单调性dāndiàoxìng

แนวคิดหลัก

ความเป็นฟังก์ชันจำเจ อธิบายว่าฟังก์ชันเพิ่มขึ้นตลอดหรือลดลงตลอดบนช่วงหนึ่ง ฟังก์ชันจะเรียกว่า จำเจ บนช่วงหนึ่ง หากฟังก์ชันนั้นเพิ่มขึ้นอย่างเดียวหรือลดลงอย่างเดียวตลอดทั้งช่วง

นิยาม

ฟังก์ชันเพิ่ม (递增函数)

ฟังก์ชัน $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบนช่วง $I$ ถ้า: $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: อินพุตใหญ่กว่า → เอาต์พุตใหญ่กว่า

ฟังก์ชันลด (递减函数)

ฟังก์ชัน $f$ เป็นฟังก์ชันลดบนช่วง $I$ ถ้า: $\forall x_1, x_2 \in I: \quad x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง: อินพุตใหญ่กว่า → เอาต์พุตเล็กกว่า

ฟังก์ชันจำเจแบบไม่เข้มงวด

• ไม่ลด: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \leq f(x_2)$
• ไม่เพิ่ม: $x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) \geq f(x_2)$

วิธีการตรวจสอบความเป็นฟังก์ชันจำเจ

วิธีที่ 1: วิธีนิยาม (定义法)

1. เลือก $x_1, x_2$ ใด ๆ ในช่วงที่ $x_1 < x_2$
2. คำนวณ $f(x_1) - f(x_2)$
3. พิจารณาเครื่องหมายของผลต่าง:
   • เป็นลบเสมอ → ฟังก์ชันเพิ่ม
   • เป็นบวกเสมอ → ฟังก์ชันลด

ตัวอย่าง: พิสูจน์ว่า $f(x) = x^2$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $(0, +\infty)$

สำหรับ $0 < x_1 < x_2$: $f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 - x_2^2 = (x_1 - x_2)(x_1 + x_2)$

เนื่องจาก $x_1 < x_2$: $(x_1 - x_2) < 0$ เนื่องจาก $x_1, x_2 > 0$: $(x_1 + x_2) > 0$

ดังนั้น: $f(x_1) - f(x_2) < 0$ นั่นคือ $f(x_1) < f(x_2)$

สรุป: $f(x) = x^2$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $(0, +\infty)$

วิธีที่ 2: วิธีอนุพันธ์ (导数法)

สำหรับฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้:

• $f'(x) > 0$ บนช่วง $I$ → $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $I$
• $f'(x) < 0$ บนช่วง $I$ → $f$ เป็นฟังก์ชันลดบน $I$

ตัวอย่าง: หาช่วงจำเจของ $f(x) = x^3 - 3x$

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$

• $f'(x) > 0$: เมื่อ $x < -1$ หรือ $x > 1$
• $f'(x) < 0$: เมื่อ $-1 < x < 1$

ช่วงจำเจ:

• เพิ่ม: $(-\infty, -1)$ และ $(1, +\infty)$
• ลด: $(-1, 1)$

ความเป็นฟังก์ชันจำเจของฟังก์ชันพื้นฐาน

ฟังก์ชัน	ช่วงเพิ่ม	ช่วงลด
$y = kx + b$ ($k > 0$)	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = kx + b$ ($k < 0$)	—	$(-\infty, +\infty)$
$y = x^2$	$[0, +\infty)$	$(-\infty, 0]$
$y = \dfrac{1}{x}$	—	$(-\infty, 0)$, $(0, +\infty)$
$y = \sqrt{x}$	$[0, +\infty)$	—
$y = a^x$ ($a > 1$)	$(-\infty, +\infty)$	—
$y = a^x$ ($0 < a < 1$)	—	$(-\infty, +\infty)$

แบบฝึกหัด CSCA

💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA

ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

หาช่วงจำเจของ $f(x) = -x^2 + 4x$

วิธีทำ:

$f(x) = -(x^2 - 4x) = -(x - 2)^2 + 4$

นี่คือพาราโบลาที่เปิดลง โดยมีจุดยอดที่ $x = 2$

• เพิ่ม: $(-\infty, 2]$
• ลด: $[2, +\infty)$

คำตอบ: เพิ่มบน $(-\infty, 2]$, ลดบน $[2, +\infty)$

---

ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

พิสูจน์ว่า $f(x) = \dfrac{x}{x+1}$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $(-1, +\infty)$

วิธีแก้:

ให้ $-1 < x_1 < x_2$

$f(x_1) - f(x_2) = \dfrac{x_1}{x_1+1} - \dfrac{x_2}{x_2+1}$

$= \dfrac{x_1(x_2+1) - x_2(x_1+1)}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1x_2 + x_1 - x_1x_2 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

$= \dfrac{x_1 - x_2}{(x_1+1)(x_2+1)}$

เนื่องจาก $x_1 < x_2$: ตัวเศษ $< 0$ เนื่องจาก $x_1, x_2 > -1$: $(x_1+1)(x_2+1) > 0$

ดังนั้น: $f(x_1) - f(x_2) < 0$ นั่นคือ $f(x_1) < f(x_2)$

สรุป: $f(x)$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $(-1, +\infty)$

---

ตัวอย่าง 3: ขั้นสูง (ระดับความยาก ★★★★☆)

ถ้า $f(x) = x^2 - 2ax + 1$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $[1, +\infty)$ จงหาขอบเขตของ $a$

วิธีแก้:

$f(x) = (x - a)^2 + 1 - a^2$

จุดยอดอยู่ที่ $x = a$

เพื่อให้ $f(x)$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $[1, +\infty)$ จุดยอดต้องอยู่ที่ $x = 1$ หรือทางซ้ายของ $x = 1$

ดังนั้น: $a \leq 1$

คำตอบ: $a \leq 1$ หรือ $(-\infty, 1]$

สมบัติของฟังก์ชันจำเจ

1. กฎการประกอบฟังก์ชัน

$f$	$g$	$f \circ g$
เพิ่ม	เพิ่ม	เพิ่ม
เพิ่ม	ลด	ลด
ลด	เพิ่ม	ลด
ลด	ลด	เพิ่ม

วิธีจำ: "เหมือนกัน → เพิ่ม, ต่างกัน → ลด" (同增异减)

2. ฟังก์ชันผกผัน

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันจำเจโดยแท้ แล้ว $f^{-1}$ มีอยู่จริงและมีความเป็นจำเจเหมือนกับ $f$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: สับสนระหว่างช่วงจำเจกับโดเมน

ผิด: $y = \dfrac{1}{x}$ เป็นฟังก์ชันลดบน $(-\infty, +\infty)$ ✗

ถูก: $y = \dfrac{1}{x}$ เป็นฟังก์ชันลดบน $(-\infty, 0)$ และบน $(0, +\infty)$ แยกกัน ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: รวมช่วงที่ไม่ต่อเนื่อง

ผิด: $y = \dfrac{1}{x}$ เป็นฟังก์ชันลดบน $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$ ✗

ถูก: ระบุช่วงแยกกัน: ลดบน $(-\infty, 0)$ และบน $(0, +\infty)$ ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: ละเลยเงื่อนไขขอบเขตในการพิสูจน์

เมื่อพิสูจน์ความเป็นจำเจ ต้องแน่ใจว่า $x_1 < x_2$ อยู่ในช่วงที่กำหนดทั้งคู่

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ เข้าใจนิยาม: $x_1 < x_2$ หมายความว่าอย่างไรสำหรับ $f(x_1)$ เทียบกับ $f(x_2)$?
2. ✅ จำฟังก์ชันพื้นฐาน: ท่องจำความเป็นจำเจของฟังก์ชันมาตรฐาน
3. ✅ ใช้อนุพันธ์: สำหรับฟังก์ชันซับซ้อน วิธีอนุพันธ์เร็วกว่า
4. ✅ อย่ารวมช่วงที่ไม่ต่อเนื่อง: ระบุแต่ละช่วงแยกกันเสมอ

---

💡 เคล็ดลับการสอบ: สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง ให้หาจุดยอดก่อนเสมอ ความเป็นจำเจจะเปลี่ยนที่จุดยอด!