Skip to main content
Следующий экзамен 14–15 ноября 2026 г.:

Справочник математических формул

Справочник формул для подготовки к CSCA

Основы алгебры

НазваниеФормула
Формула корней квадратного уравненияx=−b±b2−4ac2ax = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Условия применения: a ≠ 0; real roots exist when b²−4ac ≥ 0

Как это спрашивают на экзамене
Формулы Виетаx1+x2=−ba,x1x2=cax_1 + x_2 = -\frac{b}{a},\quad x_1 x_2 = \frac{c}{a}

Условия применения: x₁, x₂ are the roots of ax²+bx+c=0 with a ≠ 0

Как это спрашивают на экзамене
ДискриминантΔ=b2−4ac\Delta = b^2 - 4acКак это спрашивают на экзамене
Разложение на множителиa2−b2=(a+b)(a−b)a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)
Полный квадрат(a±b)2=a2±2ab+b2(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2
Сумма/разность кубовa3±b3=(a±b)(a2∓ab+b2)a^3 \pm b^3 = (a \pm b)(a^2 \mp ab + b^2)
Бином Ньютона(a+b)n=∑k=0n(nk)an−kbk(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k

Последовательности

НазваниеФормула
Арифметическая прогрессияan=a1+(n−1)da_n = a_1 + (n-1)dКак это спрашивают на экзамене
Сумма арифметической прогрессииSn=n(a1+an)2=na1+n(n−1)d2S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2} = na_1 + \frac{n(n-1)d}{2}
Геометрическая прогрессияan=a1⋅rn−1a_n = a_1 \cdot r^{n-1}
Сумма геометрической прогрессииSn=a1(1−rn)1−r,r≠1S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r},\quad r \neq 1
Бесконечная геометрическая прогрессияS=a11−r,∣r∣<1S = \frac{a_1}{1-r},\quad |r| < 1

Функции

НазваниеФормула
Правила степенейam⋅an=am+n,aman=am−na^m \cdot a^n = a^{m+n},\quad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}
Правила логарифмовlog⁡(xy)=log⁡x+log⁡y\log(xy) = \log x + \log y
Формула перехода к другому основаниюlog⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a}

Условия применения: a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1

Как это спрашивают на экзамене
Связь показательной и логарифмической функцийy=ax⟺x=log⁡ayy = a^x \Longleftrightarrow x = \log_a y
Сложная функция(f∘g)(x)=f(g(x))(f \circ g)(x) = f(g(x))
Обратная функцияf(f−1(x))=xf(f^{-1}(x)) = x

Тригонометрия

НазваниеФормула
Основное тождествоsin⁡2θ+cos⁡2θ=1\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1Как это спрашивают на экзамене
Тангенсtan⁡θ=sin⁡θcos⁡θ\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}
Формула сложения (sin)sin⁡(α±β)=sin⁡αcos⁡β±cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta
Формула сложения (cos)cos⁡(α±β)=cos⁡αcos⁡β∓sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta
Формула сложения (tan)tan⁡(α±β)=tan⁡α±tan⁡β1∓tan⁡αtan⁡β\tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}
Формула двойного угла (sin)sin⁡2θ=2sin⁡θcos⁡θ\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta
Формула двойного угла (cos)cos⁡2θ=cos⁡2θ−sin⁡2θ=2cos⁡2θ−1=1−2sin⁡2θ\cos 2\theta = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta
Формула двойного угла (tan)tan⁡2θ=2tan⁡θ1−tan⁡2θ\tan 2\theta = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}
Формулы половинного углаsin⁡2θ2=1−cos⁡θ2,cos⁡2θ2=1+cos⁡θ2\sin^2\frac{\theta}{2} = \frac{1-\cos\theta}{2},\quad \cos^2\frac{\theta}{2} = \frac{1+\cos\theta}{2}
Формула вспомогательного углаasin⁡θ+bcos⁡θ=a2+b2sin⁡(θ+φ)a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\varphi)
Теорема синусовasin⁡A=bsin⁡B=csin⁡C=2R\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R
Теорема косинусовc2=a2+b2−2abcos⁡Cc^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C

Производные

НазваниеФормула
Определение производнойf′(x)=lim⁡h→0f(x+h)−f(x)hf^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}
Правило степени(xn)′=nxn−1(x^n)^{\prime} = nx^{n-1}
Производная показательной функции(ex)′=ex,(ax)′=axln⁡a(e^x)^{\prime} = e^x,\quad (a^x)^{\prime} = a^x \ln a
Производная логарифмической функции(ln⁡x)′=1x(\ln x)^{\prime} = \frac{1}{x}
Производные тригонометрических функций(sin⁡x)′=cos⁡x,(cos⁡x)′=−sin⁡x(\sin x)^{\prime} = \cos x,\quad (\cos x)^{\prime} = -\sin x
Правило произведения(fg)′=f′g+fg′(fg)^{\prime} = f^{\prime}g + fg^{\prime}
Правило частного(fg)′=f′g−fg′g2\left(\frac{f}{g}\right)^{\prime} = \frac{f^{\prime}g - fg^{\prime}}{g^2}
Правило цепочки[f(g(x))]′=f′(g(x))⋅g′(x)[f(g(x))]^{\prime} = f^{\prime}(g(x)) \cdot g^{\prime}(x)

Аналитическая геометрия

НазваниеФормула
Формула расстоянияd=(x2−x1)2+(y2−y1)2d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}
Формула середины отрезкаM=(x1+x22, y1+y22)M = \left(\frac{x_1+x_2}{2},\, \frac{y_1+y_2}{2}\right)
Угловой коэффициентk=y2−y1x2−x1k = \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}

Условия применения: x₁ ≠ x₂

Как это спрашивают на экзамене
Уравнение прямой через точкуy−y0=k(x−x0)y - y_0 = k(x - x_0)

Условия применения: Line through (x₀, y₀) with (existing) slope k

Как это спрашивают на экзамене
Общий видAx+By+C=0Ax + By + C = 0
Расстояние от точки до прямойd=∣Ax0+By0+C∣A2+B2d = \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}
Уравнение окружности(x−a)2+(y−b)2=r2(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2

Условия применения: Centre (a, b), radius r > 0

Как это спрашивают на экзамене
Уравнение эллипсаx2a2+y2b2=1(a>b>0, c2=a2−b2)\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (a>b>0,\, c^2=a^2-b^2)
Уравнение гиперболыx2a2−y2b2=1(c2=a2+b2)\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (c^2=a^2+b^2)
Уравнение параболыy2=2pxy^2 = 2px
Эксцентриситетe=cae = \frac{c}{a}

Условия применения: For standard-form ellipses and hyperbolas: ellipse 0 < e < 1 (c² = a² − b²); hyperbola e > 1 (c² = a² + b²)

Как это спрашивают на экзамене

Векторы и Комплексные числа

НазваниеФормула
Сложение векторовa⃗+b⃗=(a1+b1, a2+b2)\vec{a} + \vec{b} = (a_1+b_1,\, a_2+b_2)
Скалярное произведениеa⃗⋅b⃗=∣a⃗∣∣b⃗∣cos⁡θ=a1b1+a2b2\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta = a_1b_1+a_2b_2
Модуль вектора∣a⃗∣=x2+y2|\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2}

Условия применения: Coordinate form shown for a plane vector (x, y)

Как это спрашивают на экзамене
Угол между векторамиcos⁡θ=a⃗⋅b⃗∣a⃗∣∣b⃗∣\cos\theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}
Условие перпендикулярностиa⃗⊥b⃗⟺a⃗⋅b⃗=0\vec{a} \perp \vec{b} \Longleftrightarrow \vec{a} \cdot \vec{b} = 0
Сложение комплексных чисел(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i
Умножение комплексных чисел(a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i
Модуль комплексного числа∣a+bi∣=a2+b2|a+bi| = \sqrt{a^2 + b^2}

Вероятность и Статистика

НазваниеФормула
Классическая вероятностьP(A)=n(A)n(S)P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}
Правило сложенияP(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)
Правило умноженияP(A∩B)=P(A)⋅P(B∣A)P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)
Условная вероятностьP(B∣A)=P(A∩B)P(A)P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}
РазмещениеP(n,r)=n!(n−r)!P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}
СочетаниеC(n,r)=n!r!(n−r)!C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}
Биномиальное распределениеP(X=k)=(nk)pk(1−p)n−kP(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}
Среднее значениеxˉ=∑xin\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n}
Дисперсияs2=∑(xi−xˉ)2ns^2 = \frac{\sum (x_i - \bar{x})^2}{n}
Стандартное отклонениеs=s2s = \sqrt{s^2}

Интерактивные симуляции

Углубите понимание через визуальные анимации

Trigonometric Functions & Unit Circle Interactive Demo

Drag a point on the unit circle to see real-time changes in sin, cos, tan values and waveforms.

5 minBasicИнтерактив

Function Graph Transformations Interactive Demo

Adjust parameters with sliders to observe function graph translations, scaling, and reflections.

5 minBasicИнтерактив

Set Operations Venn Diagram Interactive Demo

Click Venn diagram regions to visually understand union, intersection, complement, and difference operations.

5 minBeginnerИнтерактив

Elementary Functions Comparison Interactive Demo

Compare exponential, logarithmic, and power functions. Adjust base and parameters to observe changes.

5 minBasicИнтерактив

Inequality Solution Set Visualization

Visualize inequality solution sets on number lines and coordinate planes. Drag parameters to see changes.

5 minBasicИнтерактив

Sequence Visualization: Arithmetic & Geometric

Dynamically display arithmetic and geometric sequence terms and partial sums. Adjust first term and common difference/ratio.

5 minBasicИнтерактив

Calculus Visualization: Derivatives & Integrals

Drag a point to observe tangent line slope (derivative) and see area under curve (integral) change in real-time.

5 minIntermediateИнтерактив

Conic Sections Interactive Demo

Adjust parameters to observe ellipse, parabola, and hyperbola shapes. View foci and eccentricity.

5 minIntermediateИнтерактив

Probability & Statistics Simulator

Roll dice to simulate frequency vs probability. Adjust parameters to observe normal distribution changes.

5 minBasicИнтерактив

Complex Number Plane & Operations Visualization

Visualize complex number addition and multiplication on the complex plane. Understand modulus and argument geometrically.

5 minIntermediateИнтерактив

Vector Operations Interactive Demo

Visualize vector addition, subtraction, dot product, and scalar multiplication. Adjust vector components with sliders.

5 minBasicИнтерактив

Solid Geometry 3D Shapes Explorer

Select 3D shapes, drag to rotate, adjust parameters to calculate volume and surface area in real-time.

5 minBasicИнтерактив

Space Coordinate System Interactive Demo

Place points in 3D coordinate system. Calculate spatial distance, midpoint, and section point coordinates.

5 minBasicИнтерактив

Готовы к практике?

Применяйте эти формулы в практических задачах