判别式pànbiéshì

แนวคิดหลัก

ตัวแยกแยะ (เขียนแทนด้วย $\Delta$) เป็นค่าสำคัญที่คำนวณจากสัมประสิทธิ์ของสมการกำลังสอง เพื่อกำหนดลักษณะและจำนวนรากของสมการ

นิยาม

สำหรับสมการกำลังสองในรูปมาตรฐาน:

$ax^2 + bx + c = 0 \quad (a \neq 0)$

ตัวแยกแยะถูกนิยามเป็น:

$\Delta = b^2 - 4ac$

นิพจน์นี้ปรากฏอยู่ใต้เครื่องหมายรากที่สองในสูตรกำลังสอง:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

สามกรณี

กรณีที่ 1: $\Delta > 0$ — รากจริงสองค่าที่แตกต่างกัน

สมการมีคำตอบจริงสองค่าที่แตกต่างกัน:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

ตัวอย่าง: $x^2 - 5x + 6 = 0$

$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 > 0$

$x_1 = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{5 - 1}{2} = 2$

กรณีที่ 2: $\Delta = 0$ — รากซ้ำหนึ่งค่า

สมการมีคำตอบจริงเพียงหนึ่งค่า (รากซ้ำ):

$x_1 = x_2 = \frac{-b}{2a}$

ตัวอย่าง: $x^2 - 6x + 9 = 0$

$\Delta = (-6)^2 - 4(1)(9) = 36 - 36 = 0$

$x = \frac{6}{2} = 3$

กรณีที่ 3: $\Delta < 0$ — ไม่มีรากจริง

สมการไม่มีคำตอบจริง (มีรากเชิงซ้อนสังยุคสองค่า)

ตัวอย่าง: $x^2 + 2x + 5 = 0$

$\Delta = 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16 < 0$

ไม่มีรากจริง

การตีความเชิงกราฟ

ตัวแยกแยะกำหนดว่าพาราโบลา $y = ax^2 + bx + c$ ตัดแกน x อย่างไร:

ตัวแยกแยะ	พาราโบลาและแกน x	จำนวนจุดตัด
$\Delta > 0$	ตัดแกน x ที่สองจุด	2
$\Delta = 0$	สัมผัสแกน x ที่หนึ่งจุด (จุดยอด)	1
$\Delta < 0$	ไม่ตัดแกน x	0

ถ้า $a > 0$ (พาราโบลาเปิดขึ้นบน) และ $\Delta < 0$ พาราโบลาทั้งหมดจะอยู่เหนือแกน x ซึ่งหมายความว่า $ax^2 + bx + c > 0$ สำหรับทุกค่า $x$ จริง

แบบฝึกหัด CSCA

💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA และรูปแบบการทดสอบมาตรฐานของจีน เพื่อช่วยให้นักเรียนคุ้นเคยกับรูปแบบคำถามและวิธีการแก้ปัญหา

โจทย์ที่ 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

หาตัวแยกแยะและลักษณะของรากสำหรับ: $2x^2 + 3x - 2 = 0$

วิธีทำ:

$\Delta = 3^2 - 4(2)(-2) = 9 + 16 = 25 > 0$

เนื่องจาก $\Delta > 0$ สมการมีรากจริงสองค่าที่แตกต่างกัน

$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{4} = \frac{-3 \pm 5}{4}$

$x_1 = \frac{1}{2}, \quad x_2 = -2$

---

โจทย์ที่ 2: ระดับกลาง (ระดับความยาก ★★★☆☆)

สำหรับค่า $m$ ใดที่สมการ $x^2 + mx + 4 = 0$ ไม่มีรากจริง?

วิธีทำ:

ไม่มีรากจริงหมายความว่า $\Delta < 0$:

$\Delta = m^2 - 4(1)(4) < 0$ $m^2 - 16 < 0$ $m^2 < 16$ $-4 < m < 4$

คำตอบ: $-4 < m < 4$

---

โจทย์ที่ 3: ระดับสูง (ระดับความยาก ★★★★☆)

พิสูจน์ว่าสมการ $(k+1)x^2 + 2kx + (k-1) = 0$ มีรากจริงเสมอสำหรับทุกค่าจริงของ $k$ (โดยที่ $k \neq -1$)

วิธีทำ:

$\Delta = (2k)^2 - 4(k+1)(k-1)$ $= 4k^2 - 4(k^2 - 1)$ $= 4k^2 - 4k^2 + 4$ $= 4 > 0$

เนื่องจาก $\Delta = 4 > 0$ สำหรับทุกค่า $k$ สมการจึงมีรากจริงสองค่าที่แตกต่างกันเสมอ $\blacksquare$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: เครื่องหมายผิดใน $b^2 - 4ac$

ผิด: $\Delta = b^2 + 4ac$ ✗

ถูก: $\Delta = b^2 - 4ac$ ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: ลืมวงเล็บเมื่อ $b$ เป็นลบ

ผิด: สำหรับ $x^2 - 6x + 5 = 0$: $\Delta = -6^2 - 4(1)(5) = -36 - 20$ ✗

ถูก: $\Delta = (-6)^2 - 4(1)(5) = 36 - 20 = 16$ ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: สับสนระหว่าง $\Delta = 0$ และ $\Delta < 0$

ผิด: $\Delta = 0$ หมายถึงไม่มีราก ✗

ถูก: $\Delta = 0$ หมายถึงรากซ้ำ; $\Delta < 0$ หมายถึงไม่มีรากจริง ✓

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ จดจำสูตร: $\Delta = b^2 - 4ac$ — นี่คือพื้นฐานของการวิเคราะห์ราก
2. ✅ ระวังเรื่องเครื่องหมาย: โดยเฉพาะเมื่อ $b$ เป็นค่าลบ อย่าลืมใส่วงเล็บ
3. ✅ เชื่อมโยงกับกราฟ: เชื่อมโยงตัวแยกแยะกับพฤติกรรมการตัดกันของพาราโบลากับแกน x เสมอ
4. ✅ ฝึกโจทย์พารามิเตอร์: โจทย์ CSCA มักถามให้หาช่วงของพารามิเตอร์เพื่อให้ได้รากบางประเภท

---

💡 เคล็ดลับการสอบ: ตัวแยกแยะเป็นเครื่องมือสำคัญในพีชคณิต CSCA โจทย์ที่มีพารามิเตอร์ ($k$, $m$) และเงื่อนไขของรากออกบ่อยมาก — ฝึกฝนอสมการที่เกี่ยวกับ $\Delta$ ให้หลากหลาย!