并集bìngjí

Konsep Inti

Gabungan dari dua himpunan A dan B, ditulis A ∪ B, adalah himpunan yang berisi semua elemen yang ada di A atau di B (atau keduanya).

Definisi Matematika

$A \cup B = \{x | x \in A \text{ atau } x \in B\}$

Suatu elemen termasuk dalam gabungan jika elemen tersebut termasuk dalam setidaknya satu dari kedua himpunan.

Sifat-sifat Penting

1. Sifat Komutatif

$A \cup B = B \cup A$

2. Sifat Asosiatif

$(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)$

3. Sifat Identitas

$A \cup \emptyset = A$ (himpunan kosong adalah elemen identitas)

4. Sifat Idempoten

$A \cup A = A$

5. Gabungan dengan Himpunan Semesta

$A \cup U = U$ (U adalah himpunan semesta)

Rumus Kardinalitas

$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$

Rumus ini memastikan elemen yang sama tidak dihitung dua kali.

Contoh

Contoh 1: Himpunan Berhingga

Diketahui: A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {3, 4, 5, 6, 7}

Cari: A ∪ B

Solusi: Semua elemen dari kedua himpunan: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Jawaban: A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Contoh 2: Gabungan Interval

Diketahui: A = [-2, 3], B = [1, 5]

Cari: A ∪ B

Solusi: Gabungan dari kedua interval adalah [-2, 5]

Jawaban: A ∪ B = [-2, 5]

Soal Latihan CSCA

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★☆☆☆☆)

Jika A = {a, b, c, d} dan B = {c, d, e, f}, cari A ∪ B.

Solusi: Semua elemen: a, b, c, d, e, f

Jawaban: {a, b, c, d, e, f}

Contoh 2: Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Jika |A| = 5, |B| = 4 dan |A ∩ B| = 2, cari |A ∪ B|.

Solusi: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 5 + 4 - 2 = 7$

Jawaban: 7

Contoh 3: Lanjutan (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Jika A ∪ B = A, apa hubungan antara himpunan A dan B?

Solusi: Jika A ∪ B = A, maka setiap elemen B juga harus ada di A.

Jawaban: B ⊆ A (B adalah subset dari A)

Kesalahan Umum

Kesalahan 1: Membingungkan Gabungan dengan Irisan

Salah: A ∪ B hanya mencakup elemen yang sama

Benar: A ∪ B mencakup semua elemen dari kedua himpunan

Kesalahan 2: Menghitung Ganda Kardinalitas

Salah: |A ∪ B| = |A| + |B|

Benar: |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|

Tips Belajar

1. Pemikiran "ATAU": Gabungan berarti ATAU - elemen harus ada di SETIDAKNYA SATU himpunan
2. Gambar diagram Venn: Representasi visual membantu menghindari kesalahan
3. Ingat rumus kardinalitas: Selalu kurangi irisan!

---

Tips Ujian: Untuk soal kardinalitas, selalu gunakan rumus |A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|!