导数dǎoshù

แนวคิดหลัก

อนุพันธ์ เป็นแนวคิดหลักในแคลคูลัส ซึ่งอธิบายอัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด ในทางเรขาคณิต อนุพันธ์แสดงถึงความชันของเส้นสัมผัสของเส้นโค้ง ณ จุดนั้น

นิยามทางคณิตศาสตร์

อนุพันธ์ของฟังก์ชัน$y = f(x)$

ที่จุด$x_0$

กำหนดไว้ว่า:$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$

หากมีขีดจำกัดนี้อยู่ ฟังก์ชัน$f(x)$

จะกล่าวได้ว่า สามารถหาอนุพันธ์ได้ ที่$x_0$

.

การเขียนอนุพันธ์

-$f'(x)$

• สัญลักษณ์ของลากรองจ์ -$\frac{dy}{dx}$

• สัญลักษณ์ของไลบ์นิซ -$y'$

• รูปแบบย่อ -$\frac{df}{dx}$

• รูปแบบอนุพันธ์

สูตรอนุพันธ์ทั่วไป

ฟังก์ชันพื้นฐาน

1. คงที่: $(C)' = 0$

2. กำลัง: $(x^n)' = nx^{n-1}$

3. เอกซ์โพเนนเชียล:$(e^x)' = e^x$

, $(a^x)' = a^x \ln a$

4. ลอการิทึม: $(\ln x)' = \frac{1}{x}$

5. ตรีโกณมิติ:

$(\sin x)' = \cos x$

• $(\cos x)' = -\sin x$

$(\tan x)' = \sec^2 x$

กฎอนุพันธ์

1. ผลรวม/ผลต่าง:$(f \pm g)' = f' \pm g'$

2. ผลิตภัณฑ์: $(fg)' = f'g + fg'$

3. เชิงเส้น: $(\frac{f}{g})' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$

4. โซ่: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

การประยุกต์ใช้

1. การหาเส้นสัมผัส

เส้นสัมผัสกับเส้นโค้ง$y = f(x)$

ที่$(x_0, f(x_0))$

:

$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$

2. การกำหนดความเป็นเอกฐาน

-$f'(x) > 0$

→ ฟังก์ชันเพิ่มขึ้น -$f'(x) < 0$

→ ฟังก์ชันลดลง -$f'(x) = 0$

→ อาจมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด

3. การหาค่าสูงสุดและต่ำสุด

ขั้นตอน:

1. หาอนุพันธ์ $f'(x)$

2. แก้สมการ$f'(x) = 0$

เพื่อหาจุดวิกฤต 3. ทดสอบการเปลี่ยนแปลงของเครื่องหมายรอบจุดวิกฤต

แบบฝึกหัด CSCA

> 💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบการสอบมาตรฐานของจีน เพื่อช่วยให้นักเรียนคุ้นเคยกับรูปแบบคำถามและวิธีการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

หาอนุพันธ์ของ$f(x) = x^3 + 2x$

.

วิธีทำ:

---

$f'(x) = 3x^2 + 2$

ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ระดับความยาก ★★★☆☆)

หาสมการของเส้นสัมผัสของ$y = x^2$

ที่จุด$(1, 1)$

.

วิธีแก้:

ขั้นตอนที่ 1: หาอนุพันธ์ $y' = 2x$

ขั้นตอนที่ 2: หาความชันที่จุด$x=1$

:$k = 2(1) = 2$

ขั้นตอนที่ 3: เขียนสมการเส้นสัมผัส:

**คำตอบ $y - 1 = 2(x - 1)$ $y = 2x - 1$

**:

---$y = 2x - 1$

ตัวอย่าง 3: ขั้นสูง (ความยาก ★★★★☆)

หาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของ$f(x) = x^3 - 3x$

.

วิธีแก้:

$f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$

จุดวิกฤต: $x = -1, 1$

• ค่าสูงสุด:$f(-1) = 2$

ที่ $x = -1$

• ค่าต่ำสุด:$f(1) = -2$

ที่ $x = 1$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1:

**การ$(x^2)' = 2$

แก้ไข**:$(x^2)' = 2x$

, ไม่ใช่ 2! อย่าลืมเก็บ$x$

. ไว้ด้วย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2:$(fg)' = f'g'$

แก้ไข: กฎของตัวแปรคือ$(fg)' = f'g + fg'$

, ไม่ใช่$f'g'$

!

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3:$f'(x_0) = 0$

เสมอหมายถึงค่าสูงสุดหรือต่ำสุด

แก้ไข:$f'(x_0) = 0$

เป็นเพียง เงื่อนไขที่จำเป็น เท่านั้น ต้องตรวจสอบการเปลี่ยนแปลงของเครื่องหมายด้วย

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ เข้าใจนิยาม: ฟังก์ชันอนุพันธ์ = อัตราการเปลี่ยนแปลง ณ ขณะนั้น = ความชันของเส้นสัมผัส
2. ✅ จำสูตร: เรียนรู้อนุพันธ์พื้นฐานและกฎต่างๆ
3. ✅ ฝึกฝน: โดยเฉพาะการประยุกต์ใช้กฎลูกโซ่
4. ✅ การประยุกต์ใช้: อนุพันธ์ถูกใช้อย่างแพร่หลายในการหาค่าที่เหมาะสมที่สุด

---

💡 เคล็ดลับสอบ: อนุพันธ์คิดเป็นประมาณ 15% ของคำถามคณิตศาสตร์ CSCA ฝึกฝนการหาอนุพันธ์พื้นฐานและการประยุกต์ใช้ทางเรขาคณิตให้เชี่ยวชาญ!