二次方程èrcì fāngchéng

แนวคิดหลัก

สมการกำลังสอง คือสมการพหุนามที่มีเลขชี้กำลังของตัวแปรสูงสุดเป็น 2 เป็นหนึ่งในประเภทสมการพื้นฐานที่สุดในพีชคณิต

รูปแบบมาตรฐาน

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$ โดยที่: -$a$ คือสัมประสิทธิ์ของ$x^2$ (ไม่สามารถเป็น 0 ได้) -$b$ คือสัมประสิทธิ์ของ $x$ -$c$ คือค่าคงที่ -$x$ คือตัวแปร

วิธีการแก้สมการ

วิธีที่ 1: การแยกตัวประกอบ

เมื่อสมการสามารถแยกตัวประกอบได้ นี่เป็นวิธีที่ตรงที่สุด

ตัวอย่าง:$x^2 - 5x + 6 = 0$ ขั้นตอนที่ 1: แยก $(x - 2)(x - 3) = 0$ ตัวประกอบขั้นตอนที่ 2: ตั้งแต่ละตัวประกอบให้เป็นศูนย์

**คำตอบ $x - 2 = 0 \text{ or } x - 3 = 0$ **:$x = 2$ หรือ $x = 3$

วิธีที่ 2: การเติมกำลังสองให้สมบูรณ์

เปลี่ยนสมการให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ตัวอย่าง:$x^2 + 6x + 5 = 0$ ขั้นตอนที่ 1: จัดเรียง $x^2 + 6x = -5$ ใหม่ ขั้นตอนที่ 2: ทำให้เป็นกำลังสอง ** $x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$ $(x + 3)^2 = 4$ ขั้นตอนที่ 3**: หาค่าราก $x + 3 = \pm 2$ ที่สอง

คำตอบ:$x = -1$ หรือ$x = -5$

วิธีที่ 3: สูตรกำลังสอง

วิธีสากลนี้ใช้ได้กับสมการกำลังสองทุกสมการ:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ โดยที่$\Delta = b^2 - 4ac$ เรียกว่า ตัวแยก

การวิเคราะห์เชิงแยกแยะ

-$\Delta > 0$ : รากจริงสองค่าที่แตกต่างกัน -$\Delta = 0$ : รากจริงสองค่าเท่ากัน (รากซ้ำ) -$\Delta < 0$ : ไม่มีรากจริง (มีรากเชิงซ้อนสองค่าซึ่งมีค่าซ้อนกัน)

สูตรของวีเอตา

ถ้า$x_1$ และ$x_2$ เป็นรากของ $ax^2 + bx + c = 0$ แล้ว:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (ผลรวมของราก)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (ผลคูณของราก)

การประยุกต์ใช้ในโลกจริง

การประยุกต์ใช้ที่ 1: ปัญหาพื้นที่

ปัญหา: แปลงสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวมากกว่าความกว้าง 4 เมตร พื้นที่คือ 60 ตารางเมตร หาขนาดของแปลง

วิธีแก้: ให้ ความกว้าง =$x$ , ความยาว =

**คำตอบ$x + 4$

$x(x + 4) = 60$ $x^2 + 4x - 60 = 0$ $(x + 10)(x - 6) = 0$ **: ความกว้าง = 6 เมตร, ความยาว = 10 เมตร (ตัดค่าที่เป็นลบออก)

การประยุกต์ใช้ 2: การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์

ปัญหา: วัตถุถูกโยนขึ้นไปในแนวดิ่งด้วยความสูง$h = 20t - 5t^2$ (เมตร) เมื่อใดที่วัตถุตกถึงพื้น?

วิธีแก้: ตั้ง

**คำตอบ$h = 0$ $20t - 5t^2 = 0$ $5t(4 - t) = 0$ **:$t = 4$ วินาที ($t = 0$ คือเวลาที่วัตถุถูกโยน)

การประยุกต์ 3: การเพิ่มกำไรสูงสุด

ปัญหา: สินค้าที่มีราคา$x$ ขายได้$(100-x)$ หน่วยต่อวัน ต้นทุนคือ $40/หน่วย หาค่าที่เหมาะสมที่สุดของราคาขาย

ฟังก์ชันกำไร: $P = (x - 40)(100 - x) = -x^2 + 140x - 4000$ สูงสุด: ที่จุดยอด

$x = -\frac{140}{2(-1)} = 70$ คำตอบ: ราคาที่ $70 ทำให้กำไรสูงสุด

แบบฝึกหัด CSCA

> 💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบการทดสอบมาตรฐานของจีน เพื่อช่วยให้นักเรียนคุ้นเคยกับรูปแบบคำถามและวิธีการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

แก้สมการโดยการแยกตัวประกอบ: $x^2 - 7x + 12 = 0$

ตัวเลือก:

• A.$x = 2$ หรือ $x = 5$
• B.$x = 3$ หรือ $x = 4$
• C.$x = 1$ หรือ $x = 12$
• D.$x = -3$ หรือ$x = -4$ วิธีทำ:

$x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0$ $x = 3 \text{ or } x = 4$ คำตอบ: B

---

ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

ถ้า$x^2 - 6x + k = 0$ มีรากจริงสองค่าที่เท่ากัน ให้หา$k$ .

วิธีทำ:

รากที่เท่ากันหมายความว่า$\Delta = 0$ :

คำตอบ $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 0$ $36 - 4k = 0$ $k = 9$ :

---$k = 9$

ตัวอย่าง 3: ระดับสูง (ความยาก ★★★★☆)

ถ้า$x_1$ ,$x_2$ เป็นรากของ $x^2 - 3x - 1 = 0$ ให้หา$x_1^2 + x_2^2$ โดยไม่ต้องแก้สมการ

วิธีแก้:

โดยสูตรของ Vieta: $x_1 + x_2 = 3, \quad x_1 x_2 = -1$ โดยใช้เอกลักษณ์:

$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 2(-1) = 11$ คำตอบ: $11$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ลืม

$a \neq 0$ ผิด:$0x^2 + 3x + 2 = 0$ เป็นสมการกำลังสอง ✗

ถูก: เมื่อ$a = 0$ , จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: สัญลักษณ์ผิดในสูตรกำลังสอง

ผิด: ✗

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$ ถูก: ✓$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: สัญลักษณ์ผิดในสูตรของวีเอตา

ผิด:$x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

ถูกต้อง: ✓$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

❌ ข้อผิดพลาดที่ 4: ไม่ได้ตรวจสอบคำตอบที่ไม่เกี่ยวข้อง

การแก้ไข: ในปัญหาจริง ควรตรวจสอบว่าคำตอบมีความสมเหตุสมผลทางกายภาพ (เช่น ความยาวไม่สามารถเป็นค่าลบได้)

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ เชี่ยวชาญทั้งสามวิธี: การแยกตัวประกอบเร็วที่สุด, การเติมกำลังสองให้สมบูรณ์แสดงแนวคิด, สูตรใช้ได้ทั่วไป
2. ✅ ตัวแยกแยะคือกุญแจ: คำนวณเสมอ$\Delta$ เพื่อกำหนดประเภทของราก
3. ✅ สูตรของเวียตาผ่านการทดสอบ: ฝึกหัดหาการแสดงออกโดยไม่ต้องแก้สมการ
4. ✅ ตรวจสอบคำตอบในโลกจริง: ทิ้งคำตอบที่ไม่สมเหตุสมผล

---

💡 เคล็ดลับการสอบ: สมการกำลังสองเป็นเนื้อหาพื้นฐานของพีชคณิต CSCA คิดเป็นประมาณ 60% ของโจทย์สมการทั้งหมด จดจำสูตรและสูตรของวีเอตาให้ขึ้นใจ!