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考点专项约 15 分钟近 5 场 CSCA 真题场场都考（共 7 题）

诱导公式

不用死记 6 组诱导公式：在单位圆上看懂对称，自己推出“奇变偶不变，符号看象限”。附 CSCA 真题与模考例题、学生最常见的 3 类错误和 5 题掌握检测。

1先做一道

先别看公式，凭直觉做一道：

模考来源：数学模拟卷 12

若 cos⁡α=23\cos\alpha=\frac{\sqrt2}{3}，则 cos⁡(π−α)=\cos(\pi-\alpha)=

2核心：诱导公式就是单位圆上的对称

角 α\alpha 的终边与单位圆交于点 P(cos⁡α, sin⁡α)P(\cos\alpha,\ \sin\alpha)——横坐标是余弦，纵坐标是正弦。所谓诱导公式，就是把 PP 做一次对称，看新点的坐标变成了什么。

拖动滑块改变 α\alpha，再点下面的变换，看对称点的坐标怎么变。
xyPP′

关于 y 轴翻折

P
(0.866, 0.500) = (cos α, sin α)
P′
(-0.866, 0.500)

sin⁡(π−α)=sin⁡α\sin\left(\pi-\alpha\right)=\sin\alpha

cos⁡(π−α)=−cos⁡α\cos\left(\pi-\alpha\right)=-\cos\alpha

k = 2 (偶数) → 名不变

π−α\pi-\alpha、π+α\pi+\alpha、−α-\alpha、2π−α2\pi-\alpha 是把 PP 关于 yy 轴、原点、xx 轴翻过去：坐标还是那两个数，只是正负号可能变了——所以函数名不变，只需判断符号。

π2−α\frac{\pi}{2}-\alpha 是把 PP 关于直线 y=xy=x 翻过去：横纵坐标对调——正弦变余弦、余弦变正弦，所以函数名要变。π2+α\frac{\pi}{2}+\alpha 是先这样对调，再关于 yy 轴翻一次：对调决定了函数名要变，后面那次翻折只影响正负号。

这就是口诀“奇变偶不变，符号看象限”的来源：把角写成 k⋅π2±αk\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha，kk 是奇数就是“对调”（变名），kk 是偶数就是“翻折”（不变名）；符号统一按“把 α\alpha 当锐角，原来的角落在第几象限”来定。

34 步法

  1. 1. 去整圈

    先减去 2π2\pi（360∘360^\circ）的整数倍，三角函数值不变。

  2. 2. 拆角

    把剩下的角写成 k⋅π2±αk\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha，α\alpha 看作锐角。

  3. 3. 定名

    kk 为奇数：sin⁡↔cos⁡\sin\leftrightarrow\cos（tan⁡\tan 变 cot⁡\cot）；kk 为偶数：函数名不变。

  4. 4. 定号

    把 α\alpha 当锐角，看 k⋅π2±αk\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha 在第几象限，取原函数在该象限的符号。

四步化简器

选一个角，每一步先自己选，再看对不对。

    第 1 步去掉 360∘360^\circ（2π2\pi）的整数倍后，剩下的角是？

    看全部 5 个例子的完整讲解

    sin⁡210∘\sin 210^\circ

    1. 第 1 步去掉 360∘360^\circ（2π2\pi）的整数倍后，剩下的角是？

      210∘<360∘210^\circ<360^\circ，这一步跳过。

      ✗ −150∘-150^\circ：210∘210^\circ 不到一整圈，不需要去整圈；减成负角反而更难判断。

    2. 第 2 步写成 k⋅90∘±αk\cdot 90^\circ\pm\alpha（α\alpha 是锐角）：

      180∘=2⋅90∘180^\circ=2\cdot 90^\circ，所以 k=2k=2，α=30∘\alpha=30^\circ。

      ✗ 90∘+120∘90^\circ+120^\circ：这里的 α\alpha 不是锐角，四步法要求 α\alpha 当作锐角。

      ✗ 360∘−150∘360^\circ-150^\circ：这里的 α\alpha 不是锐角，四步法要求 α\alpha 当作锐角。

    3. 第 3 步函数名变不变？

      kk 是偶数，函数名不变。

      ✗ 名要变：kk 是偶数，函数名不变。

    4. 第 4 步把 α\alpha 当锐角，符号取什么？

      第三象限 sin⁡<0\sin<0，取负号。

      ✗ ++：180∘+30∘180^\circ+30^\circ 在第三象限，sin⁡\sin 在第三象限为负。

    结果：sin⁡210∘=−sin⁡30∘=−12\sin 210^\circ=-\sin 30^\circ=-\frac{1}{2}

    cos⁡600∘\cos 600^\circ

    1. 第 1 步去掉 360∘360^\circ（2π2\pi）的整数倍后，剩下的角是？

      600∘−360∘=240∘600^\circ-360^\circ=240^\circ。

      ✗ 600∘600^\circ：600∘600^\circ 超过一整圈，先减去 360∘360^\circ。

      ✗ 300∘300^\circ：600∘−360∘=240∘600^\circ-360^\circ=240^\circ，不是除以 2。

    2. 第 2 步写成 k⋅90∘±αk\cdot 90^\circ\pm\alpha（α\alpha 是锐角）：

      k=2k=2，α=60∘\alpha=60^\circ。

      ✗ 90∘+150∘90^\circ+150^\circ：这里的 α\alpha 不是锐角，四步法要求 α\alpha 当作锐角。

    3. 第 3 步函数名变不变？

      kk 是偶数，函数名不变。

      ✗ 名要变：kk 是偶数，函数名不变。

    4. 第 4 步把 α\alpha 当锐角，符号取什么？

      第三象限 cos⁡<0\cos<0，取负号。

      ✗ ++：240∘240^\circ 在第三象限，cos⁡\cos 为负。

    结果：cos⁡600∘=cos⁡240∘=−cos⁡60∘=−12\cos 600^\circ=\cos 240^\circ=-\cos 60^\circ=-\frac{1}{2}

    sin⁡2023π6\sin\frac{2023\pi}{6}

    1. 第 1 步去掉 360∘360^\circ（2π2\pi）的整数倍后，剩下的角是？

      2023π6=168⋅2π+7π6\frac{2023\pi}{6}=168\cdot 2\pi+\frac{7\pi}{6}。

      ✗ π6\frac{\pi}{6}：2023π6=336π+7π6\frac{2023\pi}{6}=336\pi+\frac{7\pi}{6}，去掉的只能是 2π2\pi 的倍数，π\pi 不能单独去。

      ✗ 5π6\frac{5\pi}{6}：2023=6×336+72023=6\times 336+7，余下的是 7π6\frac{7\pi}{6}。

    2. 第 2 步写成 k⋅π2±αk\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha（α\alpha 是锐角）：

      π=2⋅π2\pi=2\cdot\frac{\pi}{2}，k=2k=2，α=π6\alpha=\frac{\pi}{6}。

      ✗ π2+2π3\frac{\pi}{2}+\frac{2\pi}{3}：这里的 α\alpha 不是锐角，四步法要求 α\alpha 当作锐角。

    3. 第 3 步函数名变不变？

      kk 是偶数，函数名不变。

      ✗ 名要变：kk 是偶数，函数名不变。

    4. 第 4 步把 α\alpha 当锐角，符号取什么？

      第三象限 sin⁡<0\sin<0，取负号。

      ✗ ++：π+π6\pi+\frac{\pi}{6} 在第三象限，sin⁡\sin 为负。

    结果：sin⁡2023π6=sin⁡7π6=−sin⁡π6=−12\sin\frac{2023\pi}{6}=\sin\frac{7\pi}{6}=-\sin\frac{\pi}{6}=-\frac{1}{2}

    cos⁡(π2+α)\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)

    1. 第 1 步去掉 360∘360^\circ（2π2\pi）的整数倍后，剩下的角是？

      没有整圈，跳过。

      ✗ α−3π2\alpha-\frac{3\pi}{2}：不到一整圈，不用减 2π2\pi。

    2. 第 2 步写成 k⋅π2±αk\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha（α\alpha 是锐角）：

      k=1k=1。

      ✗ k=2k=2：π2=1⋅π2\frac{\pi}{2}=1\cdot\frac{\pi}{2}，所以 k=1k=1。

    3. 第 3 步函数名变不变？

      kk 是奇数，cos⁡\cos 变 sin⁡\sin。

      ✗ 名不变：kk 是奇数，函数名要变。

    4. 第 4 步把 α\alpha 当锐角，符号取什么？

      看原函数 cos⁡\cos 在第二象限的符号：负。

      ✗ ++：π2+α\frac{\pi}{2}+\alpha 在第二象限，看的是原函数 cos⁡\cos：第二象限 cos⁡\cos 为负。

    结果：cos⁡(π2+α)=−sin⁡α\cos\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\sin\alpha

    tan⁡(3π−x)\tan(3\pi-x)

    1. 第 1 步去掉 360∘360^\circ（2π2\pi）的整数倍后，剩下的角是？

      3π−x=2π+(π−x)3\pi-x=2\pi+(\pi-x)。

      ✗ 3π−x3\pi-x：3π=2π+π3\pi=2\pi+\pi，先去掉一个 2π2\pi。

    2. 第 2 步写成 k⋅π2±αk\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha（α\alpha 是锐角）：

      k=2k=2。

      ✗ k=1k=1：π=2⋅π2\pi=2\cdot\frac{\pi}{2}，所以 k=2k=2。

    3. 第 3 步函数名变不变？

      kk 是偶数，函数名不变。

      ✗ 名要变：kk 是偶数，函数名不变。

    4. 第 4 步把 α\alpha 当锐角，符号取什么？

      第二象限 tan⁡<0\tan<0，取负号。

      ✗ ++：π−x\pi-x 在第二象限，tan⁡\tan 在第二象限为负。

    结果：tan⁡(3π−x)=tan⁡(π−x)=−tan⁡x\tan(3\pi-x)=\tan(\pi-x)=-\tan x

    4真题例题

    先自己做，再看拆解

    真题来源：CSCA 2026年4月数学真题

    sin⁡120∘=\sin 120 ^ { \circ } =

    先自己做，再看拆解

    模考来源：数学模拟卷 1

    若角 aa 的终边过点 P(1,−2)P ( 1 , - \sqrt { 2 } ) ，则 sin⁡(a+π2)=\sin \left( a + \frac { \pi } { 2 } \right) =

    先自己做，再看拆解

    模考来源：数学模拟卷 1

    已知 aa 是第四象限的角， sin⁡(7π2+a)=m\sin \left( \frac { 7 \pi } { 2 } + a \right) = m ，则 sin⁡a=\sin a =（ ）

    5常见错误

    答题数据：CSCA.app 学生在 2026-10-21 前 90 天内的作答记录。

    1. 该变名没变，或不该变却变了

    数据显示：2026 年 6 月的真题里，约六分之一的同学认为 tan⁡(π2−α)=tan⁡α\tan\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan\alpha；在模考题里，“没变名”也是最常见的错误答案之一。

    怎么避免：只看 kk：把角写成 k⋅π2±αk\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha，kk 奇→变名，kk 偶→不变。π\pi、2π2\pi、−α-\alpha 都是 kk 为偶数。

    用一道题检验一下

    真题来源：CSCA 2026年6月数学真题

    关于诱导公式，下列说法正确的是？

    2. 符号看错了象限

    数据显示：同一道真题，约五分之一的同学认为 sin⁡(π+α)=sin⁡α\sin(\pi+\alpha)=\sin\alpha；另一道模考题，近三分之一的同学漏掉了“第四象限 sin⁡\sin 为负”。

    怎么避免：定号时永远假设 α\alpha 是锐角，看原函数（变换前的那个）在 k⋅π2±αk\cdot\frac{\pi}{2}\pm\alpha 所在象限的符号——不是看变名后的函数。

    用一道题检验一下

    模考来源：数学模拟卷 2

    已知 cos⁡(π2+φ)=32\cos \left( \frac { \pi } { 2 } + \varphi \right) = \frac { \sqrt { 3 } } { 2 } ，则 sin⁡φ=()\sin \varphi = ( )

    3. 大角度没先去整圈

    数据显示：模考题 tan⁡(3π−x)\tan(3\pi-x) 是诱导公式里正确率最低的题之一，四个选项都有不少人选——说明很多同学看到 3π3\pi 心里就没底了。

    怎么避免：先减去 2π2\pi 的整数倍：3π−x=2π+(π−x)3\pi-x=2\pi+(\pi-x)，7π2=2π+3π2\frac{7\pi}{2}=2\pi+\frac{3\pi}{2}，600∘=360∘+240∘600^\circ=360^\circ+240^\circ。剩下的角再做“拆角、定名、定号”。

    用一道题检验一下

    模考来源：数学模拟卷 1

    下列三角恒等变换错误的是

    6分级练习

    第 1 / 6 题

    模考来源：数学模拟卷 3

    已知 cos⁡a=13\cos a = \frac { 1 } { 3 } ，则 cos⁡(π−a)=\cos ( \pi - a ) =
    本组答对 0 / 6

    7掌握检测

    5 道题，答对 4 道算掌握。中途不看解析，做完一起看。

    先学这些

    同角三角函数基本关系

    概念与公式

    三角函数诱导公式

    接着学

    二倍角公式半角公式

    章节练习

    还想多练：去练习区