一元一次不等式yīyuán yīcì bùděngshì

Konsep Inti

Persamaan ketidaksamaan linier dalam satu variabel adalah persamaan ketidaksamaan yang dapat ditulis dalam bentuk:

$ax + b > 0, \quad ax + b < 0, \quad ax + b \geq 0, \quad \text{or} \quad ax + b \leq 0$

di mana $a \neq 0$, $a$, dan $b$ adalah konstanta.

Formulir Standar

• $ax + b > 0$ (lebih besar dari)
• $ax + b < 0$ (secara ketat lebih kecil dari)
• $ax + b \geq 0$ (lebih besar dari atau sama dengan)
• $ax + b \leq 0$ (kurang dari atau sama dengan)

Sifat-sifat Pertidaksamaan

1. Sifat Penjumlahan/Pengurangan

Jika $a > b$, maka $a + c > b + c$ untuk setiap bilangan real $c$.

Menambahkan atau mengurangkan bilangan yang sama dari kedua sisi tidak mengubah arah ketidaksamaan.

2. Sifat Perkalian/Pembagian

Pengganda positif: Jika $a > b$ dan $c > 0$, maka $ac > bc$.

Pengganda negatif: Jika $a > b$ dan $c < 0$, maka $ac < bc$.

Aturan Penting: Saat mengalikan atau membagi dengan bilangan negatif, balikkan tanda ketidaksamaan.

3. Transitivitas

Jika $a > b$ dan $b > c$, maka $a > c$.

Metode Penyelesaian

Proses Langkah demi Langkah

1. Sederhanakan kedua sisi (lakukan distribusi, gabungkan suku-suku sejenis)
2. Pindahkan suku-suku variabel ke satu sisi
3. Pindahkan suku-suku konstan ke sisi lain
4. Bagilah dengan koefisien $x$
5. Jika membagi dengan bilangan negatif, balikkan tanda ketidaksamaan
6. Tuliskan solusi dalam notasi interval

Contoh Soal yang Telah Diselesaikan

Jawab: $3x - 7 \leq 2x + 5$

Langkah 1: Kurangi $2x$ dari kedua sisi $3x - 2x - 7 \leq 5$ $x - 7 \leq 5$

Langkah 2: Tambahkan 7 ke kedua sisi $x \leq 12$

Solusi: $(-\infty, 12]$

Contoh dengan Pembalikan Tanda

Contoh: Koefisien Negatif

Jawaban: $-2x + 6 > 10$

Langkah 1: Kurangi 6 $-2x > 4$

Langkah 2: Bagi dengan -2 (balikkan tanda!) $x < -2$

Solusi: $(-\infty, -2)$

Soal-soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini disusun berdasarkan silabus ujian CSCA.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★☆☆☆☆)

Selesaikan soal $2x - 5 > 7$.

Pilihan:

• A. $x > 6$
• B. $x < 6$
• C. $x > 1$
• D. $x < 1$

Solusi: $2x - 5 > 7$ $2x > 12$ $x > 6$

Jawaban: A

---

Contoh 2: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Selesaikan soal $\dfrac{2x - 1}{3} - \dfrac{x + 2}{2} \geq 1$.

Solusi:

Kalikan dengan LCD = 6: $2(2x - 1) - 3(x + 2) \geq 6$ $4x - 2 - 3x - 6 \geq 6$ $x - 8 \geq 6$ $x \geq 14$

Jawaban: $[14, +\infty)$

---

Contoh 3: Sistem Pertidaksamaan (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Tentukan himpunan akar sistem persamaan berikut: $\begin{cases} 2x - 1 > 3 \\ x + 4 \leq 10 \end{cases}$

Solusi:

Berdasarkan pertidaksamaan pertama: $2x > 4$, sehingga $x > 2$ Dari ketidaksetaraan kedua: $x \leq 6$

Gabungan: $2 < x \leq 6$

Jawaban: $(2, 6]$

---

Contoh 4: Tingkat Lanjut (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Untuk nilai-nilai $a$ manakah $ax - 2 > ax + 1$ tidak memiliki solusi?

Solusi:

Kurangkan $ax$ dari kedua sisi: $-2 > 1$

Hal ini selalu salah, terlepas dari nilai $a$.

Oleh karena itu, ketidaksamaan tersebut tidak memiliki solusi untuk semua nilai riil dari $a$.

Jawaban: $a \in \mathbb{R}$ (semua bilangan real)

Pertidaksamaan Majemuk

Jenis "Dan" (Perpotongan)

$a < x$ dan $x < b$ berarti $a < x < b$

Contoh: $-3 < 2x + 1 < 7$

Selesaikan sebagai: $-3 < 2x + 1$ DAN $2x + 1 < 7$

• $-4 < 2x$ → $x > -2$
• $2x < 6$ → $x < 3$

Solusi: $-2 < x < 3$, atau $(-2, 3)$

Tipe "Atau" (Gabungan)

$x < a$ ATAU $x > b$

Contoh: $3x - 2 < 1$ ATAU $3x - 2 > 7$

Selesaikan masing-masing:

• $3x < 3$ → $x < 1$
• $3x > 9$ → $x > 3$

Solusi: $x < 1$ atau $x > 3$, atau $(-\infty, 1) \cup (3, +\infty)$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Lupa membalikkan papan tanda

Salah: $-3x > 6 \Rightarrow x > -2$ ✗

Benar: $-3x > 6 \Rightarrow x < -2$ ✓

❌ Kesalahan 2: Operasi Pecahan yang Salah

Salah: Kalikan $\dfrac{x}{2} > 3$ dengan 2 untuk mendapatkan $x > 1.5$ ✗

Benar: $\dfrac{x}{2} > 3 \Rightarrow x > 6$ ✓

❌ Kesalahan 3: Penulisan Interval yang Salah

Salah: $x > 3$ berarti $(3, \infty]$ ✗

Benar: $x > 3$ berarti $(3, +\infty)$ ✓

Tips Belajar

1. ✅ Tandai arah ketidaksamaan: Perhatikan dengan cermat pada setiap langkah
2. ✅ Sorot faktor pengali negatif: Faktor-faktor ini memerlukan pembalikan tanda
3. ✅ Periksa dengan nilai-nilai uji: Pastikan jawaban Anda membuat pernyataan asli menjadi benar
4. ✅ Gambarlah garis bilangan: Visualisasikan himpunan penyelesaian

---

💡 Tips Ujian: Kesalahan yang paling sering terjadi adalah lupa membalikkan pertidaksamaan saat membagi dengan bilangan negatif. Selalu tandai langkah ini!