复数fùshù

แนวคิดหลัก

จำนวนเชิงซ้อน เป็นการขยายของจำนวนจริง โดยมีรูปแบบ$z = a + bi$

โดยที่$a, b$

เป็นจำนวนจริง และ$i$

เป็นหน่วยจินตภาพ

หน่วยจินตภาพ

หน่วยจินตภาพ$i$

มีคุณสมบัติ$i^2 = -1$

.

**กำลัง

$i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$

ของ**$i$

:

$i^1 = i$

$i^2 = -1$

$i^3 = -i$

$i^4 = 1$

-$i^{4k+r} = i^r$

($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$

)

รูปแบบของจำนวนเชิงซ้อน

$z = a + bi$

ที่: -$a$

คือ ส่วนจริง, สัญลักษณ์ $\text{Re}(z)$

-$b$

คือ ส่วนจินตภาพ, สัญลักษณ์ $\text{Im}(z)$

• เมื่อ$b = 0$

,$z$

คือ จำนวนจริง

• เมื่อ$a = 0, b \neq 0$

,$z$

คือ จำนวนจินตภาพบริสุทธิ์

• เมื่อ$b \neq 0$

,$z$

คือ จำนวนจินตภาพ

ความเท่าเทียมของ$a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$

จำนวนเชิงซ้อน

ระนาบเชิงซ้อน

การแทนด้วยเรขาคณิต

จำนวนเชิงซ้อน$z = a + bi$

สามารถแทนได้ด้วยจุด$(a, b)$

ในระนาบเชิงซ้อน:

• แกนแนวนอน (แกนจริง): แทนส่วนจริง
• แกนแนวตั้ง (แกนจินตภาพ): แทนส่วนจินตภาพ

การแทนด้วยเวกเตอร์

จำนวนเชิงซ้อน $z = a + bi$

ยังสามารถมองได้ว่าเป็นเวกเตอร์$\overrightarrow{OZ}$

จากจุดกำเนิด$O$

ไปยังจุด$(a, b)$

.

มอดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน

นิยาม

มอดูลัส ของจำนวนเชิงซ้อน $z = a + bi$

แทนด้วย$|z|$

:

$|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$

ความหมายทางเรขาคณิต

$|z|$

แทนระยะทางจากจุด$z$

ไปยังจุดกำเนิดในระนาบเชิงซ้อน

สมบัติ

1.$|z| \geq 0$

, โดยเท่ากันถ้าและ$z = 0$

เพียงถ้า 2. $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$

3.$\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$

($z_2 \neq 0$

) 4.$|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$

(อสมการสามเหลี่ยม)

คู่เชิงซ้อน

นิยาม

เชิงซ้อน ของจำนวนเชิงซ้อน$z = a + bi$

, แทนด้วย$\bar{z}$

:

$\bar{z} = a - bi$

ความหมายทางเรขาคณิต

$\bar{z}$

คือการสะท้อนของ$z$

ผ่านแกนจริง

สมบัติ

$\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$

$\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$

$z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$

$z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$

5.$z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$

การดำเนินการ

การบวก

$(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$

และการลบ### การคูณ

$(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$

การหาร

**วิธีการ

$\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

**: คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยส่วนประกอบเชิงซ้อนของตัวส่วน

[ตัวอย่างที่ 1] พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

ให้จำนวนเชิงซ้อน $z = 3 + 4i$

หา$|z|$

และ $\bar{z}$

.

วิธีทำ:

ค่าสัมบูรณ์: $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

ส่วนประกอบเชิงซ้อน:

คำตอบ $\bar{z} = 3 - 4i$

:$|z| = 5$

,

$\bar{z} = 3 - 4i$

---

[ตัวอย่างที่ 2] ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

คำนวณ$(2 + 3i)(1 - 2i)$

.

วิธีแก้:

**คำตอบ

$(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ $= 2 - i + 6 = 8 - i$

**: $8 - i$

ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย

❌ ความเข้าใจผิดที่ 1: การปฏิบัติ$i$

เสมือนเป็นตัวแปร

ผิด: การคิดว่า$i$

สามารถถูกทำให้ง่ายขึ้นได้เหมือนตัวแปรในพีชคณิต

ถูกต้อง:$i$

เป็นหน่วยจินตภาพ$i^2 = -1$

ที่มีค่าเท่ากับ ไม่ใช่ตัวแปร

❌ ความเข้าใจผิดที่ 2: คำนวณโมดูลัสผิด

ผิด:

**ถูกต้อง$|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

**: $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

❌ ความเข้าใจผิดที่ 3: สัญลักษณ์คอนจูเกตผิด

ผิด:$\overline{3 + 4i} = -3 - 4i$

ถูกต้อง:$\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$

(เฉพาะส่วนจินตภาพที่เปลี่ยนเครื่องหมาย)

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ เข้าใจหน่วยจินตภาพ:$i^2 = -1$

เป็นสิ่งพื้นฐาน 2. ✅ เชี่ยวชาญการคำนวณ: การบวก การลบ การคูณ การหาร 3. ✅ จำโมดูลัสและคู่เชิงซ้อน: ความหมายทางเรขาคณิตและสมบัติของมัน 4. ✅ ฝึกการหาร: การทำให้ตัวส่วนเป็นจำนวนตรรกยะเป็นสิ่งสำคัญ 5. ✅ เข้าใจเรขาคณิต: จุดและเวกเตอร์ในระนาบเชิงซ้อน

---

💡 เคล็ดลับสอบ: จำนวนเชิงซ้อนมีความสำคัญในคณิตศาสตร์ระดับมัธยมปลาย ในข้อสอบ CSCA ค่อนข้างตรงไปตรงมา แต่ต้องเข้าใจการดำเนินการและแนวคิดพื้นฐานให้เชี่ยวชาญ! คิดเป็นประมาณ 10-15% ของโจทย์พีชคณิต