导数dǎoshù

แนวคิดหลัก อนุพันธ์ เป็นแนวคิดหลักในแคลคูลัส ซึ่งอธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด ในทางเรขาคณิต อนุพันธ์แสดงถึงความชันของเส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง ณ จุดนั้น ### นิยามทางคณิตศาสตร์ อนุพันธ์ของฟังก์ชัน $y = f(x)$ ที่จุด $x_0$ ถูกนิยามว่า:

$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$ หากขีดจำกัดนี้มีอยู่ ฟังก์ชัน $f(x)$ จะกล่าวได้ว่า สามารถหาอนุพันธ์ได้ ที่ $x_0$. ### การเขียนอนุพันธ์ - $f'(x)$ - การเขียนแบบลากรองจ์

• $\frac{dy}{dx}$ - สัญกรณ์ไลบ์นิซ - $y'$ - รูปแบบย่อ - $\frac{df}{dx}$ - รูปแบบอนุพันธ์ ## สูตรอนุพันธ์ทั่วไป ### ฟังก์ชันพื้นฐาน 1. ค่าคงที่: $(C)' = 0$

2. กำลัง: $(x^n)' = nx^{n-1}$ 3. เลขชี้กำลัง: $(e^x)' = e^x$, $(a^x)' = a^x \ln a$ 4. ลอการิทึม: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$ 5. ตรีโกณมิติ:
   • $(\sin x)' = \cos x$ - $(\cos x)' = -\sin x$ - $(\tan x)' = \sec^2 x$ ### กฎอนุพันธ์ 1. ผลรวม/ผลต่าง: $(f \pm g)' = f' \pm g'$ 2. ผลคูณ: $(fg)' = f'g + fg'$
3. อัตราส่วน: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$ 4. อนุกรม: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$ ## การประยุกต์ใช้ ### 1. การหาเส้นสัมผัส เส้นสัมผัสของเส้นโค้ง $y = f(x)$ ที่จุด $(x_0, f(x_0))$:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$ ### 2. การกำหนดความเป็นเชิงทิศทางเดียว - $f'(x) > 0$ → ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น - $f'(x) < 0$ → ฟังก์ชันลดลง - $f'(x) = 0$ → จุดที่อาจเป็นค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ### 3. การหาค่าสูงสุดและต่ำสุด ขั้นตอน:

1. หาอนุพันธ์ $f'(x)$ 2. แก้สมการ $f'(x) = 0$ เพื่อหาจุดวิกฤต 3. ทดสอบการเปลี่ยนแปลงของเครื่องหมายรอบจุดวิกฤต ## แบบฝึกหัด CSCA > 💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบข้อสอบมาตรฐานของจีน เพื่อช่วยให้นักเรียนคุ้นเคยกับรูปแบบคำถามและวิธีการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆) หาอนุพันธ์ของ $f(x) = x^3 + 2x$ วิธีทำ: $f'(x) = 3x^2 + 2$ --- ### ตัวอย่าง 2: ปานกลาง (ระดับความยาก ★★★☆☆)

หาสมการของเส้นสัมผัสของ $y = x^2$ ที่จุด $(1, 1)$ วิธีแก้ ขั้นตอนที่ 1: หาอนุพันธ์ $y' = 2x$ ขั้นตอนที่ 2: หาความชันที่ $x=1$: $k = 2(1) = 2$

ขั้นตอนที่ 3: เขียนสมการเทนเจนต์: $y - 1 = 2(x - 1)$ $y = 2x - 1$ คำตอบ: $y = 2x - 1$ --- ### ตัวอย่าง 3: ขั้นสูง (ระดับความยาก ★★★★☆) หาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของ $f(x) = x^3 - 3x$.

*วิธีแก้: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ จุดวิกฤต: $x = -1, 1$ - จุดสูงสุด: $f(-1) = 2$ ที่ $x = -1$ - จุดต่ำสุด: $f(1) = -2$ ที่ $x = 1$ ## ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: $(x^2)' = 2$ การแก้ไข: $(x^2)' = 2x$ ไม่ใช่ 2! อย่าลืมเก็บไว้ $x$.

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: $(fg)' = f'g'$ การแก้ไข: กฎผลคูณคือ $(fg)' = f'g + fg'$ ไม่ใช่ $f'g'$!

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: $f'(x_0) = 0$ หมายถึงจุดสูงสุดหรือต่ำสุดเสมอ การแก้ไข: $f'(x_0) = 0$ เป็นเพียง เงื่อนไขที่จำเป็น เท่านั้น ต้องตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงของเครื่องหมายด้วย ## เคล็ดลับการเรียน 1. ✅ เข้าใจนิยาม: ฟังก์ชันอนุพันธ์ = อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะนั้น = ความชันของเส้นสัมผัส 2.✅ จำสูตร: เรียนรู้อนุพันธ์พื้นฐานและกฎต่างๆ 3. ✅ ฝึกฝน: โดยเฉพาะการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่ 4. ✅ การประยุกต์ใช้: อนุพันธ์ถูกใช้อย่างแพร่หลายในการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด --- 💡 เคล็ดลับการสอบ: อนุพันธ์คิดเป็นประมาณ 15% ของคำถามคณิตศาสตร์ใน CSCA ฝึกฝนการหาอนุพันธ์พื้นฐานและการประยุกต์ใช้ทางเรขาคณิตให้เชี่ยวชาญ!