Skip to main content
Следующий экзамен 14–15 ноября 2026 г.:
Все понятия

Logarithms and Logarithmic Functions

对数运算与对数函数

Logarithm laws, the change-of-base formula and logarithmic domains, with monotonicity used to compare logarithmic values.

6 заданий с экзаменов · 5 сессий33 в пробных вариантах27 для практики

Экзамен CSCA сдаётся на китайском или английском языке — абитуриент выбирает сам. Поэтому понятия и формулы здесь даны на этих двух языках; на этой странице показан английский вариант.

Формулы

  • Laws of Logarithms

    Закон
    log⁡a(MN)=log⁡aM+log⁡aN,log⁡aMN=log⁡aM−log⁡aN,log⁡aMn=nlog⁡aM\log_{a}(MN)=\log_{a}M+\log_{a}N,\quad \log_{a}\frac{M}{N}=\log_{a}M-\log_{a}N,\quad \log_{a}M^{n}=n\log_{a}M

    Условия применения：a > 0, a ≠ 1, M > 0, N > 0

  • Change of Base

    Тождество
    log⁡ab=log⁡cblog⁡ca\log_{a}b=\frac{\log_{c}b}{\log_{c}a}

    Условия применения：a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1

  • Exponential–Logarithmic Conversion

    Определение
    ax=N  ⟺  x=log⁡aNa^{x}=N\iff x=\log_{a}N

    Условия применения：a > 0, a ≠ 1, N > 0

Как это проверяет настоящий экзамен

Задания из настоящих экзаменов CSCA по этому понятию. Решите их сами, прежде чем открывать ответ.

  1. CSCA Math December 2025 Past Paper
    log⁡232+log⁡1232=\log_2 32+\log_{\frac{1}{2}}32= ( ).
    • A．0
    • B．-5
    • C．5
    • D．10
    Показать ответ и решение

    Ответ: A

    Answer: A log⁡232=5\log_2 32=5 and log⁡1232=−5\log_{\frac{1}{2}}32=-5, so the sum is 0. Choose A.
    Открыть в полном варианте: CSCA Math December 2025 Past Paper
  2. CSCA Math January 2026 Past Paper
    Let a>0a>0 and b>0b>0 be real numbers. Which statement is incorrect?
    • A．ln⁡(ab)=bln⁡a\ln(a^b)=b\ln a
    • B．log⁡ab=ln⁡aln⁡b\log_a b=\frac{\ln a}{\ln b} (a≠1,b≠1a\neq1,b\neq1)
    • C．ln⁡(ab)=ln⁡a−ln⁡b\ln\left(\frac{a}{b}\right)=\ln a-\ln b
    • D．ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b\ln(ab)=\ln a+\ln b
    Показать ответ и решение

    Ответ: B

    Answer: B The change-of-base formula is log⁡ab=ln⁡bln⁡a\log_a b=\frac{\ln b}{\ln a} for a>0a>0, a≠1a\neq1, and b>0b>0. Option B reverses the numerator and denominator.
    Решить весь CSCA Math January 2026 Past Paper — на время и с оценкой
  3. CSCA Math April 2026 Past Paper
    (log⁡327)(log⁡416)=\left( \log _ { 3 } 27 \right) \left( \log _ { 4 } 16 \right) =
    • A．16\frac { 1 } { 6 }
    • B．23\frac { 2 } { 3 }
    • C．6
    • D．5
    Показать ответ и решение

    Ответ: C

    log⁡327=3\log _ { 3 } 27 = 3 (since 33=273 ^ { 3 } = 27 ); log⁡416=2\log _ { 4 } 16 = 2 (since 42=164 ^ { 2 } = 16 ). Product =3⋅2=6= 3 \cdot 2 = 6.
    Решить весь CSCA Math April 2026 Past Paper — на время и с оценкой

Подтверждение по реальным экзаменам

Ниже перечислены случаи в сохранённых экзаменах; возможность онлайн-проверки отмечена отдельно.

6 заданий за 5 экзаменационных сессийБесплатно онлайн можно проверить 1 из 5 сессий

33 задания в 16 пробных вариантах — это наши собственные варианты, поэтому показатель охвата, а не подтверждение с реального экзамена

Доступно 27 практических заданийПрактиковаться бесплатно: Элементарная функцияПрактиковаться бесплатно: Неравенство

Подтверждение берётся из сохранённых экзаменов CSCA; задания с утраченным оригиналом исключены, а финальные варианты намеренно не учитываются.

Связанные понятия

Exponents and Exponential FunctionsFunction ParityFunction MonotonicityFunction DomainsInverse Functions