韦达定理wéidá dìnglǐ

แนวคิดหลัก

สูตรของเวียตา (韦达定理) เชื่อมโยงสัมประสิทธิ์ของพหุนามกับผลรวมและผลคูณของราก

สำหรับสมการกำลังสอง $ax^2 + bx + c = 0$ ที่มีราก $x_1$ และ $x_2$:

$x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ (ผลรวมของราก)

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$ (ผลคูณของราก)

การพิสูจน์

จากสูตรหาคำตอบของสมการกำลังสอง: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}$

ผลรวม: $x_1 + x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} + \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-2b}{2a} = -\frac{b}{a}$

ผลคูณ: $x_1 \cdot x_2 = \frac{(-b + \sqrt{\Delta})(-b - \sqrt{\Delta})}{4a^2} = \frac{b^2 - \Delta}{4a^2} = \frac{b^2 - (b^2 - 4ac)}{4a^2} = \frac{4ac}{4a^2} = \frac{c}{a}$

การประยุกต์ใช้ที่สำคัญ

1. คำนวณนิพจน์โดยไม่ต้องแก้สมการ

คำนวณนิพจน์ที่เกี่ยวข้องกับรากโดยไม่ต้องหาค่ารากจริง

สูตรสำคัญ: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$

$x_1^3 + x_2^3 = (x_1 + x_2)^3 - 3x_1x_2(x_1 + x_2)$

$\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}$

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2$

2. สร้างสมการจากราก

ถ้า $\alpha$ และ $\beta$ เป็นราก สมการกำลังสองคือ: $x^2 - (\alpha + \beta)x + \alpha\beta = 0$

หรือเทียบเท่ากับ: $(x - \alpha)(x - \beta) = 0$

3. การระบุเครื่องหมายของราก

โดยไม่ต้องแก้สมการ สามารถระบุเครื่องหมายของรากได้:

• ทั้งสองเป็นบวก: $x_1 + x_2 > 0$ และ $x_1 \cdot x_2 > 0$
• ทั้งสองเป็นลบ: $x_1 + x_2 < 0$ และ $x_1 \cdot x_2 > 0$
• เครื่องหมายตรงข้าม: $x_1 \cdot x_2 < 0$

แบบฝึกหัด CSCA

💡 หมายเหตุ: แบบฝึกหัดต่อไปนี้ได้รับการออกแบบตามหลักสูตรสอบ CSCA

ตัวอย่าง 1: พื้นฐาน (ระดับความยาก ★★☆☆☆)

ถ้า $x_1$ และ $x_2$ เป็นรากของ $x^2 - 3x - 4 = 0$ จงหา $x_1 + x_2$ และ $x_1 \cdot x_2$

วิธีทำ:

โดยสูตรของเวียตา เมื่อ $a = 1$, $b = -3$, $c = -4$: $x_1 + x_2 = -\frac{-3}{1} = 3$ $x_1 \cdot x_2 = \frac{-4}{1} = -4$

คำตอบ: ผลรวม = 3, ผลคูณ = -4

---

ตัวอย่าง 2: ระดับกลาง (ความยาก ★★★☆☆)

ถ้า $x_1$ และ $x_2$ เป็นรากของ $2x^2 + 5x - 3 = 0$ จงหา $x_1^2 + x_2^2$

วิธีทำ:

โดยสูตรของเวียตา: $x_1 + x_2 = -\frac{5}{2}, \quad x_1 \cdot x_2 = -\frac{3}{2}$

ใช้เอกลักษณ์: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2$ $= \left(-\frac{5}{2}\right)^2 - 2\left(-\frac{3}{2}\right)$ $= \frac{25}{4} + 3 = \frac{25}{4} + \frac{12}{4} = \frac{37}{4}$

คำตอบ: $\dfrac{37}{4}$

---

ตัวอย่าง 3: ระดับสูง (ความยาก ★★★★☆)

ถ้า $x_1$ และ $x_2$ เป็นรากของ $x^2 - 4x + 1 = 0$ จงหา $\dfrac{x_1}{x_2} + \dfrac{x_2}{x_1}$

วิธีทำ:

โดยสูตรของเวียตา: $x_1 + x_2 = 4, \quad x_1 \cdot x_2 = 1$

ทำให้นิพจน์ง่ายขึ้น: $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{x_1^2 + x_2^2}{x_1 x_2}$

หา $x_1^2 + x_2^2$ ก่อน: $x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 16 - 2 = 14$

ดังนั้น: $\frac{x_1}{x_2} + \frac{x_2}{x_1} = \frac{14}{1} = 14$

คำตอบ: $14$

---

ตัวอย่าง 4: ระดับสูง (ความยาก ★★★★☆)

จงหาสมการกำลังสองที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม ซึ่งมีราก $2 + \sqrt{3}$ และ $2 - \sqrt{3}$

วิธีทำ:

ผลรวมของราก: $\alpha + \beta = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$

ผลคูณของราก: $\alpha \cdot \beta = (2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 4 - 3 = 1$

สมการคือ: $x^2 - 4x + 1 = 0$

คำตอบ: $x^2 - 4x + 1 = 0$

---

ตัวอย่าง 5: ระดับสูง (ความยาก ★★★★★)

ถ้ารากหนึ่งของ $x^2 + px + q = 0$ เป็นสองเท่าของอีกรากหนึ่ง และผลรวมของรากเท่ากับ 6 จงหา $p$ และ $q$

วิธีทำ:

ให้รากเป็น $r$ และ $2r$

โดยสูตรของเวียตา:

• $r + 2r = 3r = -p$
• $r \cdot 2r = 2r^2 = q$

กำหนดผลรวม = 6: $3r = 6 \Rightarrow r = 2$

ดังนั้น: $p = -3r = -6$ $q = 2r^2 = 2(4) = 8$

คำตอบ: $p = -6$, $q = 8$

สูตรของเวียตาแบบขยาย

สำหรับสมการกำลังสาม $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ ที่มีราก $x_1, x_2, x_3$:

$x_1 + x_2 + x_3 = -\frac{b}{a}$ $x_1x_2 + x_2x_3 + x_3x_1 = \frac{c}{a}$ $x_1 \cdot x_2 \cdot x_3 = -\frac{d}{a}$

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

❌ ข้อผิดพลาดที่ 1: เครื่องหมายผิดสำหรับผลรวม

ผิด: $x_1 + x_2 = \frac{b}{a}$ ✗

ถูก: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$ ✓

❌ ข้อผิดพลาดที่ 2: สมมติว่ารากเป็นจำนวนจริง

สูตรของเวียตาใช้ได้แม้เมื่อ $\Delta < 0$ (รากเชิงซ้อน) แต่หลายโจทย์ต้องการรากจริง ตรวจสอบ $\Delta \geq 0$ เสมอเมื่อจำเป็น

❌ ข้อผิดพลาดที่ 3: เงื่อนไขรากไม่สมบูรณ์

สำหรับ "รากทั้งสองเป็นบวก": ต้องมี ทั้ง $x_1 + x_2 > 0$ และ $x_1 \cdot x_2 > 0$ และ $\Delta \geq 0$

เคล็ดลับการเรียน

1. ✅ จำเครื่องหมาย: ผลรวมมีเครื่องหมายลบ ผลคูณไม่มี
2. ✅ เรียนรู้การแปลงสำคัญ: $x_1^2 + x_2^2$, $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ ฯลฯ
3. ✅ รวมกับตัวแยกแยะ: สำหรับเงื่อนไขรากจริง
4. ✅ ฝึกโจทย์ย้อนกลับ: หาสมการจากรากที่กำหนด

---

💡 เคล็ดลับการสอบ: สูตรของเวียตาออกสอบบ่อยใน CSCA เชี่ยวชาญการแปลงสำหรับ $x_1^2 + x_2^2$ และ $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}$ — สูตรเหล่านี้ปรากฏในโจทย์ส่วนใหญ่!