复数fùshù

แนวคิดหลัก จำนวนเชิงซ้อน เป็นการขยายของจำนวนจริง โดยมีรูปแบบ $z = a + bi$ โดยที่ $a, b$ เป็นจำนวนจริง และ $i$ เป็นหน่วยจินตภาพ

หน่วยจินตภาพ หน่วยจินตภาพ $i$ สอดคล้องกับ $i^2 = -1$. $i^2 = -1, \quad i = \sqrt{-1}$

*กำลังของ $i$: - $i^1 = i$ - $i^2 = -1$ - $i^3 = -i$ - $i^4 = 1$ - $i^{4k+r} = i^r$ ($k \in \mathbb{Z}, r \in \{0,1,2,3\}$)

รูปแบบของจำนวนเชิงซ้อน $z = a + bi$ โดยที่: - $a$ คือ ส่วนจริง, แทนด้วย $\text{Re}(z)$

• $b$ คือ ส่วนจินตภาพ, แทนด้วย $\text{Im}(z)$ - เมื่อ $b = 0$, $z$ คือ จำนวนจริง
• เมื่อ $a = 0, b \neq 0$, $z$ เป็น จำนวนเชิงจินตภาพบริสุทธิ์ - เมื่อ $b \neq 0$, $z$ เป็น จำนวนเชิงจินตภาพ ### ความเท่าเทียมกันเชิงซ้อน $a + bi = c + di \Leftrightarrow a = c \text{ and } b = d$ ## ระนาบเชิงซ้อน

การแทนเชิงเรขาคณิต จำนวนเชิงซ้อน $z = a + bi$ สามารถแทนเป็นจุด $(a, b)$ ในระนาบเชิงซ้อนได้ดังนี้: - แกนแนวนอน (แกนจริง): แทนส่วนจริง

• แกนตั้ง (แกนจินตภาพ): แทนส่วนจินตภาพ ### การแทนด้วยเวกเตอร์ จำนวนเชิงซ้อน $z = a + bi$ สามารถมองได้ว่าเป็นเวกเตอร์ $\overrightarrow{OZ}$ จากจุดกำเนิด $O$ ไปยังจุด $(a, b)$. ## มอดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน

นิยาม โมดูลัส ของจำนวนเชิงซ้อน $z = a + bi$, แทนด้วย $|z|$: $|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2}$ ### ความหมายทางเรขาคณิต $|z|$ แทนระยะทางจากจุด $z$ ไปยังจุดกำเนิดในระนาบเชิงซ้อน

คุณสมบัติ 1. $|z| \geq 0$, เท่ากับถ้าและเฉพาะถ้า $z = 0$ 2. $|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2|$ 3. $\left|\frac{z_1}{z_2}\right| = \frac{|z_1|}{|z_2|}$ ($z_2 \neq 0$)

4. $|z_1 + z_2| \leq |z_1| + |z_2|$ (ความไม่เท่ากันของสามเหลี่ยม) ## คู่เชิงซ้อน ### นิยาม คู่เชิงซ้อน ของจำนวนเชิงซ้อน $z = a + bi$, แทนด้วย $\bar{z}$: $\bar{z} = a - bi$

ความหมายทางเรขาคณิต $\bar{z}$ คือภาพสะท้อนของ $z$ ผ่านแกนจริง ### คุณสมบัติ 1. $\overline{z_1 \pm z_2} = \bar{z_1} \pm \bar{z_2}$ 2. $\overline{z_1 \cdot z_2} = \bar{z_1} \cdot \bar{z_2}$ 3. $z \cdot \bar{z} = |z|^2 = a^2 + b^2$

4. $z + \bar{z} = 2a = 2\text{Re}(z)$ 5. $z - \bar{z} = 2bi = 2i\text{Im}(z)$ ## การดำเนินการ ### การบวกและการลบ $(a + bi) \pm (c + di) = (a \pm c) + (b \pm d)i$ ### การคูณ $(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i$ ### การหาร $\frac{a + bi}{c + di} = \frac{(a + bi)(c - di)}{(c + di)(c - di)} = \frac{(ac + bd) + (bc - ad)i}{c^2 + d^2}$

*วิธี: คูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยคู่เชิงซ้อนของตัวส่วน ## ตัวอย่างข้อสอบ CSCA ### [ตัวอย่างที่ 1] พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆) ให้จำนวนเชิงซ้อน $z = 3 + 4i$ จงหา $|z|$ และ $\bar{z}$

*วิธีแก้: โมดูลัส: $|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$ คอนจูเกต: $\bar{z} = 3 - 4i$ คำตอบ: $|z| = 5$, $\bar{z} = 3 - 4i$

--- ### [ตัวอย่างที่ 2] ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆) คำนวณ $(2 + 3i)(1 - 2i)$ วิธีแก้: $(2 + 3i)(1 - 2i) = 2 - 4i + 3i - 6i^2$ $= 2 - i + 6 = 8 - i$

*คำตอบ: $8 - i$ ## ความเข้าใจผิดที่พบบ่อย ### ❌ ความเข้าใจผิดที่ 1: การปฏิบัติต่อ $i$ เป็นตัวแปร ผิด: การคิดว่า $i$ สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีกเหมือนตัวแปรในพีชคณิต

*ถูกต้อง: $i$ คือหน่วยจินตภาพที่มี $i^2 = -1$ ไม่ใช่ตัวแปร ### ❌ ความเข้าใจผิดที่ 2: การคำนวณโมดูลัสผิด ผิด: $|3 + 4i| = 3 + 4 = 7$

*แก้ไข: $|3 + 4i| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ ### ❌ ความเข้าใจผิดที่ 3: สัญลักษณ์การผันผิด ผิด: $\overline{3 + 4i} = -3 - 4i$ ถูก: $\overline{3 + 4i} = 3 - 4i$ (เฉพาะส่วนจินตภาพที่เปลี่ยนสัญลักษณ์) ## เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ เข้าใจหน่วยจินตภาพ: $i^2 = -1$ เป็นพื้นฐาน 2. ✅ เชี่ยวชาญการดำเนินการ: การบวก, การลบ, การคูณ, การหาร 3. ✅ จำโมดูลัสและคู่เชิงซ้อน: ความหมายทางเรขาคณิตและคุณสมบัติ 4. ✅ ฝึกการหาร: การทำให้ตัวส่วนเป็นจำนวนตรรกยะเป็นกุญแจสำคัญ
2. ✅ เข้าใจเรขาคณิต: จุดและเวกเตอร์ในระนาบเชิงซ้อน --- 💡 เคล็ดลับการสอบ: จำนวนเชิงซ้อนมีความสำคัญในคณิตศาสตร์ระดับมัธยมปลาย ค่อนข้างตรงไปตรงมาในข้อสอบ CSCA แต่ต้องเข้าใจการดำเนินการและแนวคิดพื้นฐานอย่างถ่องแท้! คิดเป็นประมาณ 10-15% ของโจทย์พีชคณิต