判别式pànbiéshì

แนวคิดหลัก

ค่าแยก ของสมการกำลังสอง $ax^2 + bx + c = 0$ ถูกกำหนดไว้ว่า:

$\Delta = b^2 - 4ac$

ค่าดิสคริมิแนนต์กำหนดลักษณะ (ประเภทและจำนวน) ของรากของสมการกำลังสอง

การวิเคราะห์ราก

ตัวแยกแยะ	จำนวนรากจริง	ธรรมชาติของราก
$\Delta > 0$	สอง	รากจริงสองรากที่ต่างกัน
$\Delta = 0$	หนึ่ง	รากจริงที่ซ้ำกันหนึ่งราก (รากคู่)
$\Delta < 0$	ศูนย์	รากคู่เชิงซ้อนสองตัว

กรณี 1: $\Delta > 0$ (รากจริงสองรากที่ต่างกัน)

รากของคำเหล่านี้คือ: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

กรณีที่ 2: $\Delta = 0$ (รากซ้ำหนึ่งครั้ง)

รากคือ: $x = -\frac{b}{2a}$

เส้นพาราโบลาสัมผัสกับแกน x ที่จุดนี้

กรณีที่ 3: $\Delta < 0$ (ไม่มีรากจริง)

สาเหตุมีหลายด้าน: $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm i\sqrt{|\Delta|}}{2a}$

เส้นพาราโบลาไม่ตัดกับแกน x

การตีความด้วยภาพ

สำหรับฟังก์ชันกำลังสอง $f(x) = ax^2 + bx + c$:

• $\Delta > 0$: เส้นพาราโบลาตัดแกน x ที่สองจุด
• $\Delta = 0$: Parabola สัมผัสกับแกน x ที่จุดเดียวเท่านั้น (จุดยอด)
• $\Delta < 0$: Parabola ไม่สัมผัสกับแกน x

ข้อฝึกฝน CSCA

💡 หมายเหตุ: ข้อฝึกฝนต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามเนื้อหาของหลักสูตรสอบ CSCA

ตัวอย่าง 1: ระดับพื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

กำหนดลักษณะของรากของสมการ $x^2 - 4x + 4 = 0$

วิธีแก้ปัญหา: $\Delta = (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0$

ตั้งแต่ $\Delta = 0$ เป็นต้นมา มีรากที่ซ้ำกันหนึ่งตัว

คำตอบ: รากจริงที่ซ้ำกันหนึ่งตัว: $x = 2$

---

ตัวอย่างที่ 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

สำหรับค่าของ $k$ ใด ที่ $x^2 + kx + 9 = 0$ มีรากจริงสองรากที่เท่ากัน?

วิธีแก้ปัญหา:

สำหรับรากที่เท่ากัน เราต้องใช้ $\Delta = 0$: $\Delta = k^2 - 4(1)(9) = k^2 - 36 = 0$ $k^2 = 36$ $k = \pm 6$

คำตอบ: $k = 6$ หรือ $k = -6$

---

ตัวอย่างที่ 3: ระดับสูง (ระดับความยาก ★★★★☆)

หาช่วงของ $m$ ที่ทำให้ $x^2 + 2x + m = 0$ มีรากเชิงลบสองรากที่แตกต่างกัน

วิธีแก้ปัญหา:

สมมติว่า $x_1, x_2$ เป็นรากของสมการ เราต้องการ:

1. รากจริงสองรากที่ต่างกัน: $\Delta > 0$
2. ทั้งสองรากเป็นค่าลบ: $x_1 + x_2 < 0$ และ $x_1 \cdot x_2 > 0$

จากสูตรของ Vieta:

• $x_1 + x_2 = -2 < 0$ ✓ (พอใจเสมอ)
• $x_1 \cdot x_2 = m > 0$

จากตัวแยกแยะ: $\Delta = 4 - 4m > 0$ $1 - m > 0$ $m < 1$

การรวม: $0 < m < 1$

คำตอบ: $m \in (0, 1)$

---

ตัวอย่างที่ 4: ระดับสูง (ความยาก ★★★★☆)

หาก $ax^2 + bx + c = 0$ ($a \neq 0$) มีรากเป็น $x_1$ และ $x_2$ ให้แสดง $|x_1 - x_2|$ ในรูปของ $a$, $b$ และ $c$

วิธีแก้ปัญหา:

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

ตามสูตรของ Vieta: $(x_1 - x_2)^2 = \left(-\frac{b}{a}\right)^2 - 4 \cdot \frac{c}{a} = \frac{b^2}{a^2} - \frac{4c}{a} = \frac{b^2 - 4ac}{a^2} = \frac{\Delta}{a^2}$

ดังนั้น: $|x_1 - x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

คำตอบ: $|x_1 - x_2| = \dfrac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{|a|}$

การใช้งาน

1. จุดตัดระหว่างเส้นตรงและเส้นโค้ง

เพื่อหาว่าเส้นตรงตัดกับพาราโบลาจำนวนกี่ครั้ง:

1. แทนสมการเส้นตรงลงในสมการพาราโบลา
2. หาสมการกำลังสอง
3. ใช้ค่าดิสคริมิแนนต์เพื่อนับจุดตัด

2. เงื่อนไขการสัมผัส

เส้นตรงจะเป็นเส้นสัมผัสของพาราโบลาเมื่อ $\Delta = 0$.

ตัวอย่าง: เพื่อให้ $y = x^2$ และ $y = kx - 1$ เป็นเส้นสัมผัส: $x^2 = kx - 1$ $x^2 - kx + 1 = 0$ $\Delta = k^2 - 4 = 0$ $k = \pm 2$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: ข้อผิดพลาดเกี่ยวกับเครื่องหมายในสูตร

ผิด: $\Delta = b^2 + 4ac$ ✗

ถูกต้อง: $\Delta = b^2 - 4ac$ ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: ลืมพิจารณาสภาพการณ์ทั้งหมด

เมื่อหารากที่มีคุณสมบัติเฉพาะ (ทั้งบวกทั้งลบ, ทั้งลบทั้งบวก, เป็นต้น) คุณต้องตรวจสอบ:

• เงื่อนไขการแยกแยะ ($\Delta$)
• เงื่อนไขผลรวมของราก
• เงื่อนไขผลของราก

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: การสับสนระหว่างรากเท่ากันกับไม่มีราก

ผิด: $\Delta = 0$ หมายความว่าไม่มีรากจริง ✗

ถูกต้อง: $\Delta = 0$ หมายถึงมีรากจริงที่ซ้ำกันหนึ่งราก; $\Delta < 0$ หมายถึงไม่มีรากจริง ✓

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ จำสูตรนี้: $\Delta = b^2 - 4ac$
2. ✅ เชื่อมต่อกับกราฟ: แสดงภาพของเส้นพาราโบลาที่ตัด/สัมผัส/ไม่ตัดกับแกน x
3. ✅ ใช้ร่วมกับสูตร Vieta: ปัญหาหลายข้อจำเป็นต้องใช้ทั้งสูตรดิสคริมิแนนท์และสูตร Vieta
4. ✅ ตรวจสอบทุกเงื่อนไข: สำหรับรากที่มีข้อจำกัด ให้ตรวจสอบ $\Delta$, ผลรวม และผลคูณ

---

💡 เคล็ดลับทำข้อสอบ: ค่าดิสคริมิแนนต์มักปรากฏในข้อสอบ CSCA หลายข้อที่เกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของรากเสมอ ดังนั้น เมื่อข้อสอบกล่าวถึง "รากจริง" หรือ "ไม่มีรากจริง" ให้ตรวจสอบ $\Delta$ ก่อนเสมอ!