二次方程èrcì fāngchéng

แนวคิดหลัก สมการกำลังสอง คือสมการพหุนามที่มีเลขชี้กำลังของตัวแปรสูงสุดเป็น 2 เป็นหนึ่งในประเภทสมการพื้นฐานที่สุดในพีชคณิต ### รูปแบบมาตรฐาน

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$ โดยที่: - $a$ คือสัมประสิทธิ์ของ $x^2$ (ไม่สามารถเป็น 0 ได้) - $b$ คือสัมประสิทธิ์ของ $x$ - $c$ คือค่าคงที่

• $x$ เป็นตัวแปร ## วิธีการแก้ปัญหา ### วิธีที่ 1: การแยกตัวประกอบ เมื่อสมการสามารถแยกตัวประกอบได้ นี่คือวิธีที่ตรงที่สุด ตัวอย่าง: $x^2 - 5x + 6 = 0$ ขั้นตอนที่ 1: แยกตัวประกอบของ $(x - 2)(x - 3) = 0$

ขั้นตอนที่ 2: ตั้งค่าแต่ละปัจจัยเป็นศูนย์ $x - 2 = 0 \text{ or } x - 3 = 0$ คำตอบ: $x = 2$ หรือ $x = 3$ ### วิธีที่ 2: การเติมกำลังสองให้สมบูรณ์ เปลี่ยนสมการให้เป็นกำลังสองสมบูรณ์ ตัวอย่าง: $x^2 + 6x + 5 = 0$

ขั้นตอนที่ 1: จัดเรียง $x^2 + 6x = -5$ ขั้นตอนที่ 2: ทำให้เป็นรูปกำลังสองสมบูรณ์ $x^2 + 6x + 9 = -5 + 9$ $(x + 3)^2 = 4$ ขั้นตอนที่ 3: นำรากที่สอง $x + 3 = \pm 2$

*คำตอบ: $x = -1$ หรือ $x = -5$ ### วิธีที่ 3: สูตรกำลังสอง วิธีสากลนี้ใช้ได้กับสมการกำลังสองทุกสมการ: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ โดยที่ $\Delta = b^2 - 4ac$ เรียกว่า ตัวแยก

การวิเคราะห์เชิงแยกแยะ - $\Delta > 0$: รากจริงสองค่าที่แตกต่างกัน - $\Delta = 0$: รากจริงสองค่าเท่ากัน (รากซ้ำ) - $\Delta < 0$: ไม่มีรากจริง (มีรากเชิงซ้อนสองค่าซึ่งมีค่าซ้อนกัน) ## สูตรของวีเอตา

หาก $x_1$ และ $x_2$ เป็นรากของ $ax^2 + bx + c = 0$ แล้ว: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (ผลรวมของราก) $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (ผลคูณของราก) ## การประยุกต์ใช้ในโลกจริง ### การประยุกต์ใช้ที่ 1: ปัญหาพื้นที่

*ปัญหา: แปลงสี่เหลี่ยมผืนผ้าหนึ่งแปลงมีความยาวมากกว่าความกว้าง 4 เมตร พื้นที่เท่ากับ 60 ตารางเมตร จงหาขนาดของความยาวและความกว้าง วิธีแก้: ให้ความกว้าง = $x$ แล้วความยาว = $x + 4$ $x(x + 4) = 60$ $x^2 + 4x - 60 = 0$ $(x + 10)(x - 6) = 0$ คำตอบ: ความกว้าง = 6 เมตร, ความยาว = 10 เมตร (ทิ้งค่าลบ) ### การประยุกต์ใช้ 2: การเคลื่อนที่แบบโปรเจกไทล์ ปัญหา: วัตถุถูกขว้างขึ้นไปในแนวตั้งฉากด้วยความสูง $h = 20t - 5t^2$ (เมตร) เมื่อใดที่วัตถุตกถึงพื้น?

*วิธีแก้ปัญหา: ตั้ง $h = 0$ $20t - 5t^2 = 0$ $5t(4 - t) = 0$ คำตอบ: $t = 4$ วินาที ($t = 0$ คือเวลาปล่อย) ### การประยุกต์ใช้งานที่ 3: การเพิ่มกำไรสูงสุด

*ปัญหา: สินค้าที่มีราคา $x$ หน่วยขายได้ $(100-x)$ หน่วยต่อวัน ต้นทุนต่อหน่วยคือ $40/หน่วย หาค่าที่เหมาะสมที่สุด ฟังก์ชันกำไร: $P = (x - 40)(100 - x) = -x^2 + 140x - 4000$ สูงสุด: ที่จุดยอด $x = -\frac{140}{2(-1)} = 70$

*คำตอบ: ราคาที่ $70 จะทำให้กำไรสูงสุด ## ตัวอย่างข้อสอบ CSCA > 💡 หมายเหตุ: ตัวอย่างข้อสอบต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบการทดสอบมาตรฐานของจีนเพื่อช่วยให้นักเรียนคุ้นเคยกับรูปแบบคำถามและวิธีการแก้ปัญหา ### ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

แก้สมการโดยใช้วิธีแยกตัวประกอบ: $x^2 - 7x + 12 = 0$ ตัวเลือก: - ก. $x = 2$ หรือ $x = 5$ - ข. $x = 3$ หรือ $x = 4$

• C. $x = 1$ หรือ $x = 12$ - D. $x = -3$ หรือ $x = -4$ วิธีแก้: $x^2 - 7x + 12 = (x - 3)(x - 4) = 0$ $x = 3 \text{ or } x = 4$

คำตอบ: B --- ### ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆) ถ้า $x^2 - 6x + k = 0$ มีรากจริงสองค่าที่เท่ากัน ให้หาค่า $k$ วิธีทำ: รากที่เท่ากัน หมายถึง $\Delta = 0$: $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(k) = 0$ $36 - 4k = 0$ $k = 9$ คำตอบ: $k = 9$ --- ### ตัวอย่าง 3: ขั้นสูง (ระดับความยาก ★★★★☆)

หาก $x_1$, $x_2$ เป็นรากของ $x^2 - 3x - 1 = 0$ ให้หา $x_1^2 + x_2^2$ โดยไม่ต้องแก้สมการ วิธีแก้: โดยสูตรของ Vieta: $x_1 + x_2 = 3, \quad x_1 x_2 = -1$

ใช้สูตร: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 9 - 2(-1) = 11$ คำตอบ: $11$ ## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ลืม $a \neq 0$ ผิด: $0x^2 + 3x + 2 = 0$ เป็นสมการกำลังสอง ✗

*ถูกต้อง: เมื่อ $a = 0$ จะกลายเป็นสมการเชิงเส้น ✓ ### ผิด: ข้อผิดพลาดที่ 2: สัญลักษณ์ผิดในสูตรกำลังสอง ผิด: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 + 4ac}}{2a}$ ✗

*ถูกต้อง: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ ✓ ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: เครื่องหมายสูตรของ Vieta ผิด: $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

*ถูกต้อง: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ✓ ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 4: ไม่ได้ตรวจสอบคำตอบที่ไม่เกี่ยวข้อง การแก้ไข: ในปัญหาจริง ควรตรวจสอบว่าคำตอบมีความสมเหตุสมผลทางกายภาพ (เช่น ความยาวไม่สามารถเป็นค่าลบได้) ## เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ เชี่ยวชาญทั้งสามวิธี: การแยกตัวประกอบเร็วที่สุด, การเติมกำลังสองให้สมบูรณ์แสดงแนวคิด, สูตรใช้ได้ทั่วไป 2. ✅ ตัวแยกเป็นกุญแจสำคัญ: คำนวณ $\Delta$ เสมอเพื่อกำหนดประเภทของราก 3. ✅ สูตรของเวียตาผ่านการทดสอบ: ฝึกหาการแสดงออกโดยไม่ต้องแก้สมการ
2. ✅ ตรวจสอบคำตอบในโลกจริง: ทิ้งคำตอบที่ไม่สมเหตุสมผล --- 💡 เคล็ดลับการสอบ: สมการกำลังสองเป็นเนื้อหาหลักของพีชคณิต CSCA คิดเป็นประมาณ 60% ของปัญหาสมการทั้งหมด จดจำสูตรและสูตรของ Vieta!