U$

5. อินเตอร์เซกชันกับคอมพลีเมนต์

$A \cap \complement_U A = \emptyset$

6. กฎของเดอมอร์แกน

$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$ $\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B$

ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1: เซตจำกัด

กำหนดให้: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}

หา: $\complement_U A$

วิธีทำ: สมาชิกใน U แต่ไม่อยู่ใน A: 1, 3, 5

คำตอบ: $\complement_U A$ = {1, 3, 5}

ตัวอย่างที่ 2: เซตของจำนวนจริง

กำหนดให้: U = ℝ, A = {x | x ≥ 2}

หา: $\complement_U A$

วิธีทำ: จำนวนจริงที่ไม่ ≥ 2 หมายความว่า < 2

คำตอบ: $\complement_U A$ = {x | x < 2} = (-∞, 2)

ตัวอย่างที่ 3: คอมพลีเมนต์ของช่วง

กำหนดให้: U = ℝ, A = (-1, 3]

หา: $\complement_U A$

วิธีทำ: จำนวนจริงทั้งหมดยกเว้นที่อยู่ใน (-1, 3]

คำตอบ: $\complement_U A$ = (-∞, -1] ∪ (3, +∞)

โจทย์ฝึกหัด CSCA

💡 หมายเหตุ: โจทย์ฝึกหัดต่อไปนี้ออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA

ตัวอย่างที่ 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

ถ้า U = {1, 2, 3, 4, 5} และ A = {1, 3, 5} จงหา $\complement_U A$

ตัวเลือก:

• A. {1, 3, 5}
• B. {2, 4}
• C. {1, 2, 3, 4, 5}
• D. ∅

วิธีทำ: สมาชิกใน U แต่ไม่อยู่ใน A: 2, 4

คำตอบ: B

---

ตัวอย่างที่ 2: ปานกลาง (ระดับความยาก ★★★☆☆)

กำหนดให้ U = ℝ, A = {x | x² - 4 ≤ 0} จงหา $\complement_U A$

วิธีทำ:

แก้อสมการก่อน: $x² - 4 ≤ 0$ $(x-2)(x+2) ≤ 0$ $A = [-2, 2]$

คอมพลีเมนต์คือจำนวนจริงทั้งหมดนอกช่วงนี้: $\complement_U A = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

คำตอบ: $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

---

ตัวอย่างที่ 3: ขั้นสูง (ระดับความยาก ★★★★☆)

ถ้า U = ℝ, A = {x | x > 1}, B = {x | x > 2} จงหา $\complement_U A \cup B$

วิธีทำ:

$\complement_U A$ = {x | x ≤ 1} = (-∞, 1] B = {x | x > 2} = (2, +∞)

$\complement_U A \cup B = (-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$

คำตอบ: $(-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$

กฎของเดอมอร์แกนอย่างละเอียด

กฎที่ 1: คอมพลีเมนต์ของยูเนียน

$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$

ตัวอย่าง: ถ้า A = {1, 2}, B = {2, 3}, U = {1, 2, 3, 4}

• A ∪ B = {1, 2, 3}
• $\complement_U(A \cup B)$ = {4}
• $\complement_U A$ = {3, 4}, $\complement_U B$ = {1, 4}
• $\complement_U A \cap \complement_U B$ = {4} ✓

กฎที่ 2: คอมพลีเมนต์ของอินเตอร์เซกชัน

$\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ลืมเอกภพสัมพัทธ์

ผิด: $\complement A$ = {สมาชิกทั้งหมดที่ไม่อยู่ใน A} ✗

ถูก: $\complement_U A$ = {สมาชิกใน U ที่ไม่อยู่ใน A} ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: ขอบเขตช่วงผิด

ผิด: ถ้า A = [1, 3] แล้ว $\complement_\mathbb{R} A$ = (-∞, 1] ∪ [3, +∞) ✗

ถูก: $\complement_\mathbb{R} A$ = (-∞, 1) ∪ (3, +∞) ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: ผิดเครื่องหมายในกฎเดอมอร์แกน

ผิด: $\complement(A \cup B)$ = $\complement A \cup \complement B$ ✗

ถูก: $\complement(A \cup B)$ = $\complement A \cap \complement B$ ✓

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ ระบุ U ก่อนเสมอ: เอกภพสัมพัทธ์กำหนดคอมพลีเมนต์
2. ✅ สลับขอบเขตสำหรับช่วง: เปิด ↔ ปิด เมื่อหาคอมพลีเมนต์
3. ✅ เชี่ยวชาญกฎเดอมอร์แกน: "ทำลายเส้น เปลี่ยนเครื่องหมาย"
4. ✅ คอมพลีเมนต์สองครั้งได้ต้นฉบับ: $\complement(\complement A) = A$

---

💡 เคล็ดลับสอบ: เมื่อหาคอมพลีเมนต์ของช่วง จำไว้ว่า: ขอบปิดกลายเป็นเปิด และเปิดกลายเป็นปิด!