值域zhíyù

แนวคิดหลัก

เรนจ์ (พิสัย) ของฟังก์ชัน $f$ คือเซตของค่าเอาต์พุต (ค่า y) ทั้งหมดที่ฟังก์ชันสามารถสร้างได้

นิยามทางคณิตศาสตร์

$\text{เรนจ์}(f) = \{y \mid y = f(x) \text{ สำหรับบาง } x \in \text{โดเมน}(f)\}$

เรนจ์เรียกอีกอย่างว่า ภาพ ของฟังก์ชัน

โดเมน vs. เรนจ์

แนวคิด	สัญลักษณ์	คำอธิบาย
โดเมน	$D_f$	เซตของค่าอินพุตที่ถูกต้องทั้งหมด (x)
เรนจ์	$R_f$	เซตของค่าเอาต์พุตทั้งหมด (y)

ความสัมพันธ์สำคัญ: เรนจ์ขึ้นอยู่กับทั้งกฎของฟังก์ชันและโดเมน

วิธีการหาเรนจ์

วิธีที่ 1: การวิเคราะห์โดยตรง (观察法)

สำหรับฟังก์ชันง่ายๆ ให้วิเคราะห์พฤติกรรมโดยตรง

ตัวอย่าง: $f(x) = x^2$, $x \in \mathbb{R}$

เนื่องจาก $x^2 \geq 0$ สำหรับจำนวนจริง $x$ ทุกค่า และ $x^2$ สามารถมีค่ามากได้ตามต้องการ:

เรนจ์: $[0, +\infty)$

วิธีที่ 2: วิธีฟังก์ชันผกผัน (反函数法)

1. เขียน $y = f(x)$
2. แก้หา $x$ ในรูปของ $y$
3. หาค่า $y$ ที่ทำให้ $x$ มีนิยาม

ตัวอย่าง: $f(x) = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$, $x \neq 1$

ให้ $y = \dfrac{2x + 1}{x - 1}$

แก้หา $x$: $y(x - 1) = 2x + 1$ $xy - y = 2x + 1$ $xy - 2x = y + 1$ $x(y - 2) = y + 1$ $x = \dfrac{y + 1}{y - 2}$

เพื่อให้ $x$ มีอยู่ จะต้อง $y \neq 2$

เรนจ์: $\{y \mid y \neq 2\} = (-\infty, 2) \cup (2, +\infty)$

วิธีที่ 3: วิธีการทดสอบการเพิ่มลด (单调性法)

ใช้สมบัติการเพิ่มลดของฟังก์ชันเพื่อหาเรนจ์จากโดเมน

ตัวอย่าง: $f(x) = 2^x$, $x \in [-1, 2]$

เนื่องจาก $f(x) = 2^x$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มโดยแท้:

• ค่าต่ำสุด: $f(-1) = 2^{-1} = \dfrac{1}{2}$
• ค่าสูงสุด: $f(2) = 2^2 = 4$

เรนจ์: $[\dfrac{1}{2}, 4]$

วิธีที่ 4: การทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์ (配方法)

สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง $f(x) = ax^2 + bx + c$

ตัวอย่าง: $f(x) = x^2 - 4x + 5$, $x \in \mathbb{R}$

ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์: $f(x) = (x - 2)^2 + 1$

เนื่องจาก $(x - 2)^2 \geq 0$ ค่าต่ำสุดคือ 1 ที่ $x = 2$

เรนจ์: $[1, +\infty)$

วิธีที่ 5: การแทนค่า (换元法)

ตัวอย่าง: $f(x) = x + \sqrt{x - 1}$, $x \geq 1$

ให้ $t = \sqrt{x - 1}$ โดยที่ $t \geq 0$

ดังนั้น $x = t^2 + 1$ จึงได้: $f = t^2 + 1 + t = t^2 + t + 1 = (t + \dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{3}{4}$

เนื่องจาก $t \geq 0$ ค่าต่ำสุดเกิดขึ้นที่ $t = 0$: $f_{\min} = 0 + 0 + 1 = 1$

เรนจ์: $[1, +\infty)$

แบบฝึกหัด CSCA

💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA

ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

หาเรนจ์ของ $f(x) = 3x - 2$, $x \in [0, 4]$

วิธีทำ: ฟังก์ชันเชิงเส้นเป็นฟังก์ชันเพิ่มโดยแท้

• ที่ $x = 0$: $f(0) = -2$
• ที่ $x = 4$: $f(4) = 10$

คำตอบ: $[-2, 10]$

---

ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

หาเรนจ์ของ $f(x) = x^2 - 2x + 3$, $x \in [-1, 2]$

วิธีทำ:

ทำเป็นกำลังสองสมบูรณ์: $f(x) = (x - 1)^2 + 2$

จุดยอดที่ $x = 1$ (อยู่ในโดเมน) ค่าต่ำสุด = 2

ตรวจสอบจุดปลาย:

• $f(-1) = 1 + 2 + 3 = 6$
• $f(2) = 4 - 4 + 3 = 3$

คำตอบ: $[2, 6]$

---

ตัวอย่าง 3: ขั้นสูง (ระดับความยาก ★★★★☆)

หาเรนจ์ของ $f(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$, $x \in \mathbb{R}$

วิธีทำ:

ให้ $y = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 2}$

คูณไขว้: $y(x^2 + 2) = x^2 + 1$

$yx^2 + 2y = x^2 + 1$

$x^2(y - 1) = 1 - 2y$

$x^2 = \dfrac{1 - 2y}{y - 1}$

เพื่อให้ $x$ เป็นจำนวนจริง ต้องมี $x^2 \geq 0$: $\dfrac{1 - 2y}{y - 1} \geq 0$

$(1 - 2y)$ และ $(y - 1)$ ต้องมีเครื่องหมายเดียวกัน

• กรณีที่ 1: ทั้งสองเป็นบวก: $y < \dfrac{1}{2}$ และ $y > 1$ → เป็นไปไม่ได้
• กรณีที่ 2: ทั้งสองเป็นลบ: $y > \dfrac{1}{2}$ และ $y < 1$ → $\dfrac{1}{2} < y < 1$

นอกจากนี้ เมื่อ $x^2 \to +\infty$, $y \to 1$ (ไม่เท่ากับ 1) ที่ $x = 0$: $y = \dfrac{1}{2}$ (เข้าถึงได้)

คำตอบ: $[\dfrac{1}{2}, 1)$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ไม่สนใจข้อจำกัดของโดเมน

ผิด: เรนจ์ของ $f(x) = \sqrt{x}$ คือ $\mathbb{R}$ ✗

ถูก: เรนจ์ของ $f(x) = \sqrt{x}$ คือ $[0, +\infty)$ ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: ใช้วิธีผิดสำหรับโดเมนที่มีขอบเขต

ผิด: สำหรับ $f(x) = x^2$, $x \in [1, 3]$ เรนจ์คือ $[0, 9]$ ✗

ถูก: เรนจ์คือ $[1, 9]$ (ค่าต่ำสุดที่ $x = 1$ ไม่ใช่ $x = 0$) ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: ลืมตรวจสอบจุดปลาย

ต้องตรวจสอบค่าของฟังก์ชันที่ขอบเขตของโดเมนเสมอ

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ ระบุประเภทฟังก์ชันก่อน: เชิงเส้น, กำลังสอง, ตรรกยะ ฯลฯ
2. ✅ ตรวจสอบว่าโดเมนมีขอบเขตหรือไม่: ถ้ามีขอบเขตให้ใช้สมบัติการเพิ่มลด
3. ✅ สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง หาจุดยอด: อยู่ในโดเมนหรือไม่?
4. ✅ สำหรับเศษส่วน ใช้วิธีฟังก์ชันผกผัน: แก้หา $x$ ในรูปของ $y$

---

💡 เคล็ดลับการสอบ: สำหรับโดเมนที่มีขอบเขต ต้องตรวจสอบทั้งจุดยอด (สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง) และจุดปลายเสมอ!