二次函数èrcì hánshù

แนวคิดหลัก

ฟังก์ชันกำลังสอง คือฟังก์ชันพหุนามดีกรี 2:

$f(x) = ax^2 + bx + c \quad (a \neq 0)$

โดยที่ $a$, $b$, $c$ เป็นค่าคงที่ และ $a \neq 0$

สามรูปแบบ

รูปแบบ	นิพจน์	คุณสมบัติหลัก
รูปแบบทั่วไป	$y = ax^2 + bx + c$	แสดงจุดตัดแกน y คือ $c$
รูปแบบจุดยอด	$y = a(x-h)^2 + k$	แสดงจุดยอด $(h, k)$
รูปแบบแยกตัวประกอบ	$y = a(x-x_1)(x-x_2)$	แสดงจุดตัดแกน x คือ $x_1, x_2$

จุดยอด

จุดยอดคือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดของพาราโบลา

พิกัดจุดยอด

$h = -\frac{b}{2a}, \quad k = \frac{4ac - b^2}{4a}$

หรือเทียบเท่า: $k = f(h) = f\left(-\frac{b}{2a}\right)$

รูปแบบจุดยอด

$f(x) = a(x - h)^2 + k$

โดยที่ $(h, k)$ คือจุดยอด

คุณสมบัติของกราฟ

ทิศทางการเปิด

• $a > 0$: พาราโบลาเปิดขึ้นบน (รูป U) จุดยอดเป็นค่าต่ำสุด
• $a < 0$: พาราโบลาเปิดลงล่าง (รูป ∩) จุดยอดเป็นค่าสูงสุด

แกนสมมาตร

$x = -\frac{b}{2a} = h$

พาราโบลาสมมาตรรอบเส้นตรงแนวตั้งนี้

จุดตัดแกน Y

จุดตัดแกน y อยู่ที่ $(0, c)$ ได้จากการแทน $x = 0$

จุดตัดแกน X (ราก)

ได้จากการแก้สมการ $ax^2 + bx + c = 0$ ดิสคริมิแนนต์ $\Delta = b^2 - 4ac$ กำหนดว่า:

• $\Delta > 0$: มีจุดตัดแกน x สองจุดที่แตกต่างกัน
• $\Delta = 0$: มีจุดตัดแกน x หนึ่งจุด (จุดยอดสัมผัสแกน x)
• $\Delta < 0$: ไม่มีจุดตัดแกน x

ความเป็นเอกภาพ (การเพิ่ม-ลด)

เมื่อ $a > 0$:

• ลดลงบน $(-\infty, h]$
• เพิ่มขึ้นบน $[h, +\infty)$

เมื่อ $a < 0$:

• เพิ่มขึ้นบน $(-\infty, h]$
• ลดลงบน $[h, +\infty)$

เรนจ์ (ช่วงค่า)

เมื่อ $a > 0$:

$\text{เรนจ์} = [k, +\infty)$

เมื่อ $a < 0$:

$\text{เรนจ์} = (-\infty, k]$

แบบฝึกหัด CSCA

💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA

ตัวอย่างที่ 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

จงหาจุดยอดของ $f(x) = x^2 - 6x + 5$

วิธีทำ:

วิธีที่ 1 (สูตร): $h = -\frac{-6}{2(1)} = 3$ $k = f(3) = 9 - 18 + 5 = -4$

วิธีที่ 2 (ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์): $f(x) = (x^2 - 6x + 9) - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$

คำตอบ: จุดยอดคือ $(3, -4)$

---

ตัวอย่างที่ 2: ระดับกลาง (ระดับความยาก ★★★☆☆)

จงหาเรนจ์ของ $f(x) = -x^2 + 4x - 1$ บน $[0, 3]$

วิธีทำ:

ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์: $f(x) = -(x^2 - 4x) - 1 = -(x-2)^2 + 4 - 1 = -(x-2)^2 + 3$

จุดยอดที่ $(2, 3)$ พาราโบลาเปิดลงล่าง

เนื่องจาก $2 \in [0, 3]$ ค่าสูงสุดอยู่ที่จุดยอด: $f(2) = 3$

ตรวจสอบจุดปลาย:

• $f(0) = -1$
• $f(3) = -9 + 12 - 1 = 2$

ค่าต่ำสุดคือ $f(0) = -1$

คำตอบ: เรนจ์คือ $[-1, 3]$

---

ตัวอย่างที่ 3: ขั้นสูง (ระดับความยาก ★★★★☆)

ถ้า $f(x) = x^2 - 2ax + a$ มีค่าต่ำสุดเท่ากับ $-2$ บน $[0, 2]$ จงหา $a$

วิธีทำ:

$f(x) = (x-a)^2 + a - a^2$ จุดยอดที่ $(a, a-a^2)$

กรณีที่ 1: $a < 0$ (จุดยอดอยู่ทางซ้ายของช่วง) ค่าต่ำสุดที่ $x = 0$: $f(0) = a = -2$ ตรวจสอบ: จุดยอดที่ $(-2, -2-4) = (-2, -6)$ แต่ $f(0) = -2 \neq -6$ ✓ ดังนั้น $a = -2$ ใช้ได้

กรณีที่ 2: $0 \leq a \leq 2$ (จุดยอดอยู่ภายในช่วง) ค่าต่ำสุดที่จุดยอด: $a - a^2 = -2$ $a^2 - a - 2 = 0$ $(a-2)(a+1) = 0$ $a = 2$ หรือ $a = -1$ เฉพาะ $a = 2$ อยู่ใน $[0, 2]$ ตรวจสอบ: $f(x) = (x-2)^2$ ค่าต่ำสุดที่ $x=2$ คือ $0 \neq -2$ ✗

กรณีที่ 3: $a > 2$ (จุดยอดอยู่ทางขวาของช่วง) ค่าต่ำสุดที่ $x = 2$: $f(2) = 4 - 4a + a = 4 - 3a = -2$ $a = 2$ ขัดแย้งกับ $a > 2$ ✗

คำตอบ: $a = -2$

---

ตัวอย่างที่ 4: ขั้นสูง (ระดับความยาก ★★★★☆)

จงหาค่า $m$ ทั้งหมดที่ทำให้ $f(x) = x^2 - mx + 1 > 0$ สำหรับทุก $x \in \mathbb{R}$

วิธีทำ:

เพื่อให้ $f(x) > 0$ สำหรับทุก $x$ พาราโบลาต้องเปิดขึ้นบน (✓, $a = 1 > 0$) และไม่มีจุดตัดแกน x

ต้องการ $\Delta < 0$: $\Delta = m^2 - 4(1)(1) = m^2 - 4 < 0$ $m^2 < 4$ $-2 < m < 2$

คำตอบ: $m \in (-2, 2)$

การแปลงระหว่างรูปแบบ

รูปแบบทั่วไปเป็นรูปแบบจุดยอด

กำหนด $f(x) = ax^2 + bx + c$:

1. แยก $a$ จากสองพจน์แรก: $f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$
2. ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์: $f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a} + c$
3. ลดรูป: $f(x) = a(x - h)^2 + k$ โดยที่ $h = -\frac{b}{2a}$, $k = c - \frac{b^2}{4a}$

รูปแบบจุดยอดเป็นรูปแบบทั่วไป

กำหนด $f(x) = a(x-h)^2 + k$:

กระจาย: $f(x) = ax^2 - 2ahx + ah^2 + k$

ดังนั้น $b = -2ah$ และ $c = ah^2 + k$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: เครื่องหมายผิดในสูตรจุดยอด

ผิด: $h = \frac{b}{2a}$ ✗

ถูก: $h = -\frac{b}{2a}$ ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: ไม่สนใจโดเมนเมื่อหาเรนจ์

ผิด: เรนจ์ของ $f(x) = x^2$ บน $[1, 3]$ คือ $[0, +\infty)$ ✗

ถูก: บน $[1, 3]$ ค่าต่ำสุดคือ $f(1) = 1$ ดังนั้นเรนจ์คือ $[1, 9]$ ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: ระบุตำแหน่งจุดยอดผิด

เมื่อโดเมนถูกจำกัด จุดยอดอาจอยู่นอกโดเมน ตรวจสอบว่าจุดยอดอยู่ภายใน ทางซ้าย หรือทางขวาของช่วง

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ เชี่ยวชาญการทำกำลังสองสมบูรณ์: จำเป็นสำหรับการหาจุดยอด
2. ✅ จำสามกรณี: จุดยอดอยู่ภายใน ทางซ้าย หรือทางขวาของช่วง
3. ✅ ใช้ดิสคริมิแนนต์: สำหรับคำถามเกี่ยวกับจุดตัดแกน x
4. ✅ วาดภาพร่าง: ช่วยให้เห็นภาพพาราโบลาเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด

---

💡 เคล็ดลับข้อสอบ: สำหรับโจทย์ที่มีโดเมนจำกัด ให้หาตำแหน่งจุดยอดเทียบกับโดเมนก่อน แล้วตรวจสอบจุดปลาย ค่าสุดขีดเกิดที่จุดยอด (ถ้าอยู่ในโดเมน) หรือที่จุดปลาย!