补集bǔjí

Konsep Inti

Komplemen dari himpunan A, ditulis sebagai $\complement_U A$ atau $\overline{A}$ atau $A^c$, adalah himpunan semua elemen dalam himpunan semesta U yang TIDAK ada di A.

Definisi Matematika

$\complement_U A = \{x | x \in U \text{ dan } x \notin A\}$

Komplemen berisi tepat elemen-elemen yang termasuk dalam himpunan semesta tetapi tidak termasuk dalam A.

Variasi Notasi

• $\complement_U A$ - Notasi standar yang menekankan himpunan semesta
• $\overline{A}$ - Notasi garis atas
• $A^c$ atau $A'$ - Notasi superskrip
• $U - A$ - Notasi selisih himpunan

Representasi Visual

Dalam diagram Venn, komplemen adalah daerah di luar himpunan A tetapi di dalam himpunan semesta.

  U: [#############]
     [####]  A  [  ]

Daerah yang diarsir [####] mewakili $\complement_U A$.

Sifat-sifat Penting

1. Komplemen dari Komplemen

$\complement_U(\complement_U A) = A$

2. Komplemen Himpunan Semesta

$\complement_U U = \emptyset$

3. Komplemen Himpunan Kosong

$\complement_U \emptyset = U$

4. Gabungan dengan Komplemen

$A \cup \complement_U A = U$

5. Irisan dengan Komplemen

$A \cap \complement_U A = \emptyset$

6. Hukum De Morgan

$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$ $\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B$

Contoh

Contoh 1: Himpunan Berhingga

Diketahui: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, A = {2, 4, 6}

Cari: $\complement_U A$

Solusi: Elemen di U tetapi tidak di A: 1, 3, 5

Jawaban: $\complement_U A$ = {1, 3, 5}

Contoh 2: Himpunan Bilangan Real

Diketahui: U = ℝ, A = {x | x ≥ 2}

Cari: $\complement_U A$

Solusi: Bilangan real yang TIDAK ≥ 2, artinya < 2

Jawaban: $\complement_U A$ = {x | x < 2} = (-∞, 2)

Contoh 3: Komplemen Interval

Diketahui: U = ℝ, A = (-1, 3]

Cari: $\complement_U A$

Solusi: Semua bilangan real kecuali yang ada di (-1, 3]

Jawaban: $\complement_U A$ = (-∞, -1] ∪ (3, +∞)

Soal Latihan CSCA

💡 Catatan: Soal-soal latihan berikut dirancang berdasarkan silabus ujian CSCA.

Contoh 1: Dasar (Tingkat Kesulitan ★★☆☆☆)

Jika U = {1, 2, 3, 4, 5} dan A = {1, 3, 5}, cari $\complement_U A$.

Pilihan:

• A. {1, 3, 5}
• B. {2, 4}
• C. {1, 2, 3, 4, 5}
• D. ∅

Solusi: Elemen di U tetapi tidak di A: 2, 4

Jawaban: B

---

Contoh 2: Menengah (Tingkat Kesulitan ★★★☆☆)

Diketahui U = ℝ, A = {x | x² - 4 ≤ 0}, cari $\complement_U A$.

Solusi:

Pertama, selesaikan pertidaksamaan: $x² - 4 ≤ 0$ $(x-2)(x+2) ≤ 0$ $A = [-2, 2]$

Komplemen adalah semua bilangan real di luar interval ini: $\complement_U A = (-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

Jawaban: $(-\infty, -2) \cup (2, +\infty)$

---

Contoh 3: Lanjutan (Tingkat Kesulitan ★★★★☆)

Jika U = ℝ, A = {x | x > 1}, B = {x | x > 2}, cari $\complement_U A \cup B$.

Solusi:

$\complement_U A$ = {x | x ≤ 1} = (-∞, 1] B = {x | x > 2} = (2, +∞)

$\complement_U A \cup B = (-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$

Jawaban: $(-\infty, 1] \cup (2, +\infty)$

Hukum De Morgan secara Detail

Hukum 1: Komplemen dari Gabungan

$\complement_U(A \cup B) = \complement_U A \cap \complement_U B$

Contoh: Jika A = {1, 2}, B = {2, 3}, U = {1, 2, 3, 4}

• A ∪ B = {1, 2, 3}
• $\complement_U(A \cup B)$ = {4}
• $\complement_U A$ = {3, 4}, $\complement_U B$ = {1, 4}
• $\complement_U A \cap \complement_U B$ = {4} ✓

Hukum 2: Komplemen dari Irisan

$\complement_U(A \cap B) = \complement_U A \cup \complement_U B$

Kesalahan Umum

❌ Kesalahan 1: Melupakan Himpunan Semesta

Salah: $\complement A$ = {semua elemen tidak di A} ✗

Benar: $\complement_U A$ = {elemen di U tetapi tidak di A} ✓

❌ Kesalahan 2: Batas Interval yang Salah

Salah: Jika A = [1, 3], maka $\complement_\mathbb{R} A$ = (-∞, 1] ∪ [3, +∞) ✗

Benar: $\complement_\mathbb{R} A$ = (-∞, 1) ∪ (3, +∞) ✓

❌ Kesalahan 3: Kesalahan Tanda De Morgan

Salah: $\complement(A \cup B)$ = $\complement A \cup \complement B$ ✗

Benar: $\complement(A \cup B)$ = $\complement A \cap \complement B$ ✓

Tips Belajar

1. ✅ Selalu identifikasi U terlebih dahulu: Himpunan semesta menentukan komplemen
2. ✅ Balik batas untuk interval: Terbuka ↔ tertutup saat mengambil komplemen
3. ✅ Kuasai Hukum De Morgan: "Pecahkan garis, ubah tanda"
4. ✅ Komplemen ganda mengembalikan asli: $\complement(\complement A) = A$

---

💡 Tips Ujian: Saat mengambil komplemen interval, ingat: batas tertutup menjadi terbuka, dan terbuka menjadi tertutup!