向量xiàngliàng

แนวคิดหลัก เวกเตอร์ คือปริมาณที่มีทั้งขนาดและทิศทาง ในทางเรขาคณิต เวกเตอร์แสดงด้วยเส้นตรงที่มีทิศทาง ในทางพีชคณิต เวกเตอร์แสดงด้วยพิกัด

ตัวอักษรเวกเตอร์ #### 1. ตัวอักษรเรขาคณิต เส้นตรงทิศทาง $\overrightarrow{AB}$ โดยที่ $A$ คือจุดเริ่มต้น และ $B$ คือจุดปลายทาง

2. ตัวอักษรแสดงสัญลักษณ์ ตัวอักษรพิมพ์เล็กพร้อมลูกศร: $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ #### 3. การแสดงพิกัด เวกเตอร์ 2 มิติ: $\vec{a} = (x, y)$ หรือ $\vec{a} = (a_1, a_2)$

เวกเตอร์สามมิติ: $\vec{a} = (x, y, z)$ หรือ $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ ### แนวคิดพื้นฐาน #### ขนาด (ความยาว) สำหรับเวกเตอร์ $\vec{a} = (x, y)$ ขนาดจะแสดงด้วย $|\vec{a}|$ หรือ $\|\vec{a}\|$:

$|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ #### เวกเตอร์ศูนย์ เวกเตอร์ที่มีขนาด 0, แทนด้วย $\vec{0} = (0, 0)$, โดยมีทิศทางตามอำเภอใจ #### เวกเตอร์หน่วย เวกเตอร์ที่มีขนาด 1, แทนด้วย $\vec{e}$ เวกเตอร์หน่วยในทิศทางของ $\vec{a}$: $\vec{e} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ #### เวกเตอร์ที่เท่ากัน เวกเตอร์ที่มีทิศทางและขนาดเท่ากัน #### เวกเตอร์ตรงข้าม เวกเตอร์ที่มีทิศทางตรงข้ามกันแต่มีขนาดเท่ากัน ตรงข้ามกับ $\vec{a}$ คือ $-\vec{a}$ ## การดำเนินการเวกเตอร์ ### 1. การบวกเวกเตอร์

ความหมายทางเรขาคณิต กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานหรือกฎสามเหลี่ยม #### การดำเนินการเชิงพิกัด $\vec{a} + \vec{b} = (x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$ #### สมบัติ - สลับที่: $\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$ - สัมพันธ์: $(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$ ### 2. การลบเวกเตอร์

$\vec{a} - \vec{b} = (x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$ ความหมายทางเรขาคณิต: จุดจากขั้วของ $\vec{b}$ ไปยังขั้วของ $\vec{a}$ ### 3. การคูณด้วยสเกลาร์ $k\vec{a} = k(x, y) = (kx, ky)$ โดยที่ $k$ เป็นจำนวนจริง

*คุณสมบัติ: - $k > 0$: ทิศทางเดียวกับ $\vec{a}$, ขนาด $k|\vec{a}|$ - $k < 0$: ทิศทางตรงข้ามกับ $\vec{a}$, ขนาด $|k||\vec{a}|$

• $k = 0$: ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ศูนย์ ### 4. ผลคูณจุด (ผลคูณสเกลาร์) $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ โดยที่ $\theta$ เป็นมุมระหว่าง $\vec{a}$ และ $\vec{b}$. #### รูปแบบพิกัด $\vec{a} \cdot \vec{b} = (x_1, y_1) \cdot (x_2, y_2) = x_1x_2 + y_1y_2$ #### คุณสมบัติที่สำคัญ - $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$ (เวกเตอร์ตั้งฉาก) - $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$ ## การประยุกต์ใช้ในโลกจริง ### การประยุกต์ใช้ที่ 1: การกระจัด ปัญหา: คนเดินไปทางทิศตะวันออก 3 กิโลเมตร จากนั้นเดินไปทางทิศเหนือ 4 กิโลเมตร จากจุดเริ่มต้น หาขนาดและทิศทางการกระจัด

*วิธีแก้: แรงลัพธ์เวกเตอร์: $\vec{s} = (3, 4)$ ขนาด: $|\vec{s}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ km}$ ทิศทาง: มุมกับแกนตะวันออก $\tan\theta = \frac{4}{3}, \quad \theta \approx 53.1°$ คำตอบ: 5 กิโลเมตร ที่ 53.1° ทางทิศตะวันออกเฉียงเหนือ

แบบฝึกหัด 2: การประกอบแรง โจทย์: แรง $\vec{F_1} = (3, 0)$ N และแรง $\vec{F_2} = (0, 4)$ N กระทำที่จุดเดียวกัน หาผลรวมของแรง วิธีทำ: $\vec{F} = \vec{F_1} + \vec{F_2} = (3, 4) \text{ N}$ ขนาด: $|\vec{F}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \text{ N}$

การประยุกต์ใช้ที่ 3: การแยกความเร็ว ปัญหา: เครื่องบินบินด้วยความเร็ว 200 กม./ชม. ไปทางตะวันออกเฉียงเหนือ (45° จากทิศตะวันออก) หาส่วนประกอบในทิศตะวันออกและทิศเหนือ วิธีแก้: $v_x = 200\cos45° = 100\sqrt{2} \approx 141.4 \text{ km/h}$ $v_y = 200\sin45° = 100\sqrt{2} \approx 141.4 \text{ km/h}$

CSCA แบบฝึกหัด > 💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบการทดสอบมาตรฐานของจีน เพื่อช่วยให้นักเรียนคุ้นเคยกับรูปแบบคำถามและวิธีการแก้ปัญหา ### ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

ให้เวกเตอร์ $\vec{a} = (3, 4)$ หาค่า $|\vec{a}|$ ตัวเลือก: - A. 3 - B. 4 - C. 5 - D. 7 วิธีทำ: $|\vec{a}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

คำตอบ: C --- ### ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆) ให้ $\vec{a} = (2, 1)$ และ $\vec{b} = (1, -3)$ หาค่า $\vec{a} + 2\vec{b}$ วิธีทำ:

$2\vec{b} = 2(1, -3) = (2, -6)$ $\vec{a} + 2\vec{b} = (2, 1) + (2, -6) = (4, -5)$ คำตอบ: $(4, -5)$ --- ### ตัวอย่าง 3: ขั้นสูง (ระดับความยาก ★★★★☆) จาก $\vec{a} = (1, 2)$ และ $\vec{b} = (2, -1)$ ให้หา:

1. $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 2. มุม $\theta$ ระหว่าง $\vec{a}$ และ $\vec{b}$ วิธีแก้: (1) ผลคูณจุด: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1(2) + 2(-1) = 0$ (2) มุม: ตั้งแต่ $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$: $\vec{a} \perp \vec{b}$ $\theta = 90°$ คำตอบ: (1) 0 (2) 90° (ตั้งฉาก) ## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: เวกเตอร์ที่เท่ากันต้องมีจุดเริ่มต้นเดียวกัน

*การแก้ไข: เวกเตอร์จะเท่ากันหากมีทิศทางและขนาดเท่ากัน โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่ง เวกเตอร์สามารถเคลื่อนที่ได้ ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: ขนาดสามารถเป็นค่าลบได้ การแก้ไข: ขนาด (ความยาว) จะเป็นค่าไม่ติดลบเสมอ: $|\vec{a}| \geq 0$.

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: ผลลัพธ์ของผลคูณเชิงเส้นเป็นเวกเตอร์ การแก้ไข: ผลลัพธ์ของผลคูณเชิงเส้นเป็น สเกลาร์ (ตัวเลข) ไม่ใช่เวกเตอร์ ### ❌ ข้อผิดพลาดที่ 4: เวกเตอร์ศูนย์ไม่มีทิศทาง การแก้ไข: ทิศทางของเวกเตอร์ศูนย์เป็น ตามอำเภอใจ สามารถขนานกับเวกเตอร์ใดก็ได้

❌ ข้อผิดพลาดที่ 5: ช่วงของมุมไม่ถูกต้อง การแก้ไข: มุม $\theta$ ระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองเวกเตอร์มีช่วงตั้งแต่ $[0°, 180°]$ หรือ $[0, \pi]$. ## เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ เข้าใจแก่นแท้: ทั้งขนาดและทิศทาง ซึ่งแตกต่างจากสเกลาร์ 2. ✅ เชี่ยวชาญการดำเนินการในพิกัด: การบวก การลบ การคูณด้วยสเกลาร์ ผลคูณเชิงเส้น 3. ✅ เข้าใจความหมายทางเรขาคณิต: จินตนาการการดำเนินการของเวกเตอร์ในระบบพิกัด
2. ✅ จำความตั้งฉาก: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0 \Leftrightarrow \vec{a} \perp \vec{b}$ 5. ✅ ประยุกต์ใช้ในโลกจริง: การเปลี่ยนตำแหน่ง, แรง, ความเร็ว ล้วนเป็นเวกเตอร์ --- 💡 เคล็ดลับการสอบ: เวกเตอร์มีความสำคัญในเรขาคณิตและฟิสิกส์ของ CSCA การดำเนินการพิกัดและผลคูณจุดถูกทดสอบบ่อย!