Vectors and the Dot Product

Как это проверяет настоящий экзамен

Задания из настоящих экзаменов CSCA по этому понятию. Решите их сами, прежде чем открывать ответ.

1. CSCA Math December 2025 Past Paper
   Let $O$ be the origin, and let $A$ and $B$ be two points in the plane. If $P$ is the midpoint of $AB$, which expression can represent $\overrightarrow{OP}$?
   • A．$\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
   • B．$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$
   • C．$\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$
   • D．$\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}$
   Показать ответ и решение

   Ответ: C

   Answer: C Since $P$ is the midpoint of $AB$, $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$. Choose C.
   Открыть в полном варианте: CSCA Math December 2025 Past Paper
2. CSCA Math June 2026 Past Paper
   Given that plane vectors $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ satisfy $|\vec{a}| = 1$, $|\vec{b}| = 1$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -\frac{1}{2}$, and $\vec{c} = \lambda \vec{a} + (1 - \lambda)\vec{b}$ ($\lambda \in \mathbb{R}$), then the minimum value of $|\vec{c}|$ is
   • A．$\frac{1}{2}$
   • B．$\frac{\sqrt{3}}{2}$
   • C．$1$
   • D．$\frac{\sqrt{2}}{2}$
   Показать ответ и решение

   Ответ: A

   $|\vec{c}|^2 = \lambda^2 |\vec{a}|^2 + (1 - \lambda)^2 |\vec{b}|^2 + 2\lambda(1 - \lambda)\vec{a} \cdot \vec{b} = \lambda^2 + (1 - \lambda)^2 - \lambda(1 - \lambda) = 3\lambda^2 - 3\lambda + 1$. This quadratic in $\lambda$ attains its minimum $\frac{1}{4}$ at $\lambda = \frac{1}{2}$, so the minimum of $|\vec{c}|$ is $\frac{1}{2}$. Choose (A).
   Решить весь CSCA Math June 2026 Past Paper — на время и с оценкой