区间qūjiān

Konsep Pokok

Interval adalah himpunan bilangan real yang terletak di antara dua titik ujung. Notasi interval memberikan cara yang ringkas untuk merepresentasikan himpunan bagian kontinu dari bilangan real.

Empat Jenis Interval Terbatas

Jenis	Notasi	Pembuat Set	Deskripsi
Tutup	$[a, b]$	$\{x \mid a \leq x \leq b\}$	Termasuk kedua titik akhir
Buka	$(a, b)$	$\{x \mid a < x < b\}$	Tidak termasuk kedua titik ujung
Setengah terbuka (kiri)	$(a, b]$	$\{x \mid a < x \leq b\}$	Tidak termasuk sisi kiri, termasuk sisi kanan
Setengah terbuka (kanan)	$[a, b)$	$\{x \mid a \leq x < b\}$	Termasuk sisi kiri, tidak termasuk sisi kanan

Interval Tak Terbatas

Notasi	Pembuat Set	Deskripsi
$[a, +\infty)$	$\{x \mid x \geq a\}$	Semua bilangan yang ≥ a
$(a, +\infty)$	$\{x \mid x > a\}$	Semua bilangan > a
$(-\infty, b]$	$\{x \mid x \leq b\}$	Semua bilangan ≤ b
$(-\infty, b)$	$\{x \mid x < b\}$	Semua bilangan < b
$(-\infty, +\infty)$	$\mathbb{R}$	Semua bilangan real

Penting: Simbol tak terhingga selalu menggunakan tanda kurung bulat (bukan tanda kurung siku) karena ±∞ bukanlah bilangan real.

Aturan Bracket

• Tanda kurung siku [ ]: Titik akhir TERMASUK (≤ atau ≥)
• Tanda kurung bulat ( ): Titik akhir TIDAK termasuk (< atau >)
• Infinity: Selalu menggunakan tanda kurung bulat

Operasi Interval

Perpotongan Interval

$[1, 5] \cap [3, 8] = [3, 5]$

Ambil daerah tumpang tindih:

• Titik akhir kiri: max(1, 3) = 3
• Titik akhir kanan: min(5, 8) = 5

Gabungan Interval

$[1, 4] \cup [3, 7] = [1, 7]$

Jika interval-interval tersebut tumpang tindih, gabungkanlah.

$[1, 2] \cup [4, 5]$ cannot be simplified (disjoint intervals)

Kombinasi Interval

Jika $A = [2, 5]$ dan $U = \mathbb{R}$: $\complement_{\mathbb{R}} A = (-\infty, 2) \cup (5, +\infty)$

Catatan: Titik akhir tertutup → terbuka, titik akhir terbuka → tertutup.

Contoh Soal yang Telah Diselesaikan

Contoh 1: Mengubah Ketidaksamaan Menjadi Interval

Diberikan: $-3 < x \leq 7$

Jawaban: $(-3, 7]$

Contoh 2: Mengubah Interval Menjadi Ketidaksetaraan

Diberikan: $[-2, 4)$

Jawaban: $-2 \leq x < 4$

Contoh 3: Perpotongan Interval

Diberikan: $A = [-1, 4]$, $B = (2, 6)$

Cari: $A \cap B$

Solusi:

• Titik ujung kiri: max(-1, 2) = 2, tanda kurung: ( (terbuka, dari B)
• Titik akhir kanan: min(4, 6) = 4, tanda kurung: ] (tertutup, dari A)

Jawaban: $(2, 4]$

Contoh 4: Gabungan Interval

Diberikan: $A = (-\infty, 3)$, $B = [1, +\infty)$

Cari: $A \cup B$

Jawaban: Karena 1 < 3, interval-interval tersebut saling tumpang tindih dan mencakup seluruh bilangan real.

Jawaban: $(-\infty, +\infty) = \mathbb{R}$

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut ini disusun berdasarkan silabus ujian CSCA.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★☆☆☆☆)

Tuliskan ketidaksamaan $2 \leq x < 6$ dalam notasi interval.

Pilihan:

• A. $(2, 6]$
• B. $[2, 6)$
• C. $(2, 6)$
• D. $[2, 6]$

Solusi:

• $x \geq 2$: gunakan [
• $x < 6$: gunakan )

Jawaban: B

---

Contoh 2: Tingkat Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Cari $[-3, 2] \cap (0, 5]$.

Solusi:

• Titik ujung kiri: max(-3, 0) = 0, tanda kurung: ( (dari B, terbuka)
• Titik akhir kanan: min(2, 5) = 2, tanda kurung: ] (dari A, tertutup)

Jawaban: $(0, 2]$

---

Contoh 3: Tingkat Lanjut (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Jika $A = \{x \mid x^2 - 5x + 4 \leq 0\}$, tuliskan A dalam notasi interval.

Solusi:

Faktorkan persamaan kuadrat tersebut: $x^2 - 5x + 4 = (x-1)(x-4) \leq 0$

Parabola tersebut terbuka ke atas, sehingga pertidaksamaan tersebut berlaku di antara akar-akarnya: $1 \leq x \leq 4$

Jawaban: $[1, 4]$

Panjang Sebuah Interval

Untuk interval terbatasi $[a, b]$: $\text{Length} = b - a$

Contoh: Panjang $[-2, 5]$ adalah $5 - (-2) = 7$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Menggunakan tanda kurung bersama tak terhingga

Salah: $[2, +\infty]$ ✗

Benar: $[2, +\infty)$ ✓

❌ Kesalahan 2: Titik Akhir yang Salah Setelah Persimpangan

Salah: $[1, 5] \cap [3, 8] = [1, 8]$ ✗

Benar: $[1, 5] \cap [3, 8] = [3, 5]$ ✓

❌ Kesalahan 3: Lupa Mengubah Jenis Tanda Kurung untuk Komplemen

Salah: Komplemen dari $[a, b]$ adalah $(-\infty, a] \cup [b, +\infty)$ ✗

Benar: Komplemen dari $[a, b]$ adalah $(-\infty, a) \cup (b, +\infty)$ ✓

❌ Kesalahan ke-4: Menganggap Persimpangan Kosong

Dua interval hanya memiliki irisan kosong jika keduanya sama sekali tidak tumpang tindih.

$[1, 3] \cap [3, 5] = \{3\}$ (titik tunggal, tidak kosong!)

Tips Belajar

1. ✅ Ingat arti tanda kurung: [ ] mencakup, ( ) tidak mencakup
2. ✅ ∞ selalu menghasilkan ( ): Jangan pernah menggunakan tanda kurung bersama tak terhingga
3. ✅ Persimpangan = tumpang tindih: Ambil daerah yang sama
4. ✅ Kebalikan tanda kurung siku: [ ↔ ) dan ] ↔ (

---

💡 Tips Ujian: Saat menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, selalu gambarkan parabola untuk mengidentifikasi interval penyelesaiannya dengan benar!