区间qūjiān

Konsep Dasar

Sebuah interval mewakili himpunan bagian kontinu dari bilangan real. Notasi interval menyediakan metode ringkas untuk mendeskripsikan rentang bilangan pada garis bilangan.

Definisi

Interval adalah himpunan semua bilangan real antara dua titik ujung $a$ dan $b$, di mana $a \leq b$.

Empat Jenis Dasar

Jenis 1: Interval Tertutup $[a, b]$

$[a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\}$

Kedua titik ujung termasuk.

Contoh: $[1, 5]$ berisi $1, 2, 3, 4, 5$ dan semua bilangan real di antaranya.

---

Jenis 2: Interval Terbuka $(a, b)$

$(a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a < x < b\}$

Kedua titik ujung tidak termasuk.

Contoh: $(1, 5)$ berisi semua bilangan antara $1$ dan $5$, tetapi tidak termasuk $1$ dan $5$ itu sendiri.

---

Jenis 3: Interval Setengah Terbuka $[a, b)$

$[a, b) = \{x \in \mathbb{R} : a \leq x < b\}$

Titik ujung kiri termasuk, titik ujung kanan tidak termasuk.

Contoh: $[1, 5)$ berisi $1$, tetapi tidak $5$.

---

Jenis 4: Interval Setengah Terbuka $(a, b]$

$(a, b] = \{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\}$

Titik ujung kiri tidak termasuk, titik ujung kanan termasuk.

Contoh: $(1, 5]$ berisi $5$, tetapi tidak $1$.

Interval Tak Terbatas

Interval dapat meluas hingga tak terhingga:

Notasi	Deskripsi	Notasi Himpunan
$[a, +\infty)$	Semua $x \geq a$	$\{x \in \mathbb{R} : x \geq a\}$
$(a, +\infty)$	Semua $x > a$	$\{x \in \mathbb{R} : x > a\}$
$(-\infty, b]$	Semua $x \leq b$	$\{x \in \mathbb{R} : x \leq b\}$
$(-\infty, b)$	Semua $x < b$	$\{x \in \mathbb{R} : x < b\}$
$(-\infty, +\infty)$	Semua bilangan real	$\mathbb{R}$

Penting: Tak terhingga selalu ditulis dengan tanda kurung biasa karena $\infty$ bukan titik ujung.

Aturan Kurung

Kurung	Arti	Simbol
$[$ atau $]$	Titik ujung termasuk	Titik solid
$($ atau $)$	Titik ujung tidak termasuk	Titik terbuka

Operasi Interval

Irisan

$[1, 5] \cap [3, 7] = [3, 5]$

Elemen yang sama dari kedua interval.

Gabungan

$[1, 3] \cup [5, 7] = [1, 3] \cup [5, 7]$

Semua elemen yang termasuk dalam setidaknya satu interval.

Komplemen

$[1, 5]^c = (-\infty, 1) \cup (5, +\infty)$

Semua bilangan real yang tidak ada dalam interval.

Soal Latihan CSCA

1. Tuliskan himpunan penyelesaian dari $-2 < x \leq 5$ dalam notasi interval.

2. Hitung: $[0, 4] \cap (2, 6]$

3. Tentukan komplemen dari $(1, 3)$ terhadap $\mathbb{R}$.

4. Jika $A = [-1, 3]$ dan $B = (0, 5)$, tentukan $A \cup B$ dan $A \cap B$.

---

Jawaban:

1. $(-2, 5]$
2. $(2, 4]$
3. $(-\infty, 1] \cup [3, +\infty)$
4. $A \cup B = [-1, 5)$, $A \cap B = (0, 3]$

---

Tips Belajar: Notasi interval adalah dasar untuk memahami domain fungsi dan solusi pertidaksamaan dalam ujian CSCA!